第頁2．3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．知識點(diǎn)詮釋：求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù)．知識點(diǎn)二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．知識點(diǎn)三：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為．知識點(diǎn)詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決．另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．知識點(diǎn)四：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為．知識點(diǎn)詮釋：（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．知識點(diǎn)五：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．知識點(diǎn)詮釋：（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．【題型歸納目錄】題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系題型二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程題型三：交點(diǎn)問題題型四：對稱問題題型五：兩點(diǎn)間的距離題型六：點(diǎn)到直線的距離題型七：兩平行直線間的距離題型八：距離問題的綜合靈活運(yùn)用題型九：線段和與差的最值問題【典型例題】題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系例1．（多選）與直線2x－y－3＝0相交的直線方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0【答案】BD【解析】對于A，聯(lián)立，方程組無解，兩直線平行；對于B，聯(lián)立方程組，解得：，有唯一解，與原直線相交；對于C，聯(lián)立方程組有無數(shù)解，與原直線重合；對于D，聯(lián)立方程組有唯一解，與原直線相交．故選：BD．例2．（多選）已知集合，集合，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)榧?，集合，且，所以直線與直線平行或交于點(diǎn)，當(dāng)兩線平行時(shí)，；當(dāng)兩線交于點(diǎn)時(shí)，，解得．綜上得a等于或2．故選：AD．【方法技巧與總結(jié)】分類討論時(shí)容易疏忽某種情況，特別是三條直線相交于同一點(diǎn)這種情況更要注意．題型二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程例3．已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，所以在直線上，所以過兩點(diǎn)所在直線方程為，故選：B例4．直線經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程．【解析】設(shè)直線方程為，化簡得，直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，直線的斜率為，或，解得或．代入并化簡得直線的方程為或．所以所求的直線方程為或．例5．求過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點(diǎn)且斜率為﹣2的直線方程．【解析】設(shè)過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點(diǎn)的直線方程為x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，即（1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率為2，解得λ，∴所求的直線方程為2x+y+8＝0．例6．求經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的直線方程．【解析】解法一：聯(lián)立直線方程，解方程組得，由兩點(diǎn)式得所求直線的方程為，即．解法二：易知直線不符合所求方程，設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故所求直線方程為，整理得．【方法技巧與總結(jié)】直線系是直線和方程的理論發(fā)展，是數(shù)學(xué)符號語言中一種有用的工具，是一種很有用的解題技巧，應(yīng)注意掌握和應(yīng)用．題型三：交點(diǎn)問題例7．若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】方法一：由直線，有交點(diǎn)，得．由，得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為．又交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以，解得．方法二：由題意知，直線過定點(diǎn)，斜率為k，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，．若直線與的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則必過線段AB上的點(diǎn)（不包括點(diǎn)A，B）．因?yàn)?，，所以．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C．例8．已知直線，，則過和的交點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于所求出直線與直線垂直，所以設(shè)所求直線為，由，得，即和的交點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，得，所以所求直線方程為，故選：D例9．曲線與的交點(diǎn)的情況是（

）A．最多有兩個(gè)交點(diǎn) B．兩個(gè)交點(diǎn)C．一個(gè)交點(diǎn) D．無交點(diǎn)【答案】A【解析】聯(lián)立兩條直線方程得：得到，兩邊平方得：，當(dāng)即時(shí)，，得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，得到，與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．所以曲線與的最多有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：A例10．三條直線構(gòu)成一個(gè)三角形，則的取值范圍是______．【答案】且【解析】由得，由得，由得，若在上，則．故若能構(gòu)成一個(gè)三角形，則．故答案為：且．例11．直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____．【答案】【解析】由題意可得，解得，且，故答案為：例12．在中，已知點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程是，邊上的高線所在直線的方程是，求直線，的方程．【解析】由，解得，即，又，，所以直線的方程是，即；因?yàn)檫吷系母呔€所在直線的方程是，所以直線的斜率為，所以直線的方程是，即．【方法技巧與總結(jié)】直接聯(lián)立兩直線方程，解方程即可．題型四：對稱問題例1．點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)（3，4）關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：例14．直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線的方程為________．【答案】【解析】方法一：設(shè)對稱直線上一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，所以點(diǎn)在直線上，代入得．方法二：易知直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線與直線平行，故設(shè)為．由點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直線方程為．方法三：易知點(diǎn)，在直線上，且它們關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，則所求直線的方程為，即．故答案為：．例15．已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射回到時(shí)點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為_____．【答案】【解析】直線的方程為：，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，，解得，．，光線所經(jīng)過的路程．故答案為：．例16．直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是______．【答案】【解析】設(shè)對稱直線為，則有，解這個(gè)方程得（舍）或．所以對稱直線的方程中故答案為：例17．已知直線，點(diǎn)．（1）求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)；（2）求直線，關(guān)于點(diǎn)的對稱直線的方程．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，則這兩點(diǎn)的中點(diǎn)為，所以，解得m，n，所以點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為；（2）由題意知，直線的斜率為，設(shè)其方程為，在直線上取一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，而該點(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線的方程為．例18．已知直線，，．（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．【解析】（1）因?yàn)?，所以．設(shè)直線的方程為（，且）．在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，得，解得，所以直線的方程為．（2）由，得，所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為．另取上不同于A的一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以過與的直線的方程為，即．例19．已知直線，點(diǎn)．求：（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線關(guān)于直線對稱的直線的方程；（3）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線，解得，所以，（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，聯(lián)立直線與直線，，解得，所以；在直線上取一點(diǎn)，如，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)必在直線上，設(shè)對稱點(diǎn)，則，解得，所以，經(jīng)過點(diǎn)，所以所以直線的方程為整理得．（3）設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)為，在直線上，代入直線方程得：，所以直線的方程為：．【方法技巧與總結(jié)】（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．（3）直線關(guān)于點(diǎn)對稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．（4）直線關(guān)于直線對稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程題型五：兩點(diǎn)間的距離例20．已知的頂點(diǎn)為，則邊上的中線長為____．【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，，則，又，所以．故答案為：．例21．已知點(diǎn)，，若在軸上存在一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】設(shè)，則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．例22．如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．（1）試判斷的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求BC邊上中線的長．【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得，，，，即，所以是直角三角形．（2）依題意，線段BC的中點(diǎn)，，所以BC邊上中線的長為．【方法技巧與總結(jié)】兩點(diǎn)間的距離公式為．題型六：點(diǎn)到直線的距離例23．已知的頂點(diǎn)，AB邊上的中線所在直線的方程為，AC邊上的高BH所在直線的方程為．（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）求的面積．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)樵谥本€上，所以，

①又，的中點(diǎn)為，且點(diǎn)在的中線上，所以，

②聯(lián)立①②，得，即點(diǎn)．由題意，得，所以，所以所在直線的方程為，即，

③因?yàn)辄c(diǎn)在AB邊上的中線上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，

④聯(lián)立③④，得，即．（2）由（1）得，到直線的距離為，所以，故的面積為7．例24．若點(diǎn)P（3，1）到直線l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距離為3，則a＝（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】A【解析】點(diǎn)P（3，1）到直線l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距離為3，可得3，解得a＝2，故選：A．例25．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，則的面積為________．【答案】【解析】，設(shè)所在直線方程為，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入可求得，求得，，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離．故答案為：例26．點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為____．【答案】【解析】記為點(diǎn)到直線的距離，則，其中；當(dāng)變化時(shí)，的最大值為5，最小值為，則的最大值為的最小值為，即距離的取值范圍為．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】點(diǎn)到直線的距離為．題型七：兩平行直線間的距離例27．兩平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將直線化為，則這兩條平行直線間的距離為．故選：D．例28．設(shè)，已知直線l1：，過點(diǎn)作直線l2，且l1∥l2，則直線l1與l2之間距離的最大值是__．【答案】【解析】由于直線l1：，整理得，由，解得，即直線l1恒過點(diǎn)；則過點(diǎn)作直線l2，且l1∥l2，所以直線l1與l2之間距離的最大值為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離．故答案為：．例29．若平面內(nèi)兩條平行線：：間的距離為，則實(shí)數(shù)_____．【答案】-1【解析】平面內(nèi)兩條平行線：：，或．當(dāng)時(shí)，兩條平行直線即：：，它們之間的距離為，不滿足條件．當(dāng)時(shí)，兩條平行直線即：：，它們之間的距離為，滿足條件，故實(shí)數(shù)．故答案為：例30．已知直線（）與直線互相平行，且它們之間的距離是，則______．【答案】0【解析】因?yàn)橹本€（）與直線互相平行，所以且．又兩直線間的距離是，所以，因?yàn)?，解得：．所以．故答案為?例31．設(shè)，已知直線，過點(diǎn)作直線，且，則直線與之間距離的最大值是______．【答案】【解析】由于直線，整理得：，故，解得，即直線恒過點(diǎn)；則過點(diǎn)作直線，且，則最大距離．故答案為：．例32．兩平行直線，分別過，．（1），之間的距離為5，求兩直線方程；（2）若，之間的距離為d，求d的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)，斜率不存在時(shí)，易知，，之間的距離為1，不合題意；當(dāng)，斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則，化為一般式得，，由，之間的距離為5，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故兩直線方程為或．（2）如圖：當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和垂直時(shí)，，之間的距離d最大為，當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和重合時(shí)，距離為0，又兩平行直線，不重合，故．【方法技巧與總結(jié)】直線與直線的距離為．題型八：距離問題的綜合靈活運(yùn)用例33．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為______【答案】2【解析】由點(diǎn)在直線上得上，且表示點(diǎn)與原點(diǎn)的距離∴的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，即∴的最小值為2.故答案為2例34．已知，，為某一直角三角形的三邊長，為斜邊，若點(diǎn)在直線：上，則的最小值為______．【答案】【解析】，，為某一直角三角形的三邊長，為斜邊則點(diǎn)在直線：上，表示原點(diǎn)到的距離平方，當(dāng)取最小值時(shí)，即為原點(diǎn)到直線：的距離平方最小，則由點(diǎn)到直線距離公式可得所以的最小值為9.故答案為：．例35．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________．【答案】5【解析】由題可知，表示的是直線上一點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和．如圖，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小所以的最小值為．故答案為：5．例36．在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)、，現(xiàn)定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的折線距離，若已知點(diǎn)，點(diǎn)M為直線上的動點(diǎn)，則取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】因點(diǎn)M在直線上，設(shè)，于是得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是．故答案為：例37．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如：與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點(diǎn)：對于函數(shù)，的最小值為______．【答案】【解析】函數(shù)，表示點(diǎn)與點(diǎn)與距離之和的最小值，則點(diǎn)在軸上，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，所以，所以的最小值為：．故答案為：．例38．設(shè)的最小值為_______．【答案】【解析】從幾何意義看，+表示點(diǎn)到點(diǎn)和距離的和，其最小值為和兩點(diǎn)間的距離．故答案為：例39．已知點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，，則m的最小值為（

）A．5 B．6 C． D．【答案】C【解析】表示點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和．因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以m的最小值為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，即．此時(shí)點(diǎn)為與的交點(diǎn).故選：C【方法技巧與總結(jié)】利用距離的幾何意義進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換．題型九：線段和與差的最值問題例40．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．【答案】D【解析】由關(guān)于的對稱點(diǎn)為，所以，可得，即對稱點(diǎn)為，又所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：D例41．已知，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B．9 C．10 D．【答案】C【解析】依題意，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，連接，如圖，在直線上任取點(diǎn)C，連接，顯然，直線垂直平分線段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取“=”，因此，，所以的最小值為10．故選：C例42．直線分別交軸和于點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】依題意可知，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，即求的最大值，，當(dāng)三點(diǎn)共線，即與原點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值為，也即的最大值是．故選：A例43．在直角坐標(biāo)系中，若、、，則的最小值是______．【答案】【解析】由題意可知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，由對稱性可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與軸的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，故的最小值為．故答案為：．例44．已知點(diǎn)，，直線，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，則的最大值為________．【答案】【解析】如圖，作B關(guān)于l的對稱點(diǎn)，設(shè)，則，解得，所以．因?yàn)榕cB關(guān)于l對稱，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)P為與l的交點(diǎn)時(shí)取等號．所以的最大值為，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【同步練習(xí)】一、單選題1．已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3【答案】D【解析】方法一

由題意得，即，所以或，解得或．方法二

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線或AB的中點(diǎn)在直線l上，則或，得或3．故選：D2．若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的最小距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由題意得：點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的最小距離為原點(diǎn)到直線的距離，即，故選：C3．若點(diǎn)在直線：上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，故其最小值為點(diǎn)到直線：的距離的平方，即，故選：B.4．直線和間的距離為（

）A．4 B．5C． D．【答案】C【解析】由題意，直線，由平行線的距離公式：故選：C5．直線關(guān)于對稱直線，直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，直線與直線交于點(diǎn)，直線過原點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線l關(guān)于直線對稱，所以原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，且直線l過點(diǎn)A、B，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即.故選：C6．已知點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知點(diǎn)P到直線l的距離為，時(shí)，，時(shí)，，，所以，綜上，．故選：C．7．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，在直線上取點(diǎn)P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．8．已知平面上三點(diǎn)坐標(biāo)為、、，小明在點(diǎn)處休息，一只小狗沿所在直線來回跑動，則小狗距離小明最近時(shí)所在位置的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，直線的方程為，即，設(shè)小狗的位置為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，小狗距離小明最近，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立，解得，因此，小狗距離小明最近時(shí)所在位置的坐標(biāo)為.故選：C.二、多選題9．一束光線自點(diǎn)射入，經(jīng)軸反射后過點(diǎn)，則下列點(diǎn)在反射光線所在直線上的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，所以反射光線所在的直線方程為，即．對于A，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤．對于B，當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤，對于C，當(dāng)時(shí)，，得，所以C正確，對于D，當(dāng)時(shí)，，得，所以D正確，故選：CD10．設(shè)直線，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直線或可以表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條直線B．與至多有無窮多個(gè)交點(diǎn)C．的充要條件是D．記與的交點(diǎn)為，則可表示過點(diǎn)的所有直線【答案】ACD【解析】對于A：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為（為直線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）此時(shí)直線或的方程無法表示，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)且時(shí)，兩直線重合，此時(shí)兩直線有無窮多個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對于C：當(dāng)且時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D：記與的交點(diǎn)為，則的坐標(biāo)滿足且滿足，則不表示過點(diǎn)的直線，故D錯(cuò)誤；故選：ACD11．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)之間的“折線距離”，則下列說法中正確的是（

）A．若點(diǎn)在線段上，則有B．若是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則有C．到兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡是直線D．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】AC【解析】對A，若點(diǎn)在線段上，設(shè)，則在之間，在之間，則，故A正確；對B，在中，，故B錯(cuò)誤；對C，設(shè)到兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故C正確；對D，設(shè)，則，即的最小值為，故D錯(cuò)誤.AC.三、填空題12．若直線m經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且點(diǎn)到直線m的距離為1，則直線m的方程為________．【答案】或【解析】方法一：由，得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為，則，解得，此時(shí)直線m的方程為；當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，，點(diǎn)到直線m的距離等于1，滿足條件．綜上，直線m的方程為或．方法二：設(shè)直線m的方程為，即，則，解得或，所以直線m的方程為或．故答案為：或13．如圖已知，若光線從點(diǎn)射出，直線反射后到直線上，在經(jīng)直線反射回原點(diǎn)，則光線所在的直線方程為________．【答案】【解析】由題意知直線的方程為，設(shè)光線分別射在上的處，作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，則∠∠∠，∠∠∠，共線，易得點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，∠，，的橫坐標(biāo)為，由對稱性可知，可得的縱坐標(biāo)為，，直線方程，即，聯(lián)立，得，，則，直線：，即光線所在的直線方程為．14．已知直線和相交，且交點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____．【答案】【解析】當(dāng)，直線和平行，不滿足題意，故，此時(shí)聯(lián)立方程，解得，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第二象限，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：四、解答題15．已知．(1)若直線l過點(diǎn)P，且原點(diǎn)到直線l的距離為2，求直線l的方程．(2)是否存在直線l，使得直線l過點(diǎn)P，且原點(diǎn)到直線l的距離為6？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．【解析】（1）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；②當(dāng)直線的方程為，即．根據(jù)題意，得，解得：，所以直線的方程為．故直線的方程為或．（2）（2）方法一：不存在．理由如下：若直線過點(diǎn)，則當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線與垂直，此時(shí)最大距離為，而，故不存在這樣的直線．方法二：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知原點(diǎn)到直線的距離為2，不符合題意．若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離為，令，整理得，則，方程無解，所以沒有符合題意的直線．綜上，不存在符合題意的直線．16．已知直線．(1)若直線在軸上的截距為，求實(shí)數(shù)的值；