大學(xué)怎么考試高數(shù)題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x-1)}$的定義域是（）A.$x>1$B.$x\neq2$C.$x>1且x\neq2$D.$x\geq1$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=$（）A.1B.3C.0D.$\frac{1}{3}$3.函數(shù)$y=x^3-3x$的駐點(diǎn)是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=\pm1$D.$x=0$4.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$\sinx$，則$f^\prime(x)=$（）A.$\sinx$B.$-\sinx$C.$\cosx$D.$-\cosx$5.$\int\frac{1}{x}dx=$（）A.$\lnx+C$B.$\ln|x|+C$C.$-\frac{1}{x^2}+C$D.$\frac{1}{x^2}+C$6.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線斜率為（）A.0B.1C.$e$D.$\frac{1}{e}$7.極限$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2-1}=$（）A.3B.0C.$\infty$D.18.函數(shù)$y=\sqrt{4-x^2}$的定義域是（）A.$[-2,2]$B.$(-2,2)$C.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$D.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$9.若$f(x)$在$x=a$處可導(dǎo)，則$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$等于（）A.$f^\prime(a)$B.$f(a)$C.0D.不存在10.函數(shù)$y=\cosx$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$\sinx$B.$-\sinx$C.$\cosx$D.$-\cosx$答案：1.C2.B3.C4.D5.B6.B7.A8.A9.A10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$3.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處有定義4.下列積分中，計(jì)算正確的有（）A.$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$B.$\int\cosxdx=\sinx+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{x}+C$5.曲線$y=x^3-3x$的單調(diào)區(qū)間為（）A.在$(-\infty,-1)$上單調(diào)遞增B.在$(-1,1)$上單調(diào)遞減C.在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增D.在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增6.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sqrt{x}$C.$y=\sinx$D.$y=e^x$7.若$f(x)$是可導(dǎo)函數(shù)，則$(f(x)+C)^\prime=$（）（$C$為常數(shù)）A.$f^\prime(x)$B.$f^\prime(x)+C$C.$f(x)$D.08.下列極限運(yùn)算正確的有（）A.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$B.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$C.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1$D.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$9.函數(shù)$y=x^4-2x^2+3$的極值點(diǎn)有（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.$x=2$10.下列說法正確的有（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.可微函數(shù)一定可導(dǎo)D.可導(dǎo)函數(shù)一定可微答案：1.ABD2.ABD3.BC4.ABC5.ABC6.BCD7.A8.ABCD9.ABC10.ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=1$。（）3.若$f(x)$在$x=a$處不可導(dǎo)，則$f(x)$在$x=a$處一定不連續(xù)。（）4.函數(shù)$y=\cos^2x$的導(dǎo)數(shù)是$y^\prime=-2\cosx\sinx$。（）5.$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$，當(dāng)$f(x)$為奇函數(shù)時(shí)成立。（）6.函數(shù)$y=\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)是$y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。（）7.極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1$。（）8.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$一定存在。（）9.函數(shù)$y=x^3$在$x=0$處有極值。（）10.曲線$y=e^x$與直線$y=x+1$相切于點(diǎn)$(0,1)$。（）答案：1.×2.×3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+5$的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：先求導(dǎo)$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime=0$，得$x=0$，$x=2$。當(dāng)$x\lt0$或$x\gt2$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$0\ltx\lt2$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值為$y(0)=5$，極小值為$y(2)=1$。2.計(jì)算$\intxe^xdx$。答案：用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$，則$du=dx$，$v=e^x$。由分部積分公式$\intudv=uv-\intvdu$，得$\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$。3.求函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。答案：$x=1$是間斷點(diǎn)。因?yàn)?\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}=\infty$，所以$x=1$是無窮間斷點(diǎn)，屬于第二類間斷點(diǎn)。4.求曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線方程。答案：先求導(dǎo)$y^\prime=2x$，則在點(diǎn)$(1,1)$處切線斜率$k=y^\prime|_{x=1}=2$。由點(diǎn)斜式得切線方程為$y-1=2(x-1)$，即$2x-y-1=0$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x^2-1}$的漸近線情況。答案：垂直漸近線：令$x^2-1=0$，得$x=\pm1$，所以$x=\pm1$是垂直漸近線。水平漸近線：$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2-1}=0$，所以$y=0$是水平漸近線。不存在斜漸近線。2.討論在實(shí)際問題中，利用導(dǎo)數(shù)求最值的一般步驟。答案：首先，根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定自變量的取值范圍；然后，對函數(shù)求導(dǎo)，找出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；接著，判斷駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是否在定義域內(nèi)；最后，比較這些點(diǎn)的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，得出最大值和最小值。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式表明定