高二（上）期末測試卷（B卷能力提升）考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若雙曲線的實軸長為，則正數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【來源】吉林省敦化市實驗中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【知識點】根據(jù)頂點坐標(biāo)、實軸、虛軸求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】由雙曲線實軸長為，有，又m>0，.故選：A.2．已知直線：，：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【難度】0.65【來源】吉林省長春博碩學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷【知識點】已知直線平行求參數(shù)、探求命題為真的充要條件【分析】根據(jù)兩直線平行與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】因為，所以，解得，所以“”是“”的充要條件，故選：C.3．若直線經(jīng)過點和圓C：的圓心,并且與直線垂直,則m的值為（

）A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】C【難度】0.85【來源】吉林省長春博碩學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷【知識點】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、已知直線垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)題意得到直線的斜率，再利用兩直線垂直求解.【詳解】解：圓C：的圓心坐標(biāo)為，因為直線經(jīng)過點和圓C：的圓心,所以直線的斜率為，又因為該直線與直線垂直,所以，解得，故選：C4．已知雙曲線的左右焦點分別為,,為雙曲線左支上一點，若直線垂直平分線段，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【難度】0.65【來源】福建省南平市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】直線垂直平分線段，即與關(guān)于直線對稱，直線的斜率與直線斜率乘積為-1，且中點坐標(biāo)在直線上，解出點坐標(biāo)，將點坐標(biāo)代入雙曲線方程，得出，關(guān)系，從而得出離心率的值【詳解】設(shè)，，若直線垂直平分線段，則與關(guān)于直線對稱，則有，且∴，可得，即把的坐標(biāo)代入雙曲線方程中得：，∴，∴，∴.故選：B.5．已知,為橢圓：的兩個焦點P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,且,則四邊形的面積為（

）A．24 B．33 C．9 D．18【答案】D【難度】0.65【來源】吉林省長春博碩學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷【知識點】橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】判斷出四邊形為矩形，根據(jù)將橢圓與聯(lián)立，解出點P,Q的坐標(biāo)，進而即得.【詳解】由題意可知四邊形為矩形，P,Q可看作是橢圓：與圓關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩個交點，不妨設(shè)P,Q位置如圖所示分別位于一、三象限.由得，所以，因為，所以.所以.故選：D6．已知雙曲線C：的左，右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，點P是雙曲線C上的一點，，且的面積為4，則實數(shù)（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【難度】0.65【來源】吉林省敦化市實驗中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】由，得為直角三角形，根據(jù)雙曲線定義，再利用以及勾股定理建立等量關(guān)系即可求解.【詳解】因為的面積為4，所以的面積為8.又，所以，所以為直角三角形，且.設(shè)，，所以，，所以，所以，又，所以.故選：C.

7．如圖，已知正方體的棱長為1，點為上一動點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論，其中不正確的結(jié)論是A．平面B．平面C．當(dāng)為的中點時，的周長取得最小值D．三棱錐的體積不是定值【答案】D【難度】0.65【來源】陜西省寶雞市隴縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【知識點】判斷線面平行、判斷線面是否垂直、線面垂直證明線線垂直【分析】逐項分析各選項即可.【詳解】平面是始終成立的，故選項A正確；選項B顯然正確；平面展開到平面在同一個平面，則當(dāng)為的中點時，最小，故選項C正確；，故選項D不正確.【點睛】本題主要考查了線面平行，線面垂直，三棱錐的體積，屬于中檔題.8．已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點P是橢圓C上的一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【來源】陜西省寶雞市隴縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【知識點】橢圓中的定值問題、用和、差角的正切公式化簡、求值【分析】設(shè)是橢圓上的點，設(shè)，求出為定值，從而能求出的值，然后根據(jù)求解.【詳解】設(shè)代入橢圓方程，則整理得：設(shè)，又，,所以而，所以，所以故選：B二、多選題：本大題共3小題，每個小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．如圖，F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標(biāo)原點，過y軸左側(cè)一點P作拋物線C的兩條切線，切點為A、B，、分別交y軸于M、N兩點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【難度】0.4【來源】山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】與拋物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)、直線與拋物線交點相關(guān)問題【分析】求得過點的切線方程，得到，得出和，可判斷A正確；當(dāng)點在準(zhǔn)線上，求得，可判定B錯誤；由，求得，可判定C錯誤；分別求得和，可判定D正確.【詳解】設(shè)拋物線上一點，則，過點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理的，令，解得，即過拋物線上一點的切線的斜率為，對于A中，設(shè)，則過點的切線方程為，令，可得，即，又由拋物線的焦點為，所以，則，所以，即，同理可得，則四點共圓，所以，所以A正確；對于B中，若點在準(zhǔn)線上，可直線的方程為，此時直線過焦點，則，所以，所以B錯誤；對于C中，由，，可得，，若，可得，則，所以，此時直線過焦點，設(shè)直線，代入拋物線，可得，設(shè)方程的兩根為，可得，即當(dāng)直線過拋物線焦點時，兩交點的縱坐標(biāo)之積為，而直線不一定過拋物線的交點，所以C錯誤；對于D中，由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即,則，所以，所以D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：解決拋物線問題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化．2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進行轉(zhuǎn)化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.10．如圖，已知正方體的棱長為1，點M為的中點，點P為該正方體的上底面上的動點，則（

）A．滿足平面的點P的軌跡長度為B．存在唯一的點P滿足C．滿足的點P的軌跡長度為D．存在點P滿足【答案】ABC【難度】0.65【來源】山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】棱柱的展開圖及最短距離問題、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、由線面平行求線段長度、空間線段點的存在性問題【分析】在正方體中，證得平面平面，得到平面，求得點的軌跡長度，可判定A正確；以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，可判定B、C正確；求得點關(guān)于平面的對稱點為，結(jié)合，可判定D錯誤.【詳解】對于A，如圖（1）所示，在正方體中，可得，因為平面，平面，所以平面，同理可證：平面，因為，且平面所以平面平面，又因為平面，所以平面，所以點在線段上運動，所以點的軌跡長度為，所以A正確；對于B，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示，可得，設(shè)，且，則，由，解得，所以存在唯一的點使得，所以B正確；對于C，由，可得，即，因為，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；所以點的軌跡為線段，且，則，所以C正確；對于D，如圖（2）所示，點關(guān)于平面的對稱點為，當(dāng)點三點共線時，最短，所以，所以不存在點使得，所以D不正確.故選：ABC.11．如圖，在三棱柱中，底面為等邊三角形，為的重心，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【難度】0.85【來源】福建省南平市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】求空間向量的數(shù)量積、用空間基底表示向量、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【分析】A選項，根據(jù)重心性質(zhì)得到，求出；B選項，，利用向量數(shù)量積公式得到，得到垂直關(guān)系；C選項，，故兩者不平行；D選項，利用向量數(shù)量積公式得到，得到.【詳解】A選項，底面為等邊三角形，為的重心，故，又，故，A正確；B選項，，故，故，B正確；C選項，，又，設(shè)，即，無解，故與不平行，C錯誤；D選項，，故，D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12．在直角坐標(biāo)系中，拋物線C：的焦點為F，準(zhǔn)線為，P為C上一點，垂直于點Q，M，N分別為，的中點，直線與x軸交于點R，若，則.【答案】2【難度】0.65【來源】吉林省長春博碩學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷【知識點】拋物線定義的理解、與拋物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)題意可得三角形為等邊三角形，求出其邊長，進而在分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，如圖所示：根據(jù)題意，設(shè)直線與軸交于點，連接，，拋物線的方程為，其焦點為1,0，準(zhǔn)線為，則，又由，分別為，的中點，則，又，，且，則三角形是邊長為4的等邊三角形，則，且，在中，，，則，則，故答案為：2.13．已知雙曲線，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【難度】0.65【來源】山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】由已知求出點的坐標(biāo)，由求出點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可求得離心率．【詳解】不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，則直線為，由得，，即，設(shè)點，則，因為，所以，解得，即，由點在雙曲線上，代入得，整理得，則，故答案為：．14．唐代詩人李頎的《古從軍行》中兩句詩為：“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),怎樣走才能使總路程最短?在平面角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在位置為,若將軍從處出發(fā),河岸線所在直線方程為.則“將軍飲馬”的最短總路程為.【答案】【難度】0.85【來源】吉林省長春博碩學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷【知識點】求平面兩點間的距離、將軍飲馬問題求最值、求點關(guān)于直線的對稱點【分析】首先利用點關(guān)于線的對稱求出點,進一步利用兩點間的距離公式的應(yīng)用求出的長．【詳解】設(shè)軍營所在位置為，若將軍從處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，故點關(guān)于對稱點的坐標(biāo)，所以，解得；即．設(shè)直線上任一點N，，即當(dāng)且僅當(dāng)Q，N，三點共線時取最小值，即．即“將軍飲馬”的最短總路程為.故答案為：.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，，分別是，的中點，平面經(jīng)過點，，與棱交于點，．

(1)求的值；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【難度】0.65【來源】山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】空間中的點（線）共面問題、線面角的向量求法、面面垂直證線面垂直【分析】（1）過點作直線與平行，則，所以、共面，延長與交于點，連接，與的交點即為點，再利用三角形相似計算可得；（2）連接，取的中點，連接，即可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）過點作直線與平行，則，所以、共面，延長與交于點，連接，與的交點即為點，因為為正方形，是的中點，所以，，又，所以，因為是的中點，所以，則，又，所以.（2）連接，取的中點，連接，因為，所以，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.

【點睛】16．已知橢圓過點，焦距為.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與橢圓交于異于的兩點，直線分別與直線交于點兩點，為坐標(biāo)原點且，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】(1)；(2)證明見解析，.【難度】0.4【來源】山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】根據(jù)橢圓過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的直線過定點問題、直線的點斜式方程及辨析、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及之間的關(guān)系，列出等式進行求解即可；（2）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，得到直線和的方程，推出兩點的坐標(biāo)，列出等式再進行驗證即可.【詳解】（1）由橢圓過點，焦距為，得，解得，則橢圓的方程為.（2）則消去并整理得，此時，即，設(shè)，則，直線的方程為，令，得點的縱坐標(biāo)，即點，同理得點，由，得，即，于是，整理得，則，化簡得，解得或，當(dāng)時，直線的方程為，即，直線過定點，不符合題意；當(dāng)時，直線方程為，即，直線過定點，所以直線經(jīng)過定點.【點睛】思路點睛：與圓錐曲線相交的直線過定點問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.17．如圖，在四棱錐中，平面，為的中點.

(1)證明：；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求線段的長.【答案】(1)證明見解析(2)1【難度】0.65【來源】福建省南平市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、面面角的向量求法【分析】（1）以B為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，（2）求出平面ADE的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出線段PB的長.【詳解】（1）因為平面，且平面，所以，又，即，以分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，為的中點，得，，，，所以，，所以，，

所以.（2）由（1）可得，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，所以令，得，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為.則，取，得因為平面與平面夾角的余弦值為，所以，整理得，解得或（舍）即線段的長為.18．在平面直角坐標(biāo)系中，動點到點的距離比它到直線的距離少1，記動點的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)將曲線按向量平移得到曲線（即先將曲線上所有的點向右平移2個單位，得到曲線；再把曲線上所有的點向上平移1個單位，得到曲線），求曲線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程；(3)證明二次函數(shù)的圖象是拋物線.【答案】(1)(2)焦點為，準(zhǔn)線為(3)證明見解析【難度】0.65【來源】福建省南平市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【知識點】根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線、根據(jù)定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、由方程研究曲線的性質(zhì)、求平面軌跡方程【分析】（1）由拋物線定義即可得拋物線的方程；（2）首先得出曲線的焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方