第10講探索直線平行的條件思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別2.同位角相等，兩直線平行3.平行線的定義及平行公理4.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行5.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行6.添加一條件使兩條直線平行一、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念填空：(1)如圖，∠1和∠5，分別在直線AB，CD的上方（同一方），在直線EF的右側(cè)（同側(cè)）.具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角是同位角.(2)如圖，∠3和∠5，在直線AB，CD之間，在直線EF的兩側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.(3)如圖，∠3和∠6，在直線AB，CD之間，在直線EF的同側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.【總結(jié)】(1)同位角：在被截兩直線的同一方向，截線的同側(cè)的一對(duì)角.(2)內(nèi)錯(cuò)角：在被截兩直線的內(nèi)側(cè)，截線的兩側(cè)的一對(duì)角.(3)同旁內(nèi)角：在被截兩直線的內(nèi)側(cè)，截線的同側(cè)的一對(duì)角.二、三線八角(1)定義：兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成的八個(gè)角.(2)三線八角中的各種關(guān)系角的對(duì)數(shù)：兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個(gè)角中，共有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角.【注意】識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的方法(1)準(zhǔn)確識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是分清哪兩條直線被哪條直線所截，往往是兩個(gè)角的兩邊被公共邊所截.(2)在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的兩旁找內(nèi)錯(cuò)角.(3)形象記憶：同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形，如下：兩角具有“”的，即“F”型，此時(shí)兩角是同位角,具有“”的，即“Z”型，此時(shí)兩角是內(nèi)錯(cuò)角,具有“”的，即“U”型，此時(shí)兩角是同旁內(nèi)角.三、平行線的定義及表示：(1)定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.(2)表示：平行用“∥”符號(hào)表示，讀作“平行于”.1.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：(1)平行；(2)相交．2.利用直尺和三角尺畫平行線：一“落”、二“靠”、三“移”、四“畫”.【注意】平行線的畫法四字訣1.“落”：三角板的一邊落在已知直線上；2.“靠”：用直尺緊靠三角板的另一邊；3.“移”：沿直尺移動(dòng)三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)；4.“畫”：沿三角板過(guò)已知點(diǎn)的邊畫直線.四、平行公理及推論：(1)平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.(2)推論：平行于同一條直線的兩條直線平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】(1)平行公理中“有且只有”強(qiáng)調(diào)直線的存在性和唯一性.(2)前提條件“過(guò)直線外一點(diǎn)”，若點(diǎn)在直線上，不可能有平行線.五、平行線的判定方法平行線的判定方法1：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行.(2)幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，所以AB∥CD.平行線的判定方法2：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.(2)幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?=∠8(或者∠3=∠5)，所以AB∥CD.平行線的判定方法3：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.(2)幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，所以AB∥CD.六、平行線的其他判定方法：(1)在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行.(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.【總結(jié)】判定兩直線平行的方法方法一：平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就是平行線.方法二：平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.方法三：同位角相等，兩直線平行.方法四：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.方法五：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.方法六：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.1.對(duì)三線八角的辨別.2.六種方法證明兩直線平行.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別例題1：如圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．與是對(duì)頂角 B．與是同位角 C．與是同旁內(nèi)角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】D【解析】A、與是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、與是同位角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、與沒(méi)有處在兩條被截線之間，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、與是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選D．【變式訓(xùn)練】1．如圖，a，b，c三條直線兩兩相交，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角C．與是對(duì)頂角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】B【解析】A．與是直線a、直線b被直線c所截，所得到的同位角，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．與是直線a、直線c被直線b所截，所得到的同位角，因此選項(xiàng)B符合題意；C．與是對(duì)頂角，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．與是直線b、直線c被直線a所截，所得到的同旁內(nèi)角，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選B．2．下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．與是同旁內(nèi)角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角 C．與是同旁內(nèi)角 D．與是同位角【答案】C【解析】A、與是同旁內(nèi)角，說(shuō)法正確；B、與是內(nèi)錯(cuò)角，說(shuō)法正確；C、與不是兩條直線被第三條直線所截得到的角，故說(shuō)法錯(cuò)誤；D、與是同位角，說(shuō)法正確．故選C．考點(diǎn)二、同位角相等，兩直線平行例題2：根據(jù)要求完成下面的填空：如圖，直線，被所截，若已知．

（______），又（已知），____________，所以____________（______）．【解析】（對(duì)頂角相等），又（已知），，（同位角相等，兩直線平行），故答案為：對(duì)頂角相等；1；3；；；同位角相等，兩直線平行．【變式訓(xùn)練】1．請(qǐng)完成下面的推理過(guò)程并在括號(hào)里填寫推理依據(jù)：如圖，，與平行嗎？為什么？．理由如下：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以________°，即________°（

）．又因?yàn)椋?/p>

），且（已知），所以（

），所以（

）．【解析】．理由如下：因?yàn)椋ㄒ阎?，即（等量代換）．又因?yàn)椋ㄒ阎?，且（已知），所以（等角的補(bǔ)角相等），所以（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：；等量代換；已知；等角的補(bǔ)角相等；同位角相等，兩直線平行．2．如圖，已知，，，．與平行嗎？與平行嗎？閱讀下面的解答過(guò)程，并填空或填寫理由．與平行；與平行，理由如下：，，，（________）（________）（________________________）；又，，（________），同理可得（________），所以（________）（________）（_____________________________）．【解析】與平行；與平行，理由如下：，，，(同位角相等，兩直線平行)；又，，，同理可得，(同位角相等，兩直線平行)．考點(diǎn)三、平行線的定義及平行公理例題3：如圖，已知直線a，b，c被d所截，且，．試說(shuō)明：．因?yàn)椋ㄒ阎╛__________），所以___________=___________（等量代換），所以______________________（___________）．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______________________（___________）．【解析】因?yàn)椋ㄒ阎▽?duì)頂角相等），所以2=3（等量代換），所以ac（同位角相等，兩直線平行）．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以bc（平行于同一條直線的兩條直線平行）．【變式訓(xùn)練】1．將一張長(zhǎng)方形的硬紙片ABCD對(duì)折后打開(kāi)，折痕為EF，把長(zhǎng)方形ABEF平攤在桌面上，另一面CDFE無(wú)論怎么改變位置，總有CD∥AB存在，為什么？【解析】∵四邊形FECD是矩形，∴CD∥EF；

又∵四邊形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．考點(diǎn)四、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行例題4：推理填空：已知，如圖于B，于C，，求證：．證明：因?yàn)橛贐，于C（已知），所以．又因?yàn)椋╛______________），所以_________＝_________（_______________），所以（_______________）．【解析】因?yàn)橛贐，于C（已知），所以．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等角的余角相等），所以（?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【變式訓(xùn)練】1．如圖，交于，交于，交于，，，試判斷和的位置關(guān)系，并說(shuō)明為什么．【解析】．理由：，，，，所以．2．如圖，直線交于點(diǎn)O，分別平分和，已知，且．(1)求的度數(shù)；(2)試說(shuō)明的理由．【解析】（1）因?yàn)榉謩e平分和，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以；?）因?yàn)?，，所以，所以．考點(diǎn)五、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行例題5：如圖，已知直線被直線所截，平分，平分，，嗎？為什么？因?yàn)槠椒?，平分（已知），所以___________，___________，所以___________（），因?yàn)椋ǎ?，所以___________°，所以（）．【解析】因?yàn)槠椒?，平分（已知），所以，，所以（等量代換）因?yàn)椋ㄒ阎?，所以，所以（同旁?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【變式訓(xùn)練】1．如圖，．試說(shuō)明，根據(jù)圖形，完成下列推理：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等量代換），所以________//_________（_______________）．因?yàn)橄嘟唬裕╛___________）．因?yàn)?，所以，所以____________________（___________________）．【解析】因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等量代換），所以(同位角相等，兩直線平行）．因?yàn)锳B，DE相交，所以（對(duì)頂角相等）．因?yàn)?，所以，所?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．故答案為：；；同位角相等，兩直線平行；對(duì)頂角相等；；；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．2．完成下面的證明．如圖，已知直線a，b，c被直線l所截，，．求證：．證明：因?yàn)?，所以______（______）．因?yàn)椋訽_____（______）．所以（______）．【解析】證明：因?yàn)?，所以b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．因?yàn)?，所以c（同位角相等，兩直線平行）．所以（平行于同一條直線的兩條直線平行）．考點(diǎn)六、添加一個(gè)條件使兩條直線平行例題6：如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件，使．【答案】（答案不唯一）【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故答案為：或或（答案不唯一，任填一個(gè)即可）．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在下列四組條件中：①，②，③，④，能判定的是．（填序號(hào)）【答案】①②④【解析】①，能判斷，故此選項(xiàng)符合題意；②，，故此選項(xiàng)符合題意；③，，故此選項(xiàng)不符合題意；④，，故此選項(xiàng)符合題意，故答案為：①②④．2．如圖，對(duì)于下列給出的四個(gè)條件：①；②；③；④中，能判定的有．（填寫正確條件的序號(hào)）【答案】①③④【解析】①能判定（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；②不能判定；③能判定（同位角相等，兩直線平行）；④能判定（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；故答案為：①③④．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．下列圖中，和不是同位角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】同位角是指兩條直線與第三條直線相交，在第三條直線的同旁且在兩條直線同一側(cè)的角．A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中滿足定義的是A，C，D三個(gè)選項(xiàng)，故選B．2．如圖，直線，被l所截，下列說(shuō)法正確的是（

）A．因?yàn)?，所?B．因?yàn)?，所以C．因?yàn)椋?D．因?yàn)?，所以【答案】B【解析】A、，不能判斷，故不合題意；B、因?yàn)椋?，故符合題意；C、因?yàn)?，所以，不能判斷，故不合題意；D、是同旁內(nèi)角關(guān)系，不能由判斷，故不合題意；故選B．3．如圖，點(diǎn)，分別為邊，上一點(diǎn)，作射線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是內(nèi)錯(cuò)角 B．與是對(duì)頂角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是同位角【答案】C【解析】A、與不是內(nèi)錯(cuò)角，說(shuō)法錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；B、與是對(duì)頂角，說(shuō)法錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；C、說(shuō)法正確，該選項(xiàng)符合題意；D、圖中的同位角只有，說(shuō)法錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意．故選C．4．如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，下列條件中不能判定的是（）A． B． C．∠ D．【答案】A【解析】A.因?yàn)?，所?符合題意；B.因?yàn)?，所以，不合題意；C.因?yàn)椤?，所以，不合題意；D.因?yàn)?，所以，不合題意；故選A．5．一學(xué)員練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，則這兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐50°，第二次向右拐50°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°【答案】A【解析】A．如圖所示，由圖可知，兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛方向與原來(lái)相同，故A符合題意；B．如圖所示，由圖可知，兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛方向與原來(lái)不相同，故B不符合題意；C．如圖所示，由圖可知，兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛方向與原來(lái)不相同，故C不符合題意；D．如圖所示，由圖可知，兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛方向與原來(lái)不相同，故D不符合題意．故選A．二、填空題6．如圖，要使，需添加的一個(gè)條件是（寫出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)閳D中和為同位角，根據(jù)同位角相等兩直線平行，添加條件，可得．答案不唯一，其他滿足的條件也可．7．如圖，將兩個(gè)完全相同的三角尺的斜邊重合放在同一平面內(nèi)，可以畫出兩條互相平行的直線．這樣畫的依據(jù)是．【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【解析】如圖，因?yàn)閮蓚€(gè)三角尺是完全相同的，所以．與是內(nèi)錯(cuò)角，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可判定，因此可以畫出兩條互相平行的直線．故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．8．如圖，將木條a，b與c釘在一起，，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，即木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是時(shí)，．故答案為：．9．如圖所示，一個(gè)彎形管道的拐角，，管道，的位置關(guān)系是，依據(jù)是．【答案】；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【解析】因?yàn)?，，所以，所以（同旁?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．10．如圖所示，直線與被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；直線與被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；的內(nèi)錯(cuò)角是．【答案】和；和；和【解析】直線與被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是和；直線與被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是和；的內(nèi)錯(cuò)角是和．故答案為：和；和；和．三、解答題11．如圖，直線，被所截，于H，，，求證：．【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以?2．如圖，點(diǎn)A在射線上，點(diǎn)C在射線上，，．求證：．請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：因?yàn)椋ㄒ阎?，，所以______，因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______（______），所以（______）．【解析】證明：因?yàn)椋ㄒ阎?，，所以，因?yàn)椋ㄒ阎裕ǖ攘看鷵Q），所以（同位角相等，兩直線平行）．13．完成下面的證明．如圖，分別平分．求證．證明：，（____________________）．分別平分和，所以，______（____________________）．又，（____________________）．所以（____________________）．【解析】證明：，（垂直的定義）．分別平分，所以，（角平分線的定義）．又，（等量代換）．所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．14．填空．已知：如圖，平分，．求證：．證明：因?yàn)槠椒郑╛___________________________________），所以____________