初三銳角三角函數(shù)知識(shí)總結(jié)及練習(xí)題一、銳角三角函數(shù)的定義在直角三角形中（設(shè)\(\text{Rt}\triangleABC\)，\(\angleC=90^\circ\)），若銳角\(\angleA\)的對(duì)邊為\(a\)、鄰邊為\(b\)、斜邊為\(c\)，則：正弦（\(\sin\)）：\(\boldsymbol{\sinA=\frac{\text{∠A的對(duì)邊}}{\text{斜邊}}=\frac{a}{c}}\)（描述角與對(duì)邊、斜邊的比例關(guān)系）；余弦（\(\cos\)）：\(\boldsymbol{\cosA=\frac{\text{∠A的鄰邊}}{\text{斜邊}}=\frac{c}}\)（描述角與鄰邊、斜邊的比例關(guān)系）；正切（\(\tan\)）：\(\boldsymbol{\tanA=\frac{\text{∠A的對(duì)邊}}{\text{∠A的鄰邊}}=\frac{a}}\)（描述角的對(duì)邊與鄰邊的比例關(guān)系）。核心本質(zhì)：三角函數(shù)值由角的大小決定，與三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)（相似三角形的三角函數(shù)值相等）。二、特殊角的三角函數(shù)值（30°、45°、60°）通過(guò)特殊直角三角形（含30°的直角三角形、等腰直角三角形）的邊長(zhǎng)關(guān)系，可推導(dǎo)得以下值（需熟練記憶）：角度\函數(shù)\(\sin\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\tan\alpha\)--------------------------------------------------------------30°\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)45°\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(1\)60°\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)推導(dǎo)思路（輔助理解）：30°角：設(shè)含30°的直角三角形中，30°對(duì)邊為\(1\)，則斜邊為\(2\)（“30°對(duì)邊是斜邊的一半”），鄰邊由勾股定理得\(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\)，代入定義即可得值。45°角：等腰直角三角形兩直角邊為\(1\)，斜邊為\(\sqrt{2}\)，代入定義得值。三、解直角三角形（已知元素求未知元素）直角三角形的元素包括：三邊（\(a,b,c\)）、兩銳角（\(\angleA,\angleB\)，且\(\angleA+\angleB=90^\circ\)）。解直角三角形需利用以下關(guān)系：1.解的條件（至少已知一條邊）已知一邊一銳角：如已知\(a\)和\(\angleA\)，可先求\(\angleB=90^\circ-\angleA\)，再通過(guò)三角函數(shù)求\(b,c\)。已知兩邊：如已知\(a,b\)，可通過(guò)勾股定理求\(c\)，再通過(guò)三角函數(shù)求角。2.基本關(guān)系（解題依據(jù)）三邊關(guān)系（勾股定理）：\(\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}\)；銳角關(guān)系：\(\boldsymbol{\angleA+\angleB=90^\circ}\)；邊角關(guān)系（三角函數(shù)定義）：\(\sinA=\frac{a}{c},\cosA=\frac{c},\tanA=\frac{a}\)。四、實(shí)際應(yīng)用（構(gòu)造直角三角形模型）實(shí)際問(wèn)題需將場(chǎng)景轉(zhuǎn)化為直角三角形，常見(jiàn)情境及概念：1.仰角與俯角仰角：從低處觀測(cè)高處，視線與水平線的向上夾角；俯角：從高處觀測(cè)低處，視線與水平線的向下夾角；（仰角與俯角相等，因水平線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）2.坡角與坡度（坡比）坡角：坡面與水平面的夾角（記為\(\alpha\)）；坡度（坡比）：坡面的垂直高度與水平寬度的比，即\(\boldsymbol{i=\tan\alpha=\frac{h}{l}}\)（\(h\)為高度，\(l\)為水平寬度）。3.方向角以觀測(cè)點(diǎn)為中心，正北（或正南）為基準(zhǔn)描述目標(biāo)方向，如“北偏東30°”“南偏西45°”（即西南方向）。解題步驟：1.分析題意，畫(huà)示意圖，明確已知量、未知量；2.構(gòu)造直角三角形（非直角三角形可通過(guò)作高轉(zhuǎn)化）；3.利用三角函數(shù)、勾股定理等列方程求解。練習(xí)題（分層訓(xùn)練）一、基礎(chǔ)鞏固（定義+特殊角）1.在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(BC=3\)，\(AC=4\)，則\(\sinA=\)______，\(\cosB=\)______，\(\tanA=\)______。2.計(jì)算：\(\sin30^\circ+\cos60^\circ-\tan45^\circ=\)______。3.若\(\tan\alpha=\sqrt{3}\)（\(\alpha\)為銳角），則\(\alpha=\)______，\(\cos\alpha=\)______。二、能力提升（解直角三角形）4.已知\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(\angleA=30^\circ\)，\(AB=6\)，求\(BC\)和\(AC\)的長(zhǎng)。5.在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=5\)，\(AB=13\)，求\(\angleA\)的三角函數(shù)值（\(\sinA,\cosA,\tanA\)）。6.已知\(\angleA\)為銳角，且\(\sinA=\frac{3}{5}\)，求\(\cosA\)和\(\tanA\)的值（提示：構(gòu)造直角三角形，設(shè)對(duì)邊為3，斜邊為5）。三、綜合應(yīng)用（實(shí)際問(wèn)題）7.某同學(xué)在離旗桿底部10米處（水平距離），測(cè)得旗桿頂端的仰角為60°，求旗桿的高度（結(jié)果保留根號(hào)）。8.一段斜坡的坡度為\(1:\sqrt{3}\)，斜坡的垂直高度為5米，求斜坡的水平寬度和坡長(zhǎng)。9.一艘船在A處觀測(cè)燈塔C在北偏東30°方向，船向正北航行20海里到B處，觀測(cè)燈塔C在南偏東60°方向，求此時(shí)船到燈塔的距離（即\(BC\)的長(zhǎng)）。參考答案（思路提示）基礎(chǔ)鞏固1.斜邊\(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\)，故\(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}\)；\(\cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}\)（\(\angleB\)的鄰邊為\(BC\)）；\(\tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}\)。2.代入特殊角值：\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0\)。3.\(\tan60^\circ=\sqrt{3}\)，故\(\alpha=60^\circ\)，\(\cos60^\circ=\frac{1}{2}\)。能力提升4.\(\angleA=30^\circ\)，\(BC\)為對(duì)邊，故\(BC=\frac{1}{2}AB=3\)；\(AC=AB\cdot\cos30^\circ=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\)。5.先求\(BC=\sqrt{13^2-5^2}=12\)，則\(\sinA=\frac{12}{13}\)，\(\cosA=\frac{5}{13}\)，\(\tanA=\frac{12}{5}\)。6.設(shè)對(duì)邊\(a=3\)，斜邊\(c=5\)，鄰邊\(b=\sqrt{5^2-3^2}=4\)，故\(\cosA=\frac{4}{5}\)，\(\tanA=\frac{3}{4}\)。綜合應(yīng)用7.設(shè)旗桿高為\(h\)，則\(\tan60^\circ=\frac{h}{10}\)，故\(h=10\sqrt{3}\)米。8.坡度\(i=\frac{h}{l}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)，\(h=5\)，故水平寬度\(l=5\sqrt{3}\)米；坡長(zhǎng)\(=\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=10\)米。9.由題意，\(\angleACB=90^\circ