做有爭議的極限題目及答案一、選擇題（共30分）1.（3分）下列極限中，哪一個是正確的？A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x}=0\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)正確答案是：A、C、D。2.（3分）計算極限\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)的值。A.0B.1C.\(e\)D.\(\infty\)正確答案是：C。3.（3分）計算極限\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)的值。A.0B.1C.\(\infty\)D.\(-\infty\)正確答案是：A。4.（3分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)的值。A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.\(\infty\)正確答案是：B。5.（3分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cosx}{x^2}\)的值。A.0B.1C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\infty\)正確答案是：C。6.（3分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\)的值。A.0B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\infty\)正確答案是：B。7.（3分）計算極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+5x+1}\)的值。A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.\(\infty\)正確答案是：B。8.（3分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos3x}{x^2}\)的值。A.0B.9C.\(\frac{9}{2}\)D.\(\infty\)正確答案是：C。9.（3分）計算極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}\)的值。A.0B.1C.\(\infty\)D.\(-\infty\)正確答案是：A。10.（3分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)的值。A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.\(\infty\)正確答案是：B。二、填空題（共20分）1.（4分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}\)的值，并填入空格：\(\boxed{1}\)。2.（4分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)的值，并填入空格：\(\boxed{\frac{1}{2}}\)。3.（4分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)的值，并填入空格：\(\boxed{\frac{1}{2}}\)。4.（4分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\)的值，并填入空格：\(\boxed{-\frac{1}{2}}\)。5.（4分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)的值，并填入空格：\(\boxed{\frac{1}{2}}\)。三、解答題（共50分）1.（10分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)，并說明理由。解：我們可以使用洛必達法則來計算這個極限。首先，我們觀察到當(dāng)\(x\)趨近于0時，分子和分母都趨近于0，因此我們有一個不確定形式\(\frac{0}{0}\)。應(yīng)用洛必達法則，我們對分子和分母分別求導(dǎo)：\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{2x}\]再次應(yīng)用洛必達法則：\[\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{2}=\frac{\cos0}{2}=\frac{1}{2}\]因此，極限的值為\(\boxed{\frac{1}{2}}\)。2.（10分）計算極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}\)，并說明理由。解：我們可以使用洛必達法則來計算這個極限。首先，我們觀察到當(dāng)\(x\)趨近于\(\infty\)時，分子和分母都趨近于\(\infty\)，因此我們有一個不確定形式\(\frac{\infty}{\infty}\)。應(yīng)用洛必達法則，我們對分子和分母分別求導(dǎo)：\[\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}\]再次應(yīng)用洛必達法則：\[\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty\]因此，極限的值為\(\boxed{\infty}\)。3.（10分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)，并說明理由。解：我們可以使用洛必達法則來計算這個極限。首先，我們觀察到當(dāng)\(x\)趨近于0時，分子和分母都趨近于0，因此我們有一個不確定形式\(\frac{0}{0}\)。應(yīng)用洛必達法則，我們對分子和分母分別求導(dǎo)：\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\frac{1}{1+0}=1\]因此，極限的值為\(\boxed{1}\)。4.（10分）計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\)，并說明理由。解：我們可以使用洛必達法則來計算這個極限。首先，我們觀察到當(dāng)\(x\)趨近于0時，分子和分母都趨近于0，因此我們有一個不確定形式\(\frac{0}{0}\)。應(yīng)用洛必達法則，我們對分子和分母分別求導(dǎo)：\[\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{3x^2}\]再次應(yīng)用洛必達法則：\[\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{6x}\]再次應(yīng)用洛必達法則：\[\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{-\cosx}{6}=-\frac{\cos0}{6}=-\frac{1}{6}\]因此，極限的值為\(\boxed{-\frac{1}{6}}\)。5.（10分）計算極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{2x^2+5x+3}\)，并說明理由。解：我們可以通過將分子和分母都除以\(x^2\)來簡化這個極限：\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{2x^2+5x+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{2+\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}}\]當(dāng)\(x\)趨近于\(\infty\)時