2025年數學小人路燈題目及答案

一、單項選擇題1.若一個三角形的內角比為1:2:3，則這個三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形答案：B2.化簡：$3x-2(2x-1)$的結果是（）A.$-x+2$B.$-x-2$C.$x+2$D.$x-2$答案：A3.在平面直角坐標系中，點$P(-3,4)$關于$x$軸對稱的點的坐標是（）A.$(3,4)$B.$(3,-4)$C.$(-3,-4)$D.$(4,-3)$答案：C4.一元二次方程$x^2-5x+6=0$的根是（）A.$x_1=1$，$x_2=6$B.$x_1=2$，$x_2=3$C.$x_1=-2$，$x_2=-3$D.$x_1=-1$，$x_2=-6$答案：B5.已知一次函數$y=kx+b$的圖象經過點$(0,-2)$和$(1,0)$，則$k$，$b$的值分別為（）A.$k=2$，$b=-2$B.$k=-2$，$b=2$C.$k=2$，$b=2$D.$k=-2$，$b=-2$答案：A6.一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則它的側面積為（）A.$15\picm^2$B.$20\picm^2$C.$12\picm^2$D.$18\picm^2$答案：A7.數據2，3，4，5，6的中位數是（）A.3B.4C.5D.6答案：B8.若分式$\frac{x-1}{x+2}$的值為0，則$x$的值是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=-2$D.$x=0$答案：A9.如圖，在$\odotO$中，弦$AB$所對的圓心角$\angleAOB=100^{\circ}$，則圓周角$\angleACB$的度數是（）A.$50^{\circ}$B.$100^{\circ}$C.$130^{\circ}$D.$200^{\circ}$答案：A10.用配方法解方程$x^2+6x+4=0$，配方后的方程是（）A.$(x+3)^2=5$B.$(x-3)^2=5$C.$(x+3)^2=13$D.$(x-3)^2=13$答案：A二、多項選擇題1.以下屬于無理數的是（）A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$0.1010010001\cdots$D.$\frac{1}{3}$答案：ABC2.下列運算正確的是（）A.$a^2\cdota^3=a^5$B.$(a^2)^3=a^6$C.$a^6\diva^2=a^3$D.$(ab)^3=a^3b^3$答案：ABD3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體可能是（）A.圓柱B.圓錐C.三棱柱D.長方體答案：AC4.下列函數中，$y$隨$x$的增大而增大的是（）A.$y=3x$B.$y=-2x+1$C.$y=\frac{1}{2}x-3$D.$y=-x-2$答案：AC5.以下能判定四邊形是平行四邊形的條件有（）A.兩組對邊分別平行B.兩組對邊分別相等C.一組對邊平行且相等D.對角線互相平分答案：ABCD6.關于二次函數$y=x^2-2x-3$，下列說法正確的是（）A.圖象開口向上B.對稱軸為直線$x=1$C.與$x$軸的交點坐標為$(3,0)$和$(-1,0)$D.當$x\gt1$時，$y$隨$x$的增大而減小答案：ABC7.以下事件中，是隨機事件的有（）A.明天會下雨B.擲一枚質地均勻的骰子，朝上一面的點數是6C.太陽從東方升起D.打開電視，正在播放廣告答案：ABD8.已知三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可能是（）A.2B.3C.4D.6答案：BCD9.下列因式分解正確的是（）A.$x^2-4=(x+2)(x-2)$B.$x^2+2x+1=(x+1)^2$C.$x^2-3x=x(x-3)$D.$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$答案：ABCD10.如圖，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，分別交$AB$，$AC$于點$D$，$E$，則下列結論正確的是（）A.$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$B.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$C.$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$D.$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{EC}$答案：ABC三、判斷題1.絕對值等于它本身的數是正數。（×）2.所有的偶數都是合數。（×）3.若$a\gtb$，則$ac^2\gtbc^2$。（×）4.圓的切線垂直于經過切點的半徑。（√）5.兩個相似三角形的面積比等于它們的相似比。（×）6.平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。（√）7.一組數據的方差越大，這組數據的波動越小。（×）8.單項式$-\frac{2x^2y}{3}$的系數是$-\frac{2}{3}$，次數是3。（√）9.若點$P(x,y)$在第二象限，則$x\lt0$，$y\gt0$。（√）10.一元一次不等式組的解集是不等式組中各個不等式解集的公共部分。（√）四、簡答題1.先化簡，再求值：$(x+2y)^2-(x+y)(x-y)$，其中$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$。答案：先化簡：\[\begin{align}&(x+2y)^2-(x+y)(x-y)\\=&x^2+4xy+4y^2-(x^2-y^2)\\=&x^2+4xy+4y^2-x^2+y^2\\=&4xy+5y^2\end{align}\]當$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$時，代入得：\[\begin{align}&4\times\frac{1}{2}\times(-1)+5\times(-1)^2\\=&-2+5\\=&3\end{align}\]2.已知一個多邊形的內角和是外角和的3倍，求這個多邊形的邊數。答案：設這個多邊形的邊數為$n$。多邊形外角和為$360^{\circ}$，內角和公式為$(n-2)\times180^{\circ}$。由內角和是外角和的3倍，可得方程$(n-2)\times180=3\times360$，即$(n-2)\times180=1080$，$n-2=6$，解得$n=8$。所以這個多邊形的邊數是8。3.解不等式組：$\begin{cases}2x+1\gt-3\\3-x\geq1\end{cases}$答案：解不等式$2x+1\gt-3$，移項得$2x\gt-3-1$，即$2x\gt-4$，解得$x\gt-2$。解不等式$3-x\geq1$，移項得$-x\geq1-3$，即$-x\geq-2$，解得$x\leq2$。所以不等式組的解集為$-2\ltx\leq2$。4.如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$中點，$DE\perpAB$于點$E$，$DF\perpAC$于點$F$。求證：$DE=DF$。答案：因為$AB=AC$，所以$\triangleABC$是等腰三角形。又因為$D$是$BC$中點，根據等腰三角形三線合一性質，$AD$是$\angleBAC$的平分線。因為$DE\perpAB$，$DF\perpAC$，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以$DE=DF$。五、討論題1.在直角坐標系中，一次函數$y=kx+b$（$k\neq0$）的圖象與反比例函數$y=\frac{m}{x}$（$m\neq0$）的圖象交于$A(1,2)$，$B(-2,n)$兩點。（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）求$\triangleAOB$的面積；（3）根據圖象直接寫出不等式$kx+b\gt\frac{m}{x}$的解集。答案：（1）把$A(1,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=2$，所以反比例函數解析式為$y=\frac{2}{x}$。把$B(-2,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$n=-1$，即$B(-2,-1)$。把$A(1,2)$，$B(-2,-1)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}k+b=2\\-2k+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$，所以一次函數解析式為$y=x+1$。（2）設直線$y=x+1$與$x$軸交點為$C$，令$y=0$，則$x=-1$，即$C(-1,0)$。$S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}\times1\times2+\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{3}{2}$。（3）由圖象可知，不等式$kx+b\gt\frac{m}{x}$的解集為$-2\ltx\lt0$或$x\gt1$。2.如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，點$P$從點$A$出發(fā)沿$AC$邊向點$C$以1cm/s的速度移動，點$Q$從點$C$出發(fā)沿$CB$邊向點$B$以2cm/s的速度移動。如果$P$，$Q$兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動。設運動時間為$t$秒。（1）求經過幾秒后，$\trianglePCQ$的面積等于8；（2）經過幾秒后，$PQ$的長度最小，并求出最小值。答案：（1）$AP=t$，則$PC=6-t$，$CQ=2t$。因為$\trianglePCQ$面積為8，根據三角形面積公式可得$\frac{1}{2}(6-t)\times2t=8$，即$6t-t^2=8$，$t^2-6t+8=0$，分解因式得$(t-2)(t-4)=0$，解得$t=2$或$t=4$。（2）根據勾股定理，$PQ^2=PC^2+CQ^2=(6-t)^2+(2t)^2=5t^2-12t+36$。對于二次函數$y=5t^2-12t+36$，其對稱軸為$t=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$。當$t=\frac{6}{5}$時，$PQ^2$有最小值，$PQ^2=5\times(\frac{6}{5})^2-12\times\frac{6}{5}+36=\frac{144}{5}$，所以$PQ$最小值為$\frac{12\sqrt{5}}{5}$。3.已知二次函數$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象經過點$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$。（1）求二次函數的解析式；（2）在二次函數的圖象上是否存在一點$P$，使$\trianglePAB$的面積等于$\triangleABC$的面積？若存在，求出點$P$的坐標；若不存在，請說明理由。答案：（1）把$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$\begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=3\end{cases}$，把$c=3$代入前兩個方程得$\begin{cases}a-b=-3\\9a+3b=-3\end{cases}$，由$a-b=-3$得$a=b-3$，代入$9a+3b=-3$得$9(b-3)+3b=-3$，$9b-27+3b=-3$，$12b=24$，$b=2$，則$a=-1$。所以二次函數解析式為$y=-x^2+2x+3$。（2）$AB=3-(-1)=4$，$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times4\times3=6$。設$P(x,y)$，則$S_{\trianglePAB}=\frac{1}{2}\times4\times|y|=6$，解得$|y|=3$。當$y