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級

下

冊

教

案

第6章一元一次方程

6.1從實際問題到方程

知識技能目標

復習列方程解應用題的方法；學會用檢驗的方法判斷一個數(shù)是否為方程的解.

過程性目標

經歷用列方程的方法解決實際問題的過程，體會現(xiàn)實生活與數(shù)學密不可分的關系.

教學過程

一、創(chuàng)設情境

在現(xiàn)實生活中，有很多問題都跟數(shù)學有關，例如下面的問題：

問題某校初一年級328名師生乘車外出春游，已有2輛校車可乘坐64人，還需租用44座的客車多

少輛？

這個問題用數(shù)學中的什么方法來解決呢？

解(328-64)-=-44

=264+44

=6(輛)

答：還需租用44座的客車6輛.

請大家回憶一下，在小學里江學過什么方法可以解決上面的問題？

二、探究歸納

方法是列方程解應用題的辦法.

解設還需租用44座的客車.7輛，則共可乘坐44”人.

根據(jù)題意列方程得

44x+64=328

你會解這個方程嗎？自己試試看.

評列方程解應用題的基本過程是：

觀察題意，找出等量關系；設未知數(shù)，并列出方程；解所列的方程；寫出答案.

問題在課外活動中，張老師發(fā)現(xiàn)同學的年齡大多是13歲，就問同學：“我今年45歲，幾年后你們的

年齡是我年齡的三分之一？”

方法一：我們可以按年齡的增長依次去試.

1年后，老師的年齡是46歲，同學的年齡是14歲，不是老師年齡的三分之一；

2年后，老師的年齡是47歲，同學的年齡是15歲，也不是老師年齡的三分之一；

3年后，老師的年齡是48歲，同學的年齡是16歲，恰好是老師年齡的三分之一.

方法二：也可以用列方程的辦法來解.

解設x年后同學的年齡是老師年齡的三分之一，才年后同學的年齡是(13+x)歲，老師年齡是(45+>)歲.

1

根據(jù)題意，列出方程得

這個方程不太好解，大家可以用嘗試、檢驗的方法找出它的解，即只要將￥=1,2,3,4,…代入方

程的左右兩邊，看哪個數(shù)能使左右兩邊的值相等，這樣得到方程的解為*=3.

評使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，就是方程的解.

要檢驗一個數(shù)是否為方程的解，只要把這個數(shù)代入方程的左右兩邊，看能否使左右兩邊的值相等.

如果左右兩邊的值相等，那么這個數(shù)就是方程的解.

三、實踐應用

例1甲、乙兩車間共生產電視機120臺，甲車間生產的臺數(shù)是乙車間的3倍少16,求甲、乙兩車間

各生產電視機多少臺(列出方程，不解方程)？

分析等量關系是：

甲車間生產的臺數(shù)十乙車間生產的臺數(shù)=電視機總臺數(shù)

解設乙車間牛產的臺數(shù)為x臺,則甲車間牛產的臺數(shù)是(3*—16)

根據(jù)題意列方程得

x+(3x-16)=120

例2檢驗下面方程后面括號內所列各數(shù)是否為這個方程的解:

2(AH-2)-5(1-2X)=-13,{X=~\,1}

解將下T代入方程的兩邊得

左邊-2(T+2)-5[L2X(-1)]—13

右邊二T3

因為左邊=右邊，所以尸T是方程的解.

將產1代入方程的兩邊得

左邊二2(l+2)-5(l-2X1)=11

右邊=T3

因為左邊片右邊，所以尸1不是方程的解.

四、交流反思

這節(jié)課主要講了下面兩個問題：

1.復習了用列方程的方法來解應用題；

2.檢驗一個數(shù)是否為方程的解的方法.

五、檢測反饋

1.檢驗下列方程后面括號內所列各數(shù)是否為相應方程的解：

2

5x+l

⑴=x-1,

"IF

（2）2（尸2）-9（1-0=3（4尸1）,{-10,10}

2.根據(jù)班級內男、女同學的人數(shù)編一道應用題，和同學交流一下.

3.小趙去商店買練習本，回來后問同學：“店主告訴我，如果多買一些就給我八折優(yōu)惠，我就買了20

本，結果便宜了1.60元，你猜原來每本價格多少？”你能列出方程嗎？

6.2.1方程的簡單變形（一）

知識技能目標

1.理解并掌握方程的兩個變形規(guī)則；

2.使學生了解移項法則，即移項后變號，并且能熟練運用移項法則解方程；

3.運用方程的兩個變形規(guī)則解簡單的方程.

過程性目標

1.通過實驗操作，經歷并獲得方程的兩個變形過程；

2.通過對方程的兩個變形和等式的性質的比較，感受新舊知識的聯(lián)系和遷移；

3.體會移項法則：移項后要變號.

課前準備

托盤天平，三個大祛碼，幾個小祛碼.

教學過程

一、創(chuàng)設情境

同學們，你們還記得“曹沖稱象”的故事嗎？請同學說說這個故事.

小時候的曹沖是多么地聰明明！隨著社會的進步，科學水平的發(fā)達，我們有越來越多的方法測量物體

的重量.

最常見的方法是用天平測量一個物體的質量.

我們來做這樣一個實驗，測一個物體的質量（設它的質量為x）.首先把這個物體放在天平的左盤內，

然后在右盤內放上跌碼，并使天平處于平衡狀態(tài)，此時兩邊的質量相等，那么祛碼的質量就是所要稱

的物體的質量.

二、探究歸納

請同學來做這樣一個實驗，如何移動天平左右兩盤內的祛碼，測物體的質量.

I向血向J1向向向向向/I向/I向血血/

ZX

x+2=5）x=5-2

圖⑴

實驗1：如圖（1）在天平的兩邊盤內同時取下2個小祛碼，天平依然平衡，所測物體的質量等于3個小

砧碼的質量.

3

)I向向向向/

XXXI向JIli°illi°ilJ

III

zx

3x=2x+2>3x-2x=2

圖⑵

實驗2：如圖(2)在天平的兩邊盤內同時取下2個所測物體，天平依然平衡，所測物體的質量等于2個

小祛碼的質量.

I向，向JI向詢呼面向)，向)I向前向J

TI

AZX

>彳=6+2

2彳=6=

圖⑶

實驗3：如圖(3)將天平兩邊盤內物體的質晟同時縮少到原來的二分之一，天平依然平衡，所測物體的

質量等于3個小祛碼的質量.

上面的實驗操作過程，反映了方程的變形過程，從這個變形過程，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律？

方程足這樣變形的：

方程的兩邊都加上或都減去同一個數(shù)或同一個整式，方程的解不變.

方程兩邊都乘以或都除以同一個不為零的數(shù)，方程的解不變.

請同學們回憶等式的性質和方程的變形規(guī)律有何相同之處？并請思考為什么它們有相同之處？

通過實驗操作，可求得物體的質量，同樣通過對方程進行適當?shù)淖冃危梢郧蟮梅匠痰慕?

三、實踐應用

例1解下列方程.

(DA-5=7；(2)4x=3A—4.

分析：(D利用方程的變形規(guī)律，在方程x—5=7的兩邊同時加上5,即x—5+5=7+5,可求得

方程的解.

(2)利用方程的變形規(guī)律，在方程4x=3x—4的兩邊同時減去3筋即4x—3x=3x—3x—4,可求得方

程的解.

解⑴由

兩邊都加上5,得x=70),

即x=12.

⑵由4x=<3x)-4,

兩邊都減去3x,得4x=—4,

即x=-4.

像上面，將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊的變形叫做移項〃力〃).

注(D上面兩小題方程變形中，均把含未知數(shù)>的項，移到方程的左邊，而把常數(shù)項移到了方程的右

邊.

⑵移項需變號，即：躍過等號，改變符號.

4

例2解下列方程：

31

(1)—5%=2；(2)-X=-；

23

分析：⑴利用方程的變形規(guī)律，在方程-5x=2的兩邊同除以一5,即一5"(-5)=2+(—5)(或

一5尤22

也就是丫==，可求得方程的解.

—5—5—5

⑵利用方程的變形規(guī)律，在方程3=1上的兩邊同除以3巳或同乘以2上，即32工+23=±1子3巳(或

23232232

3212

-x-=-x-),可求得方程的解.

2X333

解(D方程兩邊都除以一5,得

2

x=----.

5

⑵方程兩邊都除以二3，得

2

1312

x——：—=-x一,

3233

即十二

9

2

或解方程兩邊同乘以一，得

3

122

X--X—=—.

339

注：1.上面兩題的變形通常稱作“將未知數(shù)的系數(shù)化為1”.

2.上面兩個解方程的過程，都是對方程進行適當?shù)淖冃?，得到才二a的形式.

例3下面是方程x+3=8的三種解法，請指出對與錯，并說明為什么？

(l)x+3=8=x=8—3=5；

(2)x+3=8,移項得x=8+3,所以x=ll；

(3)x+3=8移項得x=8-3,所以x=5.

解(1)這種解法是錯的.變形后新方程兩邊的值和原方程兩邊的值不相等，所以解方程時不能連等；

(2)這種解法也是錯誤的，移項要變號；

(3)這種解法是正確的.

四、交流反思

本堂課我們通過實驗得到了方程的變形規(guī)律：

(1)方程的兩邊都加上或都減去同一個數(shù)或同一個整式，方程的解不變；

(2)方程兩邊都乘以或都除以同一個不為零的數(shù)，方程的解不變.

通過上面幾例解方程我們得出解簡單方程的一般步驟：

(1)移項：通常把含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，把常數(shù)頃移到方程的右邊；

(2)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)(或同乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù))，得到x=a的形式.

必須牢記：移項要變號！

五、檢測反饋

1.判斷下列方程的解法對不對？如果不對，應怎樣改正.

5

9

(l)9x=—4,得x二---；

4

35

(2)-x=-,得x=1；

53

X

(3)-=0,得x=2；

2

23

⑷一y=y+1,得y=一；

55

(5)3+x=5,得x=5+3；

(6)3=x-2,得x=-2-3.

2.(口答)求下列方程的解.

(1)X—6=6；(2)7x=6x—4；

⑶—5x=60；(4)—y=—.

4,2

3.下面的移項對不對？如果不對，錯在哪里？應當怎樣改正？

(1)從7+x=13,得到%=13+7：

⑵從5*=4x?8,得到5x4x=8

4.用方程的變形解方程：44x+64=328.

6.2.2方程的簡單變形(二)

知識技能目標

1.運用方程的變形規(guī)律熟練解方程；

2.理解解方程的步驟，掌握移項變號規(guī)則.

過程性目標

通過解方程過程的探討，使學生獲得解方程的步驟，體會數(shù)學中由特殊到一般的思想方法.

教學過程

一、創(chuàng)設情境

方程的變形是怎樣的？請同學們利用方程的變形，求方程2x+3=1的解.并討論：

(1)解方程的每一步的依據(jù)是什么？

(2)解方程應解到什么形式為止？

(3)通過解方程，你能歸納出解方程的一般步驟嗎？

二、探究歸納

解2X=1-3,........................移項；

2x=-2,.......................合并同類項；

x=-1........................未知數(shù)的系數(shù)化為1.

(1)第一步的依據(jù)是方程的變形：在方程的兩邊同時減去3；

第二步的依據(jù)是合并同類項；

第三步的依據(jù)是方程的變形：方程的兩邊同時除以2.

(2)解方程應得到a的形式.

(3)解方程的一般步驟是：

①移項；

6

②合并同類項；

③系數(shù)化為1.

三、實踐應用

例1解下列方程，并能說出每一步的變形過程.

(1)8%=2x-7；

(2)6=8+2x；

(3)2y——=-y—3；

22

(4)3y—2=y+1+6y.

解(l)8x=2x—l,

移項，得

8x—2x=—7,

合并同類項，得

6x=-7,

系數(shù)化為1,得

7

x=——.

6

(2)分析本題含有未知數(shù)的項在方程的右邊，在解題時可考慮先把8?2》放到方程的左邊，把6放

到方程的右邊，然后再解方程.

解8+2x=6,

移項

2x=6—8,

合并同類項

2x=-2,

系數(shù)化為1

x=-1.

注意：(1)移項和改變多項式各項的順序是不同的，把8+2*放在方程左邊，6放到方程的右邊時，

符號不變.

⑵也可考慮直接把含未知數(shù)的項2x移到方程的左邊，然后再解方程.

或解6:8+2萬，

移項

-2A-=8-6,

合并同類項

-2x=2,

系數(shù)化為1

x=-1.

或解6=8+2x,

移項

6-8=2x,

合并同類項

-2=2必

即2x=-2,

系數(shù)化為1

x=—1.

7

以上三種解法，讓學生通過對比分析，體會每種方法的優(yōu)點，尋求較簡捷的方法.

⑶2v——=-y-3

22“

移項

2y_gy=-3+

2

合并同類項

35

—y=——,

22

系數(shù)化為1

5.3

y-———

2223

5

即—

3

注將系數(shù)化為1時，如果系數(shù)是分數(shù)，要特別細心，若結果是分數(shù)，則要化為最簡分數(shù).

思考：這個方程還有其他的解法嗎？能否采用把方程的分母去掉把系數(shù)化為整數(shù)？并比較哪種方法更

好？

(4)3.K-2=y+1+6y,

合并同類項

3y-2=7y+1,

移項

3y-7y=1+2,

合并同類項

-4y=3,

系數(shù)化為1

13

y=34-(-4)=3X(--).

44

通過上面的解方程，想一想，你能選擇解方程的步驟了嗎？

例2解卜.列方程，并按例1的解題格式書寫解題過程.

(1)2%:3=6:5；⑵1.3x+L2—2x=1.2-2.lx.

分析把方程中的比先化為分數(shù)，再解方程.

解⑴2x:3=6:5,

2x6

T=5f

系數(shù)化為1

(2)1.3x+1.2-2*=1.2-2.lx.

移項

1.3x-2x+2.7x=1.2-1.2,

合并同類項

8

2x=0,

系數(shù)化為1

x-0+2=0.

例3已知y=3x+2,匕=4—k當x取何值時，y與次互為相反數(shù)？

分析仍與凡互為相反數(shù)，即7.+度=0.本題就轉化為求方程3x+2+4-x=0的解.

解由題意得：3x+2+4-x-0?

3x—x=—4—2,

所以當x=-3時，y與理互為相反數(shù).

四、交流反思

1.解方程的一般步驟為：

（1）移項；

⑵合并同類項;

⑶系數(shù)化為1.

2.方程解的結果是化為x二a的形式.

3.移項時要注意改變符號.

4.將系數(shù)化為【時，如果系數(shù)是分數(shù)，要特別細心，若結果是分數(shù)，則要化為最簡分數(shù).

五、檢測反饋

L解下列方程，并寫出每步變形的依據(jù).

(l)3x+4=0：(2)ly+6=-y\

21/、11

(3)—A*—8=——0.2x；(4)1——x=x+-.

5423

2.解F列方程:

(l)3x-7+4%=6X—2；(2)10/+5=lly-5-2y

(3)a—1=5+2a；(4)-x+2=3--x；

1

-

(5)5—x—1—2,x=-l；(6)-X-3=5X+4

32

3.已知必:3x+2,度二4—x.

(1)當x取何值時,必=%？（2）當x取何值時，必比也大4?

6.3.1解一元一次方程（一）

知識技能目標

1.使學生了解一元一次方程的概念，能夠靈活運用方程的變形解一元一次方程;

2.使學生正確運用移項法則和去括號法則.

過程性目標

1.體會去括號和移項法則的不同之處；

2.經歷解方程的過程，得出解方程的?般步驟.

教學過程

一、創(chuàng)設情境

9

上兩堂課討論了一些方程的解法，那么那些方程究竟是什么類型的方程呢？先看下面幾個方程：每一

行的方程各有什么特征？(主要從方程中所含未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)兩方面分析).

4+x=7；3X+5=7-2笛

63

x+y=10；x+y+z=6；

x-2x-3=0；x-\=0.

二、探究歸納

比較一下，第一行的方程(即前3個方程)與其余方程有什么區(qū)別？(學生答)

可以看出，前一行方程的特點是：(1)只含有一個未知數(shù)：(2)未知數(shù)的次數(shù)都是一次的.“元”是指

未知數(shù)的個數(shù)，“次”是指方程中含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)，根據(jù)這一命名方法，上面各方程是什

么方程呢？(學生答)

只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫做一元一次

方程(linearequationwithoneunknowii).

第二行的方程的特點是：每一個方程中的未知數(shù)都超過一個；第三行的方程的特點是：每一個方程中

的未知數(shù)的次數(shù)都超過一次，根據(jù)一元一次方程的定義可知后四個方程都不是一元一次方程.

2

—=3

注意談到次數(shù)的方程都是指整式方程，即方程的兩邊都是整式.像工這樣就不是一元一次方程.

上兩堂課我們探討的方程都是一元?次方程，并且得出了解?元?次方程的?些步驟.下面我們繼續(xù)

通過解一元一次方程來探窕方程中含有括號的一元一次方程的解法.

解方程2(x—2)—3(4x—1)=9(1—x).

分析方程中有括號，設法先去括號.

解2x—4—12x+3=9—9x,..............去括號

—10x—1=9—9x,......................方程兩邊分別合并同類項

-10A-+9A-=1+9,......................移項

-x=10,..............................合并同類項

x=-10...............................系數(shù)化為1

注意(1)括號前邊是“一”號，去括號時，括號內各項都要變號：

(2)用分配律去括號時，不要漏乘括號內的項；

(3)-%=10,不是方程的解，必須把系數(shù)化為1,得x二一10,才是結果.

從上面的解方程可知，解含有括號的一元一次方程的步驟是：

(1)去括號；

⑵移項；

⑶合并同類項；

⑷系數(shù)化為1.

三、實踐應用

例1解方程：3(%-2)+1=x—(2x-1).

分析方程中有括號，先去括號，轉化成上節(jié)課所講方程的特點，然后再解方程.

解去括號

3x-6+1=x-2x+L

合并同類項

3x-5=—x+1,

移項

3x+x=1+5,

10

合并同類項

4x=6,

系數(shù)化為1

x-1.5.

例2解方程3{2工一1一[3(2x-l)+3]}=5.

分析方程中有多重括號，那么先去小括號，再去中括號，最后去大括號.

解去括號

3{2工一1一[6X-3+3]}=5,

合并同類項

3{2x-l-[6x]}=5,

去括號

3{2x-1-6x}=5,

合并同類項

3{-41}=5,

去括號

—12x—3=5,

移項

-12x=8,

系數(shù)化為1

x=8-(-12)=8x(--)=—.

123

注1.本題多次進行了合并同類項和去括號，解題時根據(jù)方程的特點靈活地選擇步驟.

2.也可把全部括號去掠后，再合并同類項后，解方程.

例3y取何值時，2(3/+4)的值比5(2y—7)的值大3?

分析這樣的題列成方程就是2(3y+4)-5(2y-7)=3,求x即可.

解2(37+4)-5(27-7)=3,

去括號

6y+8—10y+35=3,

合并同類項

一4y+43=3,

移項

—47=-40,

系數(shù)化為1

y=10.

答：當y=10時，2(3y+4)的值比5(2y—7)的值大3.

四、交流反饋

解一元一次方程的步驟

11

(1)去括號；

(2)移項;

(3)合并同類項：

⑷系數(shù)化為1.

注(1)去括號是依據(jù)去括號法則和分配律，去括號時要特別注意括號外的符號，同時不要漏乘括號中

的項！

(2)去括號后，若等式兩邊的多項式有同類項，可先合并同類項后再移項，以簡化解題過程.

五、檢測反饋

1.下列方程的解法對不對？如果不對怎樣改正？

解方程：2(x+3)-5(1-力=3(%-1)

解2*+3-5-5*=3*-3,

2x-5x-3x=-3+5-3,

-6x=-1,

1

x=-.

6

2.解下列方程：

(1)-5(X4-1)=1；

(2)5(z+2)=2(5x-1)；

(3)2(x-2)-(4x-l)=3(l-x)；

(4)4x-3(20-x)=6A--7(9-x)：

(5)3(27+1)=2(1+力+3(y+3).

3.列方程求解：

⑴當x取何值時，代數(shù)式3(2-才)和2(3+x)的值相等？

⑵當*取何值時，代數(shù)式3(2->)和2(3+x)的值互為相反數(shù)？

233

4.已知；I=y是方程3(/〃一丁》)+萬元=5〃z的解，求力的值.

6.3.2解一元一次方程(二)

知識技能目標

1.使學生掌握去分母解方程的方法，并總結解方程的步驟：

2.靈活運用解方程的一般步驟，提高綜合解題能力.

過程性目標

1.通過去分母解方程，進一步體會去括號和添括號法則；

2.合理地進行方程的變形，體會利用方程的特點靈活、簡潔地解一元一次方程的方法.

教學過程

一、創(chuàng)設情境

通過上幾節(jié)課各例的探討，得出了解一元一次方程的方法，以上所解的各個方程，都有一個共同的特

點，未知數(shù)的系數(shù)都是整數(shù)，如果未知數(shù)的系數(shù)是分數(shù)時，怎樣來解這種類型的方程呢？

二、探究歸納

x-32x+l

解方程:=1.

23

12

分析只要把分母去掉，就可將方程化為上節(jié)課的類型.‘和，的分母為2和3,最小公倍數(shù)是6,方

23

程兩邊都乘以6,則可去分母.

解去分母

3(x—3)—2(2x+1)=6,

去括號

3x—9—4%—2=6,

合并同類項

—X-11=6,

移項

-x=17,

系數(shù)化為1

x=-17.

在上述解方程的過程中，第一步是方程的兩邊都乘以同一個數(shù)6,使方程的系數(shù)不出現(xiàn)分數(shù).這樣的變

形通常稱為“去分母”.

注1.去分母，就是方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母；

2.去分母時，注意不要漏乘不帶分母的項；

3.去分母時，帶分數(shù)先化為假分數(shù)后再去分母.

到現(xiàn)在為止，利用方程的變形，我們解方程的步驟一共有：去分母、去括號、移項、合并同類項、系

數(shù)化為1,最后把方程化為x=a的形式.當然在解方程的過程中，要靈活運用上述步驟.

三、實踐應用

f,,,?.14x+323x

例1解方程：A-+2-=----------------------.

248

分析在去分母前，先將帶分數(shù)2,化為假分數(shù)，而分母2、4、8的最小公倍數(shù)為8,所以方程兩邊都乘

2

以8就可以了.

554x+32-3x

解x+-=----------------------

248

去分母，得

8x+20=2(4x+3)-(2-3x),

去括號，得

8%+20=8X+6-2+3x,

移項，得

8x-8%-3%=6-2-20,

合并同類項，得

-3x=-16,

系數(shù)化為1，得

16

x=—.

3

說明方程中含有分母，解方程時，一般宜先去分母，再做其它變形.去分母時應注意：

(1)所選的乘數(shù)是方程中所有分母的最小公倍數(shù)，不應遺漏：

(2)用各分母的最小公倍數(shù)乘方程的兩邊時，不要遺漏方程中不含分母的項：

(3)去掉分母后，分數(shù)線也同時去掠，分子上的多項式要用括號括起來.

13

例2解方嗎黑

x—3)—3—3?=0.

分析如果采用先去小括號，再去中括號，然后去大括號的方法，分母將變?yōu)?6,使解方程的運算過程

變得復雜，所以可考慮先去大括號，再去中括號，然后去小括號的方法來解這個方程.

解去分母，得

移項，得

另9-3

2

去分母，得

-(-x-3)-3=6,

22

移項，得

22

去分母，得

-x-3=18,

2

移項，得

-X=21,

2

系數(shù)化為1,得

x-42.

例3解方程x-1(x-9)=1(x-9).

解去分母，得

9x-31一：(工-9)=x-9,

去括號，得

9x—3x+(x—9)=x—9,

9x—3x+x-9=x-9,

移項，得

9x—3x+x~x=—9+9,

合并同類項，得

6x=0,

系數(shù)化為1,得

x=0.

!4

分析考慮到先去括號后，LX1(X-9)的值與方程右邊的項,(X-9)相同，通過移項，方程左右兩

33

邊的這兩項可互相抵消，從而簡化解方程的過程.

解去括號，得

移項，得

合并同類項，得

系數(shù)化為1,得

x=0.

例4解方程處3=返土。一1.

36

分析(1)首先可以大分母，將方程兩邊同時乘以3、6的最小公倍數(shù)6,大分母時不要漏乘沒有分母的

項T.

(2)觀察時如果著眼于括號，可以先去括號解方程.

(3)觀察該方程中各項的局部特征，可將x+1看成一個整體求解，先移項，再合并同類項，得

r-L1

--=-L后再求工

6

解法一：

去分母，得

4(x+1)=5(x+1)—6,

去括號，得

4x+4=5x+5—6,

所以年5.

解法二：

去括號，得

2x+25x+51

-----=--------1，

36

去分母，得

2(2x+2)=5x+5—6,

所以齊5.

解法三：將(廿1)看成一個整體，移項，得

合并同類項，得

x+1.

------=-1,

6

所以產5.

15

說明解方程的步驟是可以靈活安排的，安排得當可使解法得到簡化，比較以上三種方法，顯然解法

三最為簡便.

四、交流反思

解一元一次方程的一般步驟是：

變形名稱具體做法

去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù).

去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號.

把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊,其他項

移項

移到方程的另一邊.（注意移項要變號）

合并同類項把方程化為這二b（白r0）的形式.

在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,

系數(shù)化為1得彳&（以/0）的形式.

a

五、檢測反饋

1.指出下列方程求解過程中的錯誤，并給予糾正.

3r-14x+2,

（1）解方程：=------------1?

25

解15x—5=Sx+4-1,

15A-8%=4-1+5,

lx=8,

7

x,

8

X—Ix+24-x

(2)解方程：--

362

解2x-2-x+2=12-3x,

2x~x+3x=12+2+2,

4x=16,

x=4.

2.解下列方程：

小5。一17

(.1)--------=—；⑵二二

8435

3.解方程：

233I22

⑴一(3x+7)=2——_r；(2)—2(x——)+—=5x；

7222233

x—4341

(3)2.4---=-%；(4)—(―x-1)-2-x=2；

2.55

(5)—x----(x—1)=—(x-1)；(6)一?——+4\=1.

223234

16

6.3.3解一元一次方程（三）

知識技能目標

1.掌握分母中含有小數(shù)的一元一次方程的解法,靈活運用解方程的步驟解方程；

2.利用方程解決有關數(shù)學題.

過程性目標

體會由數(shù)學題提供的信息轉億為方程的方法，利用方程的意義解決數(shù)學題.

教學過程

一、創(chuàng)設情境

通過前面的學習，得出了解一元一次方程的一般步驟，任何一個一元一次方程都可以通過去分母、去

括號、移項、合并同類項等步驟轉化成*=a的形式.因此當一個方程中的分母含有小數(shù)時，應首先

考慮化去分母中的小數(shù)，然后再求解這個方程.

二、探究歸納

,〃、山（）.09無+0.023+2x03x4-1.4,

解方程---------------------------------=1.

0.0730.2

分析此方程的分母中含有小數(shù)，通常將分母中的小數(shù)化為整數(shù)，然后再按解方程的一般步驟求解.

（）?（）".1+0023+（0（）.3.1+1.4_]

0.0730.2

利用分數(shù)的基本性質，將方程化為：

9x+23+2x3x+14.

732

去分母，得

6（9/+2）—14（3+2才）―21（3/+14）=42,

去括號，得

54A-+12-42-28A-63x-294=42,

移項，得

54x-28x—53x=42—12+42+294,

合并同類項，得

-37x=366,

366

注解此方程時一定要注意區(qū)別：將分母中的小數(shù)化為整數(shù)杈據(jù)的是分數(shù)的基本性質，分數(shù)的分子和分

母都乘以（或除以）同一個不等于零的數(shù)，分數(shù)的值不變，所以等號右邊的1不變.去分母是方程的兩

邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（42）,所以等號右邊的1也要乘以42,才能保證所得結果仍成立.

三、實踐應用

0.4X+2.10.5—0.2x

例1解方程=0.6.

0.50.03

分析這個方程的分母含有小數(shù)，可依據(jù)分數(shù)的基本性質，先把分母化為整數(shù)再去分母后求解.

解原方程可化為

4x+2150-20x3

—,

535

去分母，得

!7

3(4AH-21)-5(50-20x)=9,

去括號，得

12%+63-250+100x=9,

移項，得

12%+103%=9-63+250,

合并同類項，得

112A-二196,

系數(shù)化為1,得

1967

Y=--二一

1124,

例2解下列方程：

(1)3(2%-1)+4=1-(2%-1)；

/、4x+34x+34x+3,

(2)------+------+------=1：

分析我們已經學習了解方程的?般步驟，具體解題時，要觀察題目的結構特征，靈活應用步驟.

第(1)小題中可以把(2丫-1)看成一個整體，先求出(2*—1)的值，再求x的值；

第(2)小題，應注意到分子都是4k3,且，+4+1=1,所以如果把4k3看成一個整體，則無需去分

623

母；

第(3)小題可以先去小括號.再去分母求解，也可以邊去分母邊去括號求解.

解⑴3(2萬—1)+4=1一(2%—1),

3(2x—l)+(2x—l)=1-4,

4(2x-l)=-3,

八3

2x—\=——,

4

2A-=一,

4

小4x+34x+34x+3,

⑵------+------+------=1：

623

(一+—+—)(4x+3)=1；

623

4%+3=1；

4x=-2；

1

x.

2

18

2x—1=6；

2x=7；

7

x=-.

2

說明解方程時，要注意觀察分析題目的結構，根據(jù)具體情況合理安排解題的步驟，注意簡化運算，

這樣可以提高解題速度，培養(yǎng)觀察能力和決策能力.

1Q1r

例3當x為何值時，代數(shù)式旦」與萬一1互為相反數(shù)？

3

分析兩個數(shù)如果互為相反數(shù)，則它們的和等于0,根據(jù)相反數(shù)的意義列出以x為未知數(shù)的方程，解方

程即可求出出值.

1Qir

解因為與4一1互為相反數(shù)，

3

日18+x八

所以------+x-1=0

3

18+x+3>-3=0,

4A=-15,

所以x.

4

答當產一絲時，代數(shù)式竺匕與x—1互為相反數(shù).

43

例4當A取何值時，方程2(2x—3)=1—2x和8=2(x+1)的解相同？

77

分析由方程2(2*—3)=1-2/可求出它的解為％二因為兩個方程的解相同，只需把才二一代

66

入方程8—%=2(x+1)中即可求得々的值.

解由2(2x—3)=1—2x得，

4x-6=1-2x,

4x+2x=1+6,

6x=7,

7

x=-.

6

7

把*=一代入方程8—A=2(%+1),得

6

7

8—k=2(-+1)；

6

7

8~k=-+2；

3

!9

答當A=一時，方程2(2x-3)=l—2x和8—4=2(x+1)的解相同.

3

四、交流反思

這幾堂課我們都在探討一元一次方程的解法,具體解題時要仔細審題，根據(jù)方程的結構特征，靈活選擇

解法，以簡化解題步驟，提高解題速度.對于利用方程的意義解決的有關數(shù)學題，仔細領會題目中的

信息，應把它轉化為方程來求解.

五、檢測反饋

1.解下列方程：

,,18—8x13—3x5x—0.4

2~~0.3

2.解方程：

3.(l)x取何值時，代數(shù)式4x—5與3L6的值互為相反數(shù)?

k4-13k4-1

(2)k取何值時，代數(shù)式一的值比^——的值?。?/p>

4.a為何值時，方程a(5x—1)—a(3-x)=6x(x—1)有一個根是一1?

6.3.4解一元一次方程(四)

知識技能目標

1.使學生掌握用一元一次方程解決實際問題的一般步驟；初步了解用列方程解實際問題(代數(shù)方法)比

用算術方法解的優(yōu)越性；

2.通過分析找出實際問題中已知量和未知量之間的等量關系，并根據(jù)等量關系列出方程.

過程性目標

1.通過列出一元一次方程解實際問題的教學，使學生了解“未知”可以轉化為“已知”的思想方法，

提高分析和解決問題的能力；

2.使學生體會學習數(shù)學重在應用，探索將實際問題轉化為數(shù)學問題的過程，感受實際生活中處處存在

數(shù)學.

教學過程

一、創(chuàng)設情境

在小學算術中，我們學習了用算術方法解決實際問題的有關知識，那么，一個實際問題能否應用一元

?次方程來解決，若能解決，怎樣解？用?元?次方程解應用題與用算術方法解應用題相比較它有什

么優(yōu)越性？

例1某數(shù)的3倍減2等于它的與4的和，求某數(shù).(用算術方法解由學生回答)

20

解(4+2)+(3-1)=3

答某數(shù)為3.

如果設某數(shù)為x,根據(jù)題意，其數(shù)學表達式為

3*—2=x+4

此式恰是關于刀的一元一次方程.解之得

x=3.

例1的上述兩種解法，很明顯算術方法不易思考，而應用設未知數(shù)，列出方程并通過解一元一次方程求

得應用題的解有化難為易之感，這就是我們學習運用一元一次方程解應用題的目的之一.

我們知道方程是一個含有未知數(shù)的等式，而等式表示了一個相等的關系.對于任何一個應用題中所提

供的條件應首先找出一個相等的關系，然后再將這個相等的關系表示成方程.

下面我們通過實例來說明怎樣尋找一個相等的關系和把這個相等關系轉化為方程的方法和步驟.

二、探究歸納

某面粉倉庫存放的面粉運出15%后，還剩余42500千克，這個倉庫原來有多少面粉？

分析題中給出的已知量為倉庫中存放的面粉運出15樂倉庫中還剩余42500千克.未知量為倉庫中原來

有多少面粉.

已知量與未知量之間的一個相等關系：原來重量一運出重量=剩余重量

設原來有x千克面粉，運出千克，還剩余42500千克.

列表如下：

左邊右邊

原來有彳千克，運出15%x

還剩下42500千克

千克

解設原來有汗克面粉，那么運出門5固汗克，根據(jù)題意，得

^-15%?x=42500

即x--x=42500

100

升5

—x=42500

100

解得，x=50009.

經檢驗，符合題意.

答原來有50000T-克面粉.

說明(1)此應用題的相等關系也可以是：

原來重量=運出重量+剩余重量，

原來重量一剩余重量=運出重量.

它們與“原來重量一運出重量=剩余重量”形式上不同，實際上是一樣的，可以任意選擇其中的一個

相等關系來列方程.

上例的解方程較為簡捷，同學應仔細體會.

根據(jù)上例分析，同學們思考一下列一元一次方程解實際問題的方法和步驟，根據(jù)同學總結的情況，老

師歸納如下：

(1)仔細審題，透徹理解題意.即弄清己知量、未知量及其相互關系，并用字母(如x)表示題中的一個

合理未知數(shù)；

(2)根據(jù)題意找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系(這是關鍵步驟)；

(3)根據(jù)相等關系，正確列出方程，即所列方程應滿足兩邊的量要相等，方程兩邊代數(shù)式的單位要相同，

題中條件要充分利用，不能漏用，也不能將一個條件重復利用；

21

(4)解方程，求出未知數(shù)的值；

(5)檢驗后寫出完整答案.

三、實踐應用

例1如圖，天平的兩個盤內分別盛有51g、45g鹽，問應該從盤力內拿出多少鹽放到盤〃內，才能使

兩者所盛鹽的質量相等？

(51-工)g

分析設應從盤力內拿出鹽耳,可列出下表.

盤工盤8

原有鹽加)5145

現(xiàn)有鹽(g)(51-%)(45+0

等量關系：盤力中現(xiàn)有的鹽=盤6中現(xiàn)有的鹽.

解設應從盤/!內拿出鹽眼，放到盤〃內，則根據(jù)題意，得

51—x二45+x

解這個方程，得

x=3.

經檢驗，符合題意.

答應從盤/內拿出鹽3g放到盤片內.

例2學校團委組織65名團員為學校建花壇搬磚.初一同學每人搬6塊，其他年級同學每人搬8塊,

總共搬了400塊.問初一同學有多少人參加了搬磚？

分析設初一同學有4人參加搬磚，可列出下表.

初一學生其他年級學生總數(shù)

參加人數(shù)X65

每人搬磚數(shù)68

共搬砂數(shù)400

等量關系：初一同學搬磚數(shù)+其他年級同學搬磚數(shù)=400.

解設初一同學有x人參加搬磚，則根據(jù)題意，得

6x+8(65-%)=400.

解這個方程，得

x=60.

經檢驗，符合題意.

答初一同學有60人參加了搬磚.

例3一瓶藥水，用去它的1后，又用去1升，還剩下72升，問這瓶藥水原

333

有多少升？一

22

分析要注意題目的條件’第一次用去它的第二次用去!升’“它的2"

和《升”不是一回事?

等量關系：原有藥水-原有藥水的:-3升二7：升

解設這瓶藥水原有濟.

由題意，得

11

X--X--二

33