分式方程重點(diǎn)難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練題一、分式方程核心概念回顧分式方程是分母中含有未知數(shù)的有理方程，求解的核心思想是“轉(zhuǎn)化思想”——通過(guò)去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，最終需檢驗(yàn)所得的根是否使原方程的分母為零（即排除增根）。增根：使分式方程分母為零的根，它是去分母后整式方程的根，但不滿(mǎn)足原分式方程，因此解分式方程必須檢驗(yàn)。最簡(jiǎn)公分母：各分母所有因式的最高次冪的積（注意符號(hào)統(tǒng)一，如\(x-2\)與\(2-x\)的最簡(jiǎn)公分母為\(x-2\)，因\(2-x=-(x-2)\)）。二、重點(diǎn)難點(diǎn)梳理1.去分母的易錯(cuò)點(diǎn)漏乘不含分母的項(xiàng)：去分母時(shí)，方程兩邊需同乘最簡(jiǎn)公分母，每一項(xiàng)都要乘，包括常數(shù)項(xiàng)。符號(hào)處理：分母為多項(xiàng)式時(shí)，注意括號(hào)的使用（如\(\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}\)）。2.增根的理解與應(yīng)用增根的本質(zhì)是“去分母后范圍擴(kuò)大”導(dǎo)致的額外根，需通過(guò)檢驗(yàn)排除。若已知分式方程有增根，可先求增根（令最簡(jiǎn)公分母為零的未知數(shù)的值），再代入整式方程求參數(shù)。3.實(shí)際應(yīng)用題的難點(diǎn)分式方程應(yīng)用題常涉及工程問(wèn)題（工作量=工作效率×?xí)r間）、行程問(wèn)題（路程=速度×?xí)r間）、濃度問(wèn)題（溶質(zhì)=溶液×濃度）等，難點(diǎn)在于：找準(zhǔn)等量關(guān)系（如“實(shí)際工作量=原計(jì)劃工作量”“相遇時(shí)路程和=總路程”）；設(shè)元合理（避免分母為零，單位統(tǒng)一）。三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練題（分層次）（一）基礎(chǔ)鞏固題1.解方程：\(\boldsymbol{\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}}\)2.解方程：\(\boldsymbol{\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{2-x}}\)3.若分式方程\(\boldsymbol{\frac{x}{x-3}+2=\frac{m}{x-3}}\)有增根，求\(m\)的值。（二）能力提升題4.解方程：\(\boldsymbol{\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=\frac{x+2}{x-2}}\)5.已知關(guān)于\(x\)的方程\(\boldsymbol{\frac{2x+a}{x-2}=-1}\)的解為非負(fù)數(shù)，求\(a\)的取值范圍。6.某工程隊(duì)原計(jì)劃\(x\)天完成一項(xiàng)工程，實(shí)際每天比原計(jì)劃多做\(5\)個(gè)工作量，結(jié)果提前\(2\)天完成。設(shè)原計(jì)劃每天做\(y\)個(gè)工作量，列分式方程表示等量關(guān)系。（三）綜合應(yīng)用題7.甲、乙兩人分別從\(A\)、\(B\)兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度是乙的\(\frac{3}{2}\)倍。兩人相遇后繼續(xù)前進(jìn)，甲到達(dá)\(B\)地、乙到達(dá)\(A\)地后立即返回，已知兩人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)\(20\)千米，求\(A\)、\(B\)兩地的距離（用分式方程解）。8.某工廠購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種原料，甲原料每千克\(m\)元，乙原料每千克\(n\)元（\(m\neqn\)）?，F(xiàn)需配制\(A\)種溶液（甲、乙質(zhì)量比\(2:3\)）和\(B\)種溶液（甲、乙質(zhì)量比\(3:2\)），現(xiàn)有甲原料\(a\)千克、乙原料\(b\)千克，若全部用于配制\(A\)、\(B\)且兩種溶液總質(zhì)量相同，求能配制\(A\)溶液多少千克（列分式方程求解）。四、詳細(xì)解析與思路點(diǎn)撥（一）基礎(chǔ)鞏固題解析1.解方程\(\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}\)思路：找最簡(jiǎn)公分母\(x(x+1)\)，兩邊同乘消去分母。解：兩邊乘\(x(x+1)\)得\(2(x+1)=3x\)，展開(kāi)得\(2x+2=3x\)，解得\(x=2\)。檢驗(yàn)：\(x=2\)時(shí)，\(x(x+1)=6\neq0\)，故\(x=2\)是原方程的根。2.解方程\(\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{2-x}\)思路：統(tǒng)一分母符號(hào)（\(2-x=-(x-2)\)），最簡(jiǎn)公分母為\(x-2\)。解：方程變形為\(\frac{1}{x-2}+3=-\frac{x-1}{x-2}\)，兩邊乘\(x-2\)得\(1+3(x-2)=-(x-1)\)。展開(kāi)：\(1+3x-6=-x+1\)，整理得\(4x=6\)，解得\(x=1.5\)。檢驗(yàn)：\(x=1.5\)時(shí)，\(x-2=-0.5\neq0\)，故\(x=1.5\)是原方程的根。3.求增根對(duì)應(yīng)的\(m\)值思路：增根使分母為零，先求增根\(x=3\)，再代入去分母后的整式方程。解：去分母（乘\(x-3\)）得\(x+2(x-3)=m\)。增根為\(x=3\)（令\(x-3=0\)），代入得\(3+2(3-3)=m\)，故\(m=3\)。（二）能力提升題解析4.解方程\(\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=\frac{x+2}{x-2}\)思路：分母\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，最簡(jiǎn)公分母為\((x+2)(x-2)\)，注意檢驗(yàn)增根。解：兩邊乘\((x+2)(x-2)\)得\((x-2)^2-16=(x+2)^2\)。展開(kāi)：\(x^2-4x+4-16=x^2+4x+4\)，整理得\(-8x=16\)，解得\(x=-2\)。檢驗(yàn)：\(x=-2\)時(shí)，\((x+2)(x-2)=0\)，故\(x=-2\)是增根，原方程無(wú)解。5.求\(a\)的取值范圍思路：先解分式方程，再根據(jù)“解為非負(fù)數(shù)”“分母不為零”列不等式。解：去分母得\(2x+a=-(x-2)\)，整理得\(3x=2-a\)，解得\(x=\frac{2-a}{3}\)。①解為非負(fù)數(shù)：\(\frac{2-a}{3}\geq0\implies2-a\geq0\impliesa\leq2\)；②分母不為零：\(x\neq2\implies\frac{2-a}{3}\neq2\implies2-a\neq6\impliesa\neq-4\)。綜上，\(a\)的取值范圍為\(\boldsymbol{a\leq2}\)且\(\boldsymbol{a\neq-4}\)。6.列分式方程思路：總工作量不變，原計(jì)劃工作量=實(shí)際工作量。解：原計(jì)劃工作量為\(x\cdoty\)，實(shí)際每天做\(y+5\)，天數(shù)為\(x-2\)，故方程為：\(\boldsymbol{xy=(y+5)(x-2)}\)（三）綜合應(yīng)用題解析7.求\(A\)、\(B\)兩地距離思路：設(shè)乙速度為\(2v\)（簡(jiǎn)化計(jì)算），甲速度為\(3v\)，\(AB\)距離為\(s\)。利用“相遇時(shí)路程和=總路程”分析兩次相遇的位置。解：第一次相遇：兩人共走\(yùn)(s\)，時(shí)間\(t_1=\frac{s}{2v+3v}=\frac{2s}{5v}\)，甲走了\(3v\cdot\frac{2s}{5v}=\frac{3s}{5}\)，相遇點(diǎn)距\(A\)地\(\frac{3s}{5}\)。第二次相遇：兩人共走\(yùn)(3s\)（第一次相遇后到對(duì)方起點(diǎn)再返回），時(shí)間\(t_2=\frac{3s}{5v}=\frac{6s}{5v}\)，甲走了\(3v\cdot\frac{6s}{5v}=\frac{9s}{5}\)。甲從\(A\)到\(B\)走了\(s\)，剩余路程\(\frac{9s}{5}-s=\frac{4s}{5}\)（即從\(B\)返回走了\(\frac{4s}{5}\)），故第二次相遇點(diǎn)距\(A\)地\(s-\frac{4s}{5}=\frac{s}{5}\)。兩次相遇點(diǎn)距離：\(\frac{3s}{5}-\frac{s}{5}=\frac{2s}{5}=20\)，解得\(s=50\)千米。8.求\(A\)溶液質(zhì)量思路：設(shè)\(A\)、\(B\)溶液質(zhì)量均為\(x\)千克（總質(zhì)量相同），根據(jù)“甲、乙原料全部用完”列方程。解：\(A\)溶液中，甲質(zhì)量\(\frac{2}{5}x\)，乙質(zhì)量\(\frac{3}{5}x\)；\(B\)溶液中，甲質(zhì)量\(\frac{3}{5}x\)，乙質(zhì)量\(\frac{2}{5}x\)；甲原料總用量：\(\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}x=x=a\)（全部用完）；乙原料總用量：\(\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}x=x=b\)（全部用完）。因此\(x=a=b\)（隱含\(a=b\)），故能配制\(A\)溶液\(\boldsymbol{a}\)千克（或\(b\)千克）。五、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議1.去分