第十七章特殊三角形一、選擇題1.已知一個等腰三角形的頂角為x°,則一個底角的度數(shù)用含x的式子表示是 ()A.180°-x° B.90°-x°C.x° D.90°-12x2.如圖,是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖,它是由四個全等的直角三角形拼接而成.若AB=17,AH=8,則正方形EFGH的邊長是 ()A.5 B.6 C.7 D.83.(2024泰安中考)如圖,直線l∥m,等邊三角形ABC的兩個頂點B,C分別落在直線l,m上,若∠ABE=21°,則∠ACD的度數(shù)是 ()A.45° B.39° C.29° D.21°4.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為邊AB的中點,CD=3,AC=2,則BC的長為 ()A.3 B.4 C.6 D.425.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,點D在BC上,AB⊥AD,AD=2,則BC等于 ()A.4 B.5 C.6 D.86.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=12,則AD的長為 ()A.6 B.7 C.8 D.97.如圖,在長方形紙片ABCD中,已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對角線AC重合,點B落在點F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長為 ()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題8.等腰三角形一邊長等于4,一邊長等于9,它的周長是.

9.由于木質(zhì)衣架沒有柔性,在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設(shè)計了一種衣架,在使用時能輕易收攏,然后套進衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18cm,若衣架收攏時,∠AOB=60°,如圖2,則此時A,B兩點之間的距離是cm.

10.(易錯題)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,作BC的垂直平分線EF交BC于點F,交AB于點E,連接CE.若EF=1,則△ACE的周長為.

三、解答題11.如圖,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°.(1)求∠B的度數(shù).(2)求∠C的度數(shù).12.如圖,一棵大樹AD兩側(cè)各有一條斜拉的繩子,李明想用所學知識測量大樹AD的高度,他從工作人員處了解到繩子AB的長為13m,AC的長為20m,然后用米尺測得B,C之間的距離為21m.已知B,C,D在一條直線上,AD⊥BC,求大樹的高AD.13.如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BD⊥AC于點D,E是BC上一點,連接AE,與BD相交于點O,連接OC,DE,且OB=OC.(1)求證:AE垂直平分BC.(2)若∠OED=∠ODE,求證:CO平分∠ACB.(3)若∠BAC=60°,求證:△CDE是等邊三角形.14.如圖,△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若動點P從點C開始,按C→A→B的路徑運動,且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為ts.問t為何值時,△BCP為等腰三角形?

【詳解答案】1.D解析:∵一個等腰三角形的頂角為x°且等腰三角形的兩個底角相等,∴一個底角的度數(shù)用含x的式子表示為12(180°-x°)=90°-122.C解析:由題意得,AD=AB=17,AH=DE=8,∠AHD=90°,∴DH=AD2-AH2=15,∴HE=DH-DE=15-8=7,3.B解析:如圖,過點A作AF∥l,∵直線l∥m,∴AF∥m,∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE,∵∠ABE=21°,∴∠BAF=21°,∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°.故選B.4.D解析:∵∠ACB=90°,D是斜邊AB的中點,∴AB=2CD.∵CD=3,∴AB=6.在Rt△ACB中,由勾股定理,得BC=AB2-5.C解析:∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=∠C=30°,∠BAC=120°.∵AB⊥AD,∴∠BAD=90°.∵AD=2,∴BD=2AD=4.∵∠DAC=120°-90°=30°,∴∠DAC=∠C.∴AD=DC=2.∴BC=BD+DC=4+2=6.故選C.6.D解析:∵∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,∴∠BCD+∠B=90°,∠A+∠B=90°.∴∠BCD=∠A=30°.∴AB=2BC=12.∴BC=6.∴BC=2BD=6.∴BD=3.∴AD=AB-BD=12-3=9.故選D.7.D解析:根據(jù)題意得BC=AD=8.因為△ABE≌△AFE,所以AB=AF,BE=FE=3,CE=BC-BE=AD-BE=8-3=5.在Rt△EFC中,由勾股定理,得CF=CE2-EF2=52-32=4,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB8.22解析:∵4+4=8<9,∴腰長不應為4,而應為9.∴等腰三角形的周長=4+9+9=22.9.18解析:連接AB(圖略).∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△AOB是等邊三角形.∴AB=OA=OB=18cm.10.6解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A=90°-∠B=60°,∵EF是BC的垂直平分線,∴EB=EC,∠BFE=90°,∴∠ECB=∠B=30°,在Rt△BEF中,EF=1,∠B=30°,∴BE=2EF=2,∵∠ACE=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°,∴∠A=∠ACE=60°,∴△ACE是等邊三角形,∴AC=AE=CE=2,∴△ACE的周長為6.11.解:(1)在△ABD中,AB=AD,∠BAD=20°,∴∠B=∠ADB=(180°-20°)×12(2)∵AD=DC,∴∠C=∠CAD=12∠ADB=112.解:設(shè)BD=xm,則CD=(21-x)m.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2,在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2.∴AB2-BD2=AC2-CD2.∵AB=13m,AC=20m,∴132-x2=202-(21-x)2,解得x=5,即BD=5m.∴AD=AB即大樹的高AD為12m.13.證明:(1)∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.∵OB=OC,點A,O在AE上,∴AE垂直平分BC.(2)∵∠OED=∠ODE,∴OD=OE.又∵BD⊥AC,AE⊥BC,即OD⊥AC,OE⊥BC,∴點O在∠ACB的平分線上,∴CO平分∠ACB.(3)由(1),知AB=AC.∵∠BAC=60°,∴△ABC是等邊三角形.∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°.由(1),知AE垂直平分BC,∴E是BC的中點.∴EC=12BC∵BD⊥AC,∴CD=12AC∴EC=CD.∴△CDE是等邊三角形.14.解:根據(jù)勾股定理,得AC=AB2分三種情況:當CP=BC時,△BCP為等腰三角形.若點P在AC上,得CP=BC=3.∴t=31若點P在AB上,作CH⊥AB于點H,如圖.∵12AC·BC=12AB·CH,即4×3=5CH,解得CH=在Rt△BCH中,BH=BC232∴BP=2BH=185∴t=AC+當CP=BP時,△BCP為等腰三角形,則∠B