第9章群環(huán)域9.4習(xí)題解析1．判斷下列代數(shù)系統(tǒng)是否構(gòu)成群，并說明理由。（1）A={1,2,3,4}，x,yA，x*y=GCD(x,y)(x,y的最大公因數(shù))；（2）S是集合{1,2}上所有等價(jià)關(guān)系的集合，在S上定義集合的交運(yùn)算“∩”；（3）Mn(R)為所有n階實(shí)數(shù)方陣的集合，“+”為矩陣的加法運(yùn)算；（4）Mn(R)為所有n階實(shí)數(shù)方陣的集合，“”為矩陣的乘法運(yùn)算；（5）R[x]表示所有實(shí)系數(shù)關(guān)于x的多項(xiàng)式的集合，“+”為多項(xiàng)式加法運(yùn)算；（6）R[x]表示所有實(shí)系數(shù)關(guān)于x的多項(xiàng)式的集合，“”為多項(xiàng)式乘法運(yùn)算。解（1）滿足封閉性，結(jié)合律，但無單位元，所以不能構(gòu)成群。（2）不能構(gòu)成群，因?yàn)镾={s1,s2}，其中s1={<1,1>,<2,2>},s2={<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>}，其中交運(yùn)算的單位元是s2，此時(shí)s1不存在逆元，所以不能構(gòu)成群。（3）Mn(R)上的乘法運(yùn)算滿足封閉性，結(jié)合律，n階零矩陣是單位元，任意矩陣X的逆元是-X，所以可構(gòu)成群。（4）Mn(R)上的乘法運(yùn)算滿足封閉性，結(jié)合律，單位矩陣I是單位元，但不是所有的元素都有逆元，比如零矩陣，和任何一個(gè)矩陣的乘法都是零矩陣，因而沒有逆元。所以不能構(gòu)成群。（5）可以構(gòu)成群，因?yàn)閷?shí)系數(shù)關(guān)于x的多項(xiàng)式加法滿足封閉性和結(jié)合律，其單位元是0，且f(x)R[x]，均有-f(x)R[x]，使得f(x)+(-f(x))=0，即f(x)的逆元是-f(x)。（6）實(shí)系數(shù)關(guān)于x的多項(xiàng)式乘法滿足封閉性和結(jié)合律，其單位元是1，但0沒有逆元，所以不能構(gòu)成群，只是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。2．設(shè)Q為有理數(shù)集，S=Q-{1}，“*”為對任意a,b∈S,a*b=a+b-ab，證明：<S,*>是一個(gè)群。證明（1）封閉性：任意a,b∈S,a*b=a+b-ab∈S，運(yùn)算封閉。（2）結(jié)合律：a,b,cS,(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abc,a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc,可見(a*b)*c=a*(b*c)，滿足結(jié)合律。（3）單位元：對aS，0S，使得a*0=a+0-a0=a=0+a-0a=0*a，所以0是單位元。（4）逆元：對aS，aa?1S，使得a?aa?1=a+aa?1?a綜上可知，S是一個(gè)群。3.設(shè)G={<x,y>|x,yR,x0}，定義運(yùn)算“*”為對<a,b>,<c,d>G，<a,b>*<c,d>=<ac,b+d>，證明G關(guān)于運(yùn)算“*”可以做成群。證明(1)封閉性：對<a,b>,<c,d>G，a0，c0，所以ac0，從而<a,b>*<c,d>=<ac,b+d>G，滿足封閉性。（2）結(jié)合律：對<a,b>,<c,d>，<e,f>G，(<a,b>*<c,d>)*<e,f>=<ac,b+d>*<e,f>=<ace,b+d+f>，<a,b>*(<c,d>*<e,f>)=<a,b>*<ce,d+f>=<ace,b+d+f>?？梢?，(<a,b>*<c,d>)*<e,f>=<a,b>*(<c,d>*<e,f>)，滿足結(jié)合律。（3）單位元：假設(shè)<c,d>G是單位元，則對<a,b>G，<a,b>*<c,d>=<a,b>，即<ac,b+d>=<a,b>，從而有c=1，d=0。下面驗(yàn)證<1,0>是單位元。由于對<a,b>G，<a,b>*<1,0>=<1,0>*<a,b>=<a,b>，所以<1,0>是G上關(guān)于運(yùn)算*的單位元。（4）逆元：對<a,b>G，假設(shè)<c,d>是<a,b>的逆元，則有<a,b>*<c,d>=<1,0>，即<ac,b+d>=<1,0>，由于a0，所以c=1/a，d=-b。經(jīng)過驗(yàn)證，<a,b>*<1/a,-b>=<1/a,-b>*<a,b>=<1,0>，所以，G中每個(gè)元素都有逆元，對<a,b>G，<a,b>-1=<1/a,-b>。由（1）（2）（3）（4）可知，G關(guān)于運(yùn)算“*”可以做成群。4．如果群G的每一個(gè)元素a都滿足a2=e，證明G是可換群，其中e是群G的單位元。 證明只需證明交換律成立。對a，bG，由于(ab)2=e=a2b2，即abab=aabb，利用群的消去律，可知ba=ab，即有交換律成立。所以G是可換群。5．證明：群G是可換群，當(dāng)且僅當(dāng)對任意a,b∈G，有(ab)2=a2b2。證明必要性：若G是可換群，則對任意a,b∈G，有(ab)2=(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2。充分性：對任意a,b∈G，若(ab)2=a2b2，即abab=aabb，利用群的消去律，可知ba=ab，即有交換律成立。所以G是可換群。6．設(shè)<S,*>是半群，若S是有限集且“*”滿足消去律，則<S,*>是群。證明由于S是半群，只需找出單位元及確定每個(gè)元素的逆元。S是有限集，所以假設(shè)S={a1,a2,…,an}。令T1={a1*x|xS}，顯然T1是S的子集，又由于運(yùn)算“*”滿足消去律，從而對x,yS，若xy，則a1*xa1*y，即|T1|=|S|，從而T1=S。若令V1={x*a1|xS}，同理可證V1=S。從而有，任取aiS，ajS，akS，使得aj*a1=a1*ak=ai。由于T1=S，所以apS，使得a1*ap=a1。由于ai*ap=(aj*a1)*ap=aj*(a1*ap)=aj*a1=ai，所以ap是右單位元。又由于V1=S，所以aqS，使得aq*a1=a1。由于aq*ai=aq*(a1*ak)=(aq*a1)*ak=a1*ak=ai，所以aq是左單位元。因而，既有左單位元aq，又有右單位元ap。這兩個(gè)單位元必然相等，且是單位元，記為e。因?yàn)閑S，所以bS，cS，使得b*a1=a1*c=e，從而b是a1的左逆元，c是a1的右逆元，即有b=c且是a1的逆元。同理，可建立一系列集合Ti={ai*x|xS}，Vi={x*ai|xS}，i=2,3,…,n。從而可推出ai（i=2,3,…,n）都有逆元。綜上所述，<S,*>是群。7.求整數(shù)模12同余類加法群<Z12,>中各元素的階。解|0|=1，|1|=|5|=|7|=|11|=12，|2|=|10|=6，|3|=|9|=4，|4|=|8|=3，|6|=2，8．設(shè)G是一個(gè)群，e是單位元，a,b,c∈G。證明：（1）a和b-1ab的階相同；（2）ab和ba的階相同；（3）abc,bca和cab的階相同。證明（1）令|a|=m，|b-1ab|=n，由于(b-1ab)m=b-1amb=b-1eb=b-1b=e，所以n|m；又由于an=ab(b-1ab)n-2b-1a=ab(b-1ab)n(b-1ab)-2b-1a=abe(b-1ab)-2b-1a=ab(b-1ab)-2b-1a=ab(b-1ab)-1(b-1ab)-1b-1a=ab(b-1a-1b)(b-1a-1b)b-1a=aa-1a-1a=e，所以m|n，從而m=n，即a和b-1ab的階相同.（2）令|ab|=m，|ba|=n，由于(ab)n=a(ba)n-1b=a(ba)n(ba)-1b=ae(ba)-1b=aa-1b-1b=e，所以m|n，由于(ba)m=b(ab)m-1a=b(ab)m(ab)-1a=be(ab)-1a=bb-1a-1a=e，所以m|n，從而m=n。（3）令|abc|=m，|bca|=n，|cab|=k，由于(bca)m=bc(abc)m-1a=bc(abc)m(abc)-1a=bce(abc)-1a=bcc-1b-1a-1a=e，所以n|m；又由于(abc)m=a(bca)m-1bc=a(bca)m(bca)-1bc=ae(bca)-1bc=aa-1c-1b-1bc=e，所以m|n，從而m=n.同理可證，n=k，因而m=n=k，即abc,bca和cab的階相同。9．已知<M2(R),+>是群，其中M2(R)為所有2階實(shí)數(shù)方陣的集合，“+”為矩陣加法運(yùn)算。令H={A|AM2(R)，A=A},其中A表示A的轉(zhuǎn)置。證明H是G的子群。證明（1）2階零矩陣O=(0000)和2階單位矩陣I=(1001)都滿足（2）<M2(R),+>中的單位元就是2階零矩陣O，每個(gè)元素X的逆元是-X。對A,BM2(R)，(A+B-1)=(A-B)=A-B=A-B=A+B-1，所以A+B-1M2(R)。由（1）（2）可知，H是G的子群。10.設(shè)G是可換群，證明G中一切有限階元素構(gòu)成的集合H是G的一個(gè)子群。證明H={a|a∈G,|a|<}G，由于單位元e的階為1，從而eH，即H是G的非空子集。下面利用子群判定定理二來證明。對a,bH，由于a，b都是有限階元素，令|a|=m，|b|=n，由于G是可換群，則(ab1)mn=amn(b-1)mn=(am)n(bn)-m=ene-m=e，從而ab1的階必然能整除mn，即|ab1|<，所以ab1H。綜上可知，HG，H是G的一個(gè)子群。11.H是群G的子群，N={x|x∈G,xHx-1=H}，其中證明N是G的一個(gè)子群。證明由于eHe-1=eHe=H，所以e∈N，NG，所以N是G的非空子集。下面利用子群判定定理一來證明。（1）對a,bN，有aHa-1=H，bHb-1=H，所以abH(ab)-1=abHb-1a-1=aHa-1=H，從而ab∈N。（2）對aN，有aHa-1=H，從而a-1aHa-1a=a-1Ha，即H=a-1Ha，所以H=a-1H(a-1)-1，因而a-1∈N。綜上可知，NG，N是G的一個(gè)子群。12．設(shè)G是一個(gè)群，R是集合G上的等價(jià)關(guān)系，并且對任意a,x,y∈G,<ax,ay>∈R<x,y>∈R。令H={x|x∈G且<x,e>∈R}，其中e為G的單位元。證明H是G的子群。證明由于R是等價(jià)關(guān)系，從而滿足自反性，對稱性和傳遞性。（1）由關(guān)系R的自反性可知，<e,e>∈R，而且e∈G，所以e∈H，即H（2）對xH，可知有<x,e>∈R，由于x=xe，e=xx-1，從而<x,e>R<xe,xx-1>R<e,x-1>R，根據(jù)R的對稱性，可知<x-1,e>R,從而x-1H，即H中每個(gè)元素都有逆元。（3）對x,yH，可知有<x,e>∈R,<y,e>∈R，由（2）知<e,x-1>R，根據(jù)R的傳遞性，由<y,e>∈R和<e,x-1>R可知<y,x-1>，由于y=x-1xy，x-1=x-1e，從而<y,x-1>R<x-1xy,x-1e>R<xy,e>R,從而xyH，即H中運(yùn)算封閉。由（1）（2）（3）可知，H是G的子群。13．設(shè)G為群，aG，令f:G→G為x∈G,f(x)=axa-1，證明f是G的自同構(gòu)。證明（1）首先證明f是雙射。x，y∈G,若xy，則一定有axa-1aya-1，即f(x)f(y)，從而f是單射；又對y∈G，x=a-1ya∈G，使得f(x)=axa-1=a(a-1ya)a-1=(aa-1)y(aa-1)=y，即f是滿射。所以f是雙射。（2）其次證明f滿足同態(tài)等式。x，y∈G，f(xy)=axya-1=(axa-1)(aya-1)=f(x)f(y)，即f是同態(tài)映射。由（1）（2）可知，f是G的自同構(gòu)。14.設(shè)G是一個(gè)群，定義映射f:G→G為x∈G,f(x)=x-1。證明f是G的自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)G是阿貝爾群。證明充分性：若G是阿貝爾群，則滿足交換律。由于逆元的惟一性和x∈G,f(x-1)=(x-1)-1=x，可知f是雙射。又因?yàn)閍,b∈G，f(ab)=(ab)-1=b-1a-1=a-1b-1=f(a)f(b)，滿足同態(tài)等式，從而f是G的自同構(gòu)。必要性：由于a,b∈G，f(ab)=(ab)-1=b-1a-1，f(ba)=f(b)f(a)=b-1a-1，從而f(ab)=f(ba)，又f是自同構(gòu)，即滿足雙射，從而ab=ba，滿足交換律。所以G是阿貝爾群。15.判斷以下群是否為循環(huán)群？（1）Klein四元群（2）實(shí)數(shù)加法群<R,+>（3）如下表9.10規(guī)定的四階群。表9.10*eabceeabcaaecbbbcaeccbea解：（1）Klein四元群不是循環(huán)群，因?yàn)椴淮嬖?階的元素，所以沒有生成元。（2）不是循環(huán)群。因?yàn)槿绻?lt;R,+>是循環(huán)群，由于R是無限集合，則必然和整數(shù)加法群<Z,+>同構(gòu)。由于整數(shù)集Z是可數(shù)集合，而實(shí)數(shù)集R是不可數(shù)集合，二者之間不存在一一對應(yīng)的雙射，從而出現(xiàn)矛盾。因此<R,+>不是循環(huán)群。（3）是循環(huán)群，b和c是生成元。16.求下列循環(huán)群的所有生成元及所有子群。（1）<Z8,>（2）<Z7,>（3）生成元為a的15階循環(huán)群解：（1）Z8的所有生成元是與8互素的元素，從而生成集為{1,3,5,7}。其全部子群為<0>和<d>，d|8.所以d=1,2,4。從而得到全部子群為：<0>={0}，<1>={0,1,2,3,4,5,6,7}<2>={0,2,4,6}，<4>={0,4}（2）Z7的所有生成元是與7互素的元素，從而生成集為{1,2,3,4,5,6}。其全部子群為<0>和<d>，d|7.所以d=1,7。從而得到全部子群為：<0>={0}，<1>={0,1,2,3,4,5,6}（3）因?yàn)楹?5互素的元素包括1，2，4，7，8，11，13，14，所以15階循環(huán)群的生成集為{a1,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14}，其全部子群為<a0>和<ad>，d|15.所以d=1,3,5。從而得到全部子群為：<a0>={e=a0}，<a1>={e=a0,a1,a2,a3,…,a14}<a3>={e=a0,a3,a6,a9,a12}，<4>={e=a0,a5,a10}17．設(shè)A={1,2,3,4,5}，則<P(A),>是群，其中“”為集合的對稱差運(yùn)算。求下列A的子集生成的循環(huán)子群。（1）B={1，4，5}（2）{2,3}（3）（4）A解：（1）<B>={,{1,4,5}}(2)<{2,3}>={,{2,3}}(3)<>={}(4)<A>={,A}18.以下兩個(gè)置換是6次對稱群S6中的置換，其中σ=12（1）求στ，τσ，στ（2）求σ和τ的輪換分解式和一個(gè)對換分解式（3）判定σ和τ的奇偶性（4）指出σ和τ的置換類型解：（1）στ=12στ（2）στ=1（3）從（2）可知，σ和τ均分解為4個(gè)對換，所以均為偶置換。（4）從（2）可知，σ分解為2個(gè)3-輪換，所以是32型置換，而τ分解為1個(gè)4-輪換和一個(gè)2-輪換，所以是2141型置換。19．求下列子群H在群G中的所有左陪集和右陪集。（1）12階循環(huán)群G={e,c,c2,c3,c4,c5,…,c11}，子群H={e,c4,c8}（2）G=S4，H={(1),(12),(34),(12)(34)}解：（1）由于循環(huán)群滿足交換律，所以左陪集和右陪集相同。只求左陪集即可。H的不同左陪集為eH=H=c4H=c8HcH=c{e,c4,c8}={c,c5,c9}=c5H=c9Hc2H=c2{e,c4,c8}={c2,c6,c10}=c6H=c10Hc3H=c3{e,c4,c8}={c3,c7,c11}=c7H=c11H（2）S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(124),(134),(132),(142),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，則H的不同左陪集有：(1)H=H=(12)H=(34)H=(12)(34)H(13)H={(13),(132),(143),(1432)}=(132)H=(143)H=(1432)H(14)H={(14),(142),(134),(1342)}=(142)H=(134)H=(1342)H(23)H={(23),(123),(243),(1243)}=(123)H=(243)H=(1243)H(24)H={(24),(124),(234),(1234)}=(124)H=(234)H=(1234)H(1324)H={(1324),(13)(24),(14)(23),(1423)}=(13)(24)H=(14)(23)H=(1423)HH的不同右陪集有：H(1)=HH(13)={(13),(123),(134),(1234)}=H(123)=H(134)=H(1234)H(14)={(14),(124),(143),(1243)}=H(124)=H(143)=H(1243)H(23)={(23),(132),(234),(1342)}=H(132)=H(234)=H(1342)H(24)={(24),(142),(243),(1432)}=H(142)=H(243)=H(1432)H(1324)={(1324),(14)(23),(13)(24),(1423)}=H(14)(23)=H(13)(24)=H(1423)20．設(shè)G和H分別是m階和n階群，若G到H存在單一同態(tài)，則m|n。證明設(shè)f是G到H的單一同態(tài)，根據(jù)群同態(tài)的性質(zhì)，G的同態(tài)像f(G)是H的子群，由于f是單射，從而|G|=|f(G)|=m，根據(jù)拉格朗日定理，|f(G)|能夠整除|H|，即m能夠整除n。21.設(shè)H、K是群G的子群，|H|=m，|K|=n，且m,n互素，證明H∩K={e}，e是群G的單位元。證明根據(jù)子群的性質(zhì)定理，H∩K是G的子群，由于H∩KH，H∩KK，所以有H∩K既是H的子群，又是K的子群，根據(jù)拉格朗日定理，可知H∩K的階既能整除m，也能整除n，但m和n互素，所以H∩K的階必然是1，由于子群中必然包含單位元e，所以H∩K={e}。22.設(shè)H是群G的子群，令集合K={a|a∈G,aH=Ha}。證明K是G的子群，HK，并且H是K的正規(guī)子群。證明：（1）證K是G的子群：設(shè)e是群G的單位元，由于eH=He，所以eK。a,bK，則aH=Ha，bH=Hb，在bH=Hb兩邊同乘以b-1，則有Hb-1=b-1H，因而ab-1H=aHb-1=Hab-1，即ab-1K，所以K是G的子群。（2）證HK：hH，根據(jù)陪集的性質(zhì)，hH=H=Hh，從而hK。所以，HK。（3）證H是K的正規(guī)子群：由以上證明可知，H是K的非空子集，又K是G的子群，所以H是K的子群。并且aK，aH=Ha，所以H是K的正規(guī)子群。23.設(shè)G是一個(gè)循環(huán)群，N是G的一個(gè)子群，證明：商群G/N也是循環(huán)群。證明由于g是循環(huán)群，所以滿足交換律，從而N是G的一個(gè)正規(guī)子群。假設(shè)G=<g>，下面證明gN是商群G/N的生成元。對aNG/N，則aG。由于g是循環(huán)群，因而mZ，使得a=gm。所以aN=gmN。根據(jù)商群的定義，gmN=(gN)m，所以gN是G/N的生成元，因而G/N是循環(huán)群。24．判斷下列代數(shù)系統(tǒng)<A,+，>是否是環(huán)？如果是環(huán)，判斷其是否為交換環(huán)、整環(huán)、除環(huán)或域。其中“+”、“”表示普通的加法和乘法。（1）A={x|x=2n,nZ}（2）A={x|x=2n+1,nZ}（3）A={x|x0,xZ}（4）A={x|x=a+b3,a,bQ}解：（1）是環(huán)，也是交換環(huán)，但不是整環(huán)、除環(huán)或域。（2）不是環(huán)，因?yàn)榧臃ㄟ\(yùn)算不封閉。（3）不是環(huán)，因?yàn)榧臃ㄟ\(yùn)算不是所有元素都有逆元，因而不是群。（4）是環(huán)，還是交換環(huán)，整環(huán)，除環(huán)和域。其乘法單位元是1，乘法逆元是a?25．找出下列環(huán)的所有零因子（包括左右零因子）。（1）<Z12,，>（2）<P(X),,∩>（集合X的冪集上的對稱差運(yùn)算和交運(yùn)算）解：（1）這個(gè)運(yùn)算的零元是0，因而其所有零因子為2，3，4，6，8，9，10。（2）零元就是對稱差運(yùn)算的單位元，對AX，有A∩(X-A)=,所以X的任意非空真子集都是零因子。26．R為環(huán)，aR，令集合R={x|xR,xa=0}，證明R是R的子環(huán)。證明：由于0a=0，所以0R。因而R是R的非空子集。x,yR，有xa=0,ya=0，從而(x-y)a=xa-ya=0，(xy)a=x(ya)=x0=0,從而x-yR，xyR，滿足子環(huán)判定定理，所以R是R的子環(huán)。27．設(shè)A和B是環(huán)R的子環(huán)，證明A∩B也是R的子環(huán)。證明：由于A和B都是環(huán)R的子環(huán)，因而零元0A，0B，即0A∩B。所以A∩B是R的非空子集。a,bA∩B，有a,bA，a,bB，從而a