初中數(shù)學(xué)余弦定理專項(xiàng)練習(xí)題一、余弦定理知識(shí)回顧對(duì)于任意三角形，設(shè)三邊長(zhǎng)度為\(a、b、c\)，對(duì)應(yīng)的內(nèi)角為\(\angleA、\angleB、\angleC\)（角與對(duì)邊一一對(duì)應(yīng)，如\(\angleA\)對(duì)邊\(a\)），則余弦定理的表達(dá)式為：\[\begin{cases}a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\\b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\\c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\end{cases}\]特殊情況：當(dāng)\(\angleC=90^\circ\)時(shí)，\(\cosC=0\)，余弦定理退化為勾股定理\(c^2=a^2+b^2\)，因此余弦定理可看作勾股定理的推廣（適用于任意三角形）。二、基礎(chǔ)鞏固練習(xí)題（已知兩邊及夾角/已知三邊求角）題1：已知兩邊及夾角，求第三邊在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^\circ\)，求邊\(c\)的長(zhǎng)度。思路解析：直接應(yīng)用余弦定理中“已知兩邊及夾角求第三邊”的公式（\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)）。代入數(shù)據(jù)：\(\cos60^\circ=0.5\)，因此：\[c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times0.5=9+16-12=13\]因?yàn)檫呴L(zhǎng)為正，故\(c=\sqrt{13}\)（或近似值\(3.61\)）。題2：已知三邊，求最大角的度數(shù)已知\(\triangleABC\)的三邊為\(a=5\)，\(b=5\)，\(c=5\sqrt{2}\)，求最大角的度數(shù)。思路解析：三角形中最長(zhǎng)邊對(duì)最大角，因此\(c\)是最長(zhǎng)邊，對(duì)應(yīng)的\(\angleC\)為最大角。代入余弦定理求角公式：\[\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\]代入數(shù)據(jù)：\[\cosC=\frac{5^2+5^2-(5\sqrt{2})^2}{2\times5\times5}=\frac{25+25-50}{50}=\frac{0}{50}=0\]因?yàn)閈(\cosC=0\)且\(0^\circ<C<180^\circ\)，故\(\angleC=90^\circ\)。三、能力提升練習(xí)題（結(jié)合三角形形狀判斷/多解問題）題3：已知三邊，判斷三角形形狀并求面積已知\(\triangleABC\)的三邊為\(a=6\)，\(b=8\)，\(c=10\)，求\(\triangleABC\)的面積。思路解析：先通過三邊關(guān)系判斷三角形形狀，再選擇合適的方法求面積。步驟1：驗(yàn)證勾股定理逆定理：\(6^2+8^2=36+64=100=10^2\)，因此\(\triangleABC\)是直角三角形，直角為\(\angleC\)（最長(zhǎng)邊\(c\)對(duì)的角）。步驟2：直角三角形面積公式：\(\text{面積}=\frac{1}{2}\times\text{直角邊}_1\times\text{直角邊}_2\)，因此面積為\(\frac{1}{2}\times6\times8=24\)。（或用余弦定理驗(yàn)證：\(\cosC=\frac{6^2+8^2-10^2}{2\times6\times8}=0\)，故\(\angleC=90^\circ\)，面積\(=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times6\times8\times1=24\)。）題4：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，分析解的情況（選做）在\(\triangleABC\)中，\(a=7\)，\(b=8\)，\(\angleA=45^\circ\)，求邊\(c\)的可能值。思路解析：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角（\(a、b、\angleA\)），需先通過正弦定理判斷\(\angleB\)的解的個(gè)數(shù)，再求\(c\)。步驟1：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}\)。代入數(shù)據(jù)：\(\sinB=\frac{8\times\sin45^\circ}{7}\approx\frac{8\times0.707}{7}\approx0.808\)。步驟2：分析\(\angleB\)的可能值：因?yàn)閈(\sinB\approx0.808\)，且\(0^\circ<B<180^\circ\)，所以\(\angleB\approx54^\circ\)（銳角）或\(\angleB\approx180^\circ-54^\circ=126^\circ\)（鈍角），需驗(yàn)證是否滿足三角形內(nèi)角和。步驟3：分情況求\(\angleC\)和\(c\)：情況1：\(\angleB\approx54^\circ\)，則\(\angleC=180^\circ-45^\circ-54^\circ=81^\circ\)。由余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，代入\(\cos81^\circ\approx0.156\)，得：\[c^2\approx7^2+8^2-2\times7\times8\times0.156\approx49+64-17.47\approx95.53\impliesc\approx9.77\]情況2：\(\angleB\approx126^\circ\)，則\(\angleC=180^\circ-45^\circ-126^\circ=9^\circ\)。同理，\(\cos9^\circ\approx0.9877\)，代入得：\[c^2\approx7^2+8^2-2\times7\times8\times0.9877\approx49+64-110.62\approx2.38\impliesc\approx1.54\]因此，\(c\)的可能值約為\(9.77\)或\(1.54\)（初中階段可保留根號(hào)或近似值）。四、拓展應(yīng)用練習(xí)題（實(shí)際測(cè)量問題）題5：校園建筑距離測(cè)量某中學(xué)要測(cè)量?jī)勺虒W(xué)樓\(A、B\)之間的距離，在教學(xué)樓\(C\)處測(cè)得：\(A\)在\(C\)的北偏東\(30^\circ\)方向，\(B\)在\(C\)的南偏東\(45^\circ\)方向，且\(AC=100\)米，\(BC=80\)米。求\(AB\)的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）。思路解析：先確定\(\angleACB\)的度數(shù)，再用余弦定理求\(AB\)。步驟1：確定\(\angleACB\)：北偏東\(30^\circ\)與南偏東\(45^\circ\)的夾角為\(180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\)，即\(\angleACB=105^\circ\)。步驟2：應(yīng)用余弦定理\(AB^2=AC^2+BC^2-2\timesAC\timesBC\times\cos\angleACB\)。計(jì)算\(\cos105^\circ\)：利用兩角和公式\(\cos(60^\circ+45^\circ)=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ\)，得：\[\cos105^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}\approx0.3535-0.6124=-0.2589\]步驟3：代入數(shù)據(jù)計(jì)算\(AB\)：\[AB^2=100^2+80^2-2\times100\times80\times(-0.2589)=____+6400+4142.4=____.4\]因此\(AB\approx\sqrt{____.4}\approx143.3\)米。五、解題總結(jié)與技巧1.公式選擇：已知兩邊及夾角，直接用\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)求第三邊；已知三邊，用\(\cosA=\frac{b