城市中學(xué)期末數(shù)學(xué)綜合測試題一、測試題設(shè)計(jì)說明本次期末數(shù)學(xué)綜合測試題立足初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，結(jié)合城市中學(xué)教學(xué)實(shí)際與中考命題趨勢，覆蓋“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三大領(lǐng)域。試題梯度清晰：基礎(chǔ)題考查概念精準(zhǔn)理解，中檔題強(qiáng)調(diào)知識遷移，壓軸題突出邏輯推理與綜合應(yīng)用，助力學(xué)生系統(tǒng)檢測學(xué)習(xí)成果，明確復(fù)習(xí)方向。二、測試題與考點(diǎn)解析（一）選擇題（每題3分，共15分）1.實(shí)數(shù)運(yùn)算與概念若\(a=-\sqrt{3}\)，則\(|a|+(-a)\)的值為（）A.\(-2\sqrt{3}\)B.\(0\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\sqrt{3}\)考點(diǎn)：絕對值的幾何意義、相反數(shù)的定義。思路：由負(fù)數(shù)的絕對值是其相反數(shù)，得\(|a|=\sqrt{3}\)；由相反數(shù)定義，\(-a=\sqrt{3}\)，因此\(|a|+(-a)=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)，選\(\boldsymbol{D}\)。2.函數(shù)圖像與性質(zhì)一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）與反比例函數(shù)\(y=\frac{m}{x}\)（\(m\neq0\)）的圖像交于點(diǎn)\(A(1,3)\)和\(B(-3,n)\)，則一次函數(shù)的表達(dá)式為（）A.\(y=x+2\)B.\(y=-x+4\)C.\(y=2x+1\)D.\(y=-2x+5\)考點(diǎn)：函數(shù)圖像的交點(diǎn)意義、待定系數(shù)法求解析式。思路：反比例函數(shù)過\(A(1,3)\)，得\(m=3\)，故反比例函數(shù)為\(y=\frac{3}{x}\)；代入\(B(-3,n)\)，得\(n=-1\)，即\(B(-3,-1)\)。將\(A\)、\(B\)代入一次函數(shù)，列方程組解得\(k=1\)，\(b=2\)，故一次函數(shù)為\(y=x+2\)，選\(\boldsymbol{A}\)。3.三角形分類與性質(zhì)已知等腰三角形的兩邊長為\(3\)和\(6\)，則其周長為（）A.\(12\)B.\(15\)C.\(12\)或\(15\)D.\(18\)考點(diǎn)：等腰三角形的三邊關(guān)系（三角形兩邊之和大于第三邊）。思路：分兩種情況：①腰為\(3\)，底為\(6\)：\(3+3=6\)，不滿足三邊關(guān)系，舍去；②腰為\(6\)，底為\(3\)：周長為\(6+6+3=15\)，選\(\boldsymbol{B}\)。4.統(tǒng)計(jì)圖表與概率某班\(40\)名學(xué)生的期中數(shù)學(xué)成績扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“優(yōu)秀（\(80\)分及以上）”占\(30\%\)，“良好（\(70-79\)分）”占\(40\%\)，其余為“合格”。從該班隨機(jī)選一名學(xué)生，其成績?yōu)椤昂细瘛钡母怕适牵ǎ〢.\(0.2\)B.\(0.3\)C.\(0.4\)D.\(0.5\)考點(diǎn)：扇形統(tǒng)計(jì)圖的百分比計(jì)算、概率的簡單應(yīng)用。思路：合格的百分比為\(1-30\%-40\%=30\%\)，即概率為\(0.3\)，選\(\boldsymbol{B}\)。5.分式方程的實(shí)際應(yīng)用某工程隊(duì)原計(jì)劃用\(x\)天完成一項(xiàng)工程，實(shí)際工作效率比原計(jì)劃提高\(yùn)(20\%\)，結(jié)果提前\(2\)天完成。根據(jù)題意可列方程為（）A.\(\frac{1}{x}=\frac{1}{x-2}\times(1-20\%)\)B.\(\frac{1}{x}\times(1+20\%)=\frac{1}{x-2}\)C.\(\frac{1}{x}\times(1+20\%)=\frac{1}{x+2}\)D.\(\frac{1}{x}=\frac{1}{x+2}\times(1+20\%)\)考點(diǎn)：分式方程的工程問題（工作效率、時間、工作量的關(guān)系）。思路：原計(jì)劃效率為\(\frac{1}{x}\)，實(shí)際效率為\(\frac{1}{x}\times(1+20\%)\)；實(shí)際時間為\(x-2\)天，故實(shí)際效率也為\(\frac{1}{x-2}\)，方程為\(\frac{1}{x}\times(1+20\%)=\frac{1}{x-2}\)，選\(\boldsymbol{B}\)。（二）填空題（每題4分，共12分）6.因式分解分解因式：\(4x^2-9=\boldsymbol{(2x+3)(2x-3)}\)考點(diǎn)：平方差公式（\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)）。7.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)\(y=2(x-1)^2+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(\boldsymbol{(1,3)}\)考點(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式（\(y=a(x-h)^2+k\)的頂點(diǎn)為\((h,k)\)）。8.圓的切線性質(zhì)如圖，\(PA\)是\(\odotO\)的切線，\(A\)為切點(diǎn)，\(OP=5\)，\(OA=3\)，則\(PA=\boldsymbol{4}\)考點(diǎn)：切線的性質(zhì)（切線垂直于過切點(diǎn)的半徑）、勾股定理。思路：由切線性質(zhì)知\(\angleOAP=90^\circ\)，在\(Rt\triangleOAP\)中，\(PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)。（三）解答題（共73分，按步驟計(jì)分）9.解不等式組（10分）解不等式組：\[\begin{cases}3x-1<2(x+1)\\\frac{x+3}{2}\geq1\end{cases}\]并把解集在數(shù)軸上表示出來?？键c(diǎn)：一元一次不等式的解法、不等式組的解集取法。解題步驟：①解第一個不等式：\(3x-1<2x+2\)，得\(x<3\)；②解第二個不等式：\(x+3\geq2\)，得\(x\geq-1\)；③不等式組的解集為\(\boldsymbol{-1\leqx<3}\)（數(shù)軸表示：\(-1\)處畫實(shí)心點(diǎn)，\(3\)處畫空心點(diǎn)，中間線段連接）。10.幾何證明（12分）如圖，在四邊形\(ABCD\)中，\(AB\parallelCD\)，\(AB=CD\)，\(E\)、\(F\)分別是\(BC\)、\(AD\)的中點(diǎn)，連接\(AE\)并延長交\(DC\)的延長線于點(diǎn)\(G\)。求證：\(\triangleABE\cong\triangleGCE\)?？键c(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定（ASA）。證明思路：由\(AB\parallelCD\)，得\(\angleB=\angleGCE\)（內(nèi)錯角相等）；\(E\)是\(BC\)中點(diǎn)，故\(BE=CE\)；對頂角\(\angleAEB=\angleGEC\)；在\(\triangleABE\)和\(\triangleGCE\)中，\(\begin{cases}\angleB=\angleGCE\\BE=CE\\\angleAEB=\angleGEC\end{cases}\)，由ASA判定，\(\triangleABE\cong\triangleGCE\)。11.統(tǒng)計(jì)分析（15分）某學(xué)校為了解學(xué)生每天的體育鍛煉時間，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，將調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖（不完整）：條形統(tǒng)計(jì)圖：鍛煉時間\(0.5\)小時的有\(zhòng)(10\)人，\(1\)小時的有\(zhòng)(20\)人，\(1.5\)小時的有\(zhòng)(15\)人，\(2\)小時的有\(zhòng)(5\)人；扇形統(tǒng)計(jì)圖：\(0.5\)小時占\(20\%\)，\(1\)小時占\(40\%\)，\(1.5\)小時占\(30\%\)，\(2\)小時占\(10\%\)。（1）本次調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為多少？（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）求這些學(xué)生每天鍛煉時間的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)?？键c(diǎn)：統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用、平均數(shù)/眾數(shù)/中位數(shù)的計(jì)算。解題步驟：（1）總數(shù)\(=10\div20\%=\boldsymbol{50}\)人；（2）\(1.5\)小時的人數(shù)為\(50\times30\%=15\)人，\(2\)小時的人數(shù)為\(50\times10\%=5\)人（補(bǔ)全條形圖：\(1.5\)小時畫\(15\)單位，\(2\)小時畫\(5\)單位）；（3）平均數(shù)：\(\frac{0.5\times10+1\times20+1.5\times15+2\times5}{50}=\boldsymbol{1.15}\)小時；眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的是\(1\)小時（\(20\)人），故眾數(shù)為\(\boldsymbol{1}\)小時；中位數(shù)：第\(25\)、\(26\)個數(shù)據(jù)均為\(1\)小時，故中位數(shù)為\(\boldsymbol{1}\)小時。12.二次函數(shù)應(yīng)用題（16分）某商店銷售一種成本為每件\(40\)元的商品，日銷售量\(y\)（件）與銷售單價\(x\)（元）滿足\(y=-x+100\)（\(40\leqx\leq80\)）。（1）求日銷售利潤\(w\)（元）與銷售單價\(x\)（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）若銷售單價不低于\(50\)元且不高于\(70\)元，求日銷售利潤的取值范圍?？键c(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（利潤問題）、二次函數(shù)的最值與取值范圍。解題步驟：（1）利潤\(w=(x-40)y\)，代入\(y=-x+100\)，得：\(w=-x^2+140x-4000\)（\(40\leqx\leq80\)）；（2）化為頂點(diǎn)式：\(w=-(x-70)^2+900\)。因?yàn)閈(-1<0\)，拋物線開口向下，對稱軸為\(x=70\)，故當(dāng)\(x=70\)時，\(w\)最大為\(\boldsymbol{900}\)元；（3）當(dāng)\(50\leqx\leq70\)時，\(w=-(x-70)^2+900\)單調(diào)遞增，故當(dāng)\(x=50\)時，\(w=500\)；當(dāng)\(x=70\)時，\(w=900\)。利潤范圍為\(\boldsymbol{500\leqw\leq900}\)。13.幾何綜合題（20分）如圖，\(\odotO\)是\(\triangleABC\)的外接圓，\(AB=AC\)，\(\angleBAC=120^\circ\)，\(BC=2\sqrt{3}\)，\(D\)為\(\odotO\)上一點(diǎn)，連接\(AD\)、\(BD\)、\(CD\)。（1）求\(\odotO\)的半徑；（2）若\(AD\)平分\(\angleBAC\)，求證：四邊形\(ABDC\)是菱形；（3）在（2）的條件下，求\(AD\)的長。考點(diǎn)：圓的性質(zhì)（外接圓、圓心角與圓周角）、菱形的判定、解直角三角形。解題步驟：（1）連接\(OA\)、\(OB\)，\(OA\)交\(BC\)于\(E\)。由\(AB=AC\)，得\(OA\perpBC\)，\(BE=\sqrt{3}\)。\(\angleBAC=120^\circ\)，則\(\angleBAO=60^\circ\)，\(OA=OB\)，故\(\triangleOAB\)為等邊三角形。設(shè)半徑為\(R\)，在\(Rt\triangleOBE\)中，\(\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{R}\)，解得\(R=\boldsymbol{2}\)。（2）證明：\(AD\)平分\(\angle