522期【圓錐】斜率問題八大模型知多少？模型1.圓錐曲線第三定義此處以橢圓第三定義為例，雙曲線第三定義類似推得.如圖，橢圓如圖，橢圓上任意一點(diǎn)與過原點(diǎn)為中心的弦的兩端點(diǎn)、連線、與坐標(biāo)軸不平行，則直線、的斜率之積為定值．【證明】設(shè)，，則．所以①（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）②由①－②得，所以，所以為定值．【點(diǎn)睛】這條性質(zhì)是圓的性質(zhì)：圓上一點(diǎn)對(duì)直徑所張成的角為直角在橢圓中的推廣，它充分揭示了橢圓的本質(zhì)屬性。關(guān)于圓錐曲線第三定義及其推廣可以參考小π之前推送的文章《470期【圓錐】圓錐曲線第三定義&點(diǎn)差法，重要結(jié)論及6大應(yīng)用（74頁）》，鏈接：/s/NJPQuyrHT9AFT1CeZad4mw例1.例1.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科)已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說明是什么曲線；解析：（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓，其方程為；模型2.中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法橢圓中的點(diǎn)差法：設(shè)直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，其中設(shè)點(diǎn)()，()由于兩點(diǎn)均在橢圓上，代入橢圓的方程可得：∴①，②，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）②得：，進(jìn)一步，則，即，則（其中為中點(diǎn)，為原點(diǎn)）.橢圓垂徑定理：直線的斜率與中點(diǎn)和原點(diǎn)所成直線斜率的乘積等于下的系數(shù)比上下的系數(shù)的相反數(shù)，即.例2例2．已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為（）A． B．C． D．【解析】設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)，，則，，分別把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，兩式相減得：，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）直線的斜率，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為：，即，故選：C．模型3.四點(diǎn)共圓充要條件1.基礎(chǔ)知識(shí)：（1）圓錐曲線四點(diǎn)共圓：若兩條直線與二次曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是.例3.例3.平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【解析】因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為；設(shè)點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線無公共點(diǎn)，不妨直線的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理可得，設(shè)點(diǎn)、，則且.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由韋達(dá)定理可得，，所以，，設(shè)直線的斜率為，同理可得，因?yàn)?，即，整理可得，即，顯然，故.因此，直線與直線的斜率之和為.模型4.極點(diǎn)極線斜率等差1.基本結(jié)論若四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列，在這四點(diǎn)所在直線外任取一點(diǎn)，所形成的的四條射線，，，，稱為調(diào)和線束.對(duì)于一組調(diào)和線束，本節(jié)給出其斜率之間所滿足的基本關(guān)系，并進(jìn)一步用此結(jié)論去解決一些與極點(diǎn)極線有關(guān)的斜率恒等式.【結(jié)論】如圖1.若調(diào)和線束【結(jié)論】如圖1.若調(diào)和線束，，，的方程為.那么.圖1圖22.基本應(yīng)用此處，我們選擇比較經(jīng)典的兩個(gè)問題，即2013年江西高考的文理科圓錐曲線題目來作為上述結(jié)論應(yīng)用的范例.例4.如圖2，橢圓例4.如圖2，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為.（1）求橢圓的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）橢圓的方程為.（2）證明：由于直線是點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線，所以成調(diào)和點(diǎn)列，分別設(shè)直線為，那么四直線的交比,利用交比的性質(zhì)可得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）又由于，故，即，證畢.【點(diǎn)睛】由該例題可以總結(jié)出結(jié)論：已知橢圓，過定點(diǎn)作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，交點(diǎn)的極線于點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則直線的斜率成等差數(shù)列.關(guān)于極點(diǎn)極線的詳細(xì)概念定義、定理、推論等可以參考小π之前推送的文章《【圓錐】極點(diǎn)與極線2定義&4定理&3推論》鏈接：/s/WNwMEvbpjR-QO5kckdCdFA《480期【圓錐】9點(diǎn)講清極點(diǎn)與極線（90頁）》，鏈接：/s/1h3doHXwQSr-dEKmj3F6WQ模型5.蝴蝶定理與斜率之商【結(jié)論1】【結(jié)論1】設(shè)拋物線的弦過定點(diǎn)，過點(diǎn)作非水平線交于兩點(diǎn)，若直線與軸交于定點(diǎn)，直線的斜率存在且非零，則.上述【結(jié)論1】就是2022年全國(guó)甲卷解析幾何試題的命題背景，即所謂的“蝴蝶定理”！這個(gè)定理同樣適用于橢圓與雙曲線，下面我們通過例題予以展示.例5例5．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)，延長(zhǎng)，分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值．【解析】（1）由題意，橢圓的方程為．（2）設(shè)，，由已知，直線的方程為，即．由消去并整理，得．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）則，∵，∴，∴．∴，同理．，∵，，∴，∴為定值．【點(diǎn)睛】可以看到，橢圓中的蝴蝶構(gòu)型在證明過程中會(huì)出現(xiàn)非對(duì)稱韋達(dá)結(jié)構(gòu)。關(guān)于非對(duì)稱韋達(dá)處理技巧可以參考小π之前推送的文章《467期【圓錐】非對(duì)稱韋達(dá)結(jié)構(gòu)的韋達(dá)化處理》鏈接：/s/4-IvwlFZjh_0czc7mXL6WA模型6.斜率倒數(shù)成等差模型例6（2022武漢九月調(diào)考）例6（2022武漢九月調(diào)考）已知橢圓，過點(diǎn)且與軸平行的直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為軸上的一點(diǎn)，設(shè)直線和的斜率分別為和，若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意，橢圓的下頂點(diǎn)為，故.由對(duì)稱性，橢圓過點(diǎn)，代入橢圓方程有，解得：.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與聯(lián)立得：.設(shè)，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）則.，，為定值，即與無關(guān)，則，此時(shí).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)也滿足，故點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】由該題可以推廣得結(jié)論：已知橢圓，點(diǎn)為直線上任一點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，則.模型7.手電筒模型1．設(shè)為橢圓上頂點(diǎn)，是橢圓上一條動(dòng)弦，直線的斜率分別為，則：（1）直線過定點(diǎn)（2）若，則則直線過.2.設(shè)為橢圓上的定點(diǎn)，是橢圓上一條動(dòng)弦，直線的斜率分別為；（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（1）若，則有，（2）若，則直線過定點(diǎn)，（3）若，則有，（4）若，則直線過定點(diǎn).例8.例8.已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)四等分點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)，直線，分別交：于異于點(diǎn)的點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，求實(shí)數(shù)，使得恒成立.【解析】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，直線MN的方程為，則直線BM的方程為，與聯(lián)立，得：，由，且點(diǎn)在上，得，又，即，代入上式，，即點(diǎn)，同理，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）則，將代入上式，得，所以時(shí)，恒成立.模型8.角度轉(zhuǎn)化例9例9．（2018全國(guó)1卷）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1