一、中考幾何壓軸題1．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．填空：①則的值為_(kāi)_____；②∠EAD的度數(shù)為_(kāi)______．（2）類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．請(qǐng)求出的值及∠EAD的度數(shù)；（3）拓展延伸如圖3，在（2）的條件下，取線段DE的中點(diǎn)M，連接AM、BM，若BC=4，則當(dāng)△ABM是直角三角形時(shí)，求線段AD的長(zhǎng)．2．某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：類比探究：（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為直徑，向外側(cè)作半圓，則面積之間的關(guān)系式為_(kāi)____________；推廣驗(yàn)證：（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作，，滿足，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在五邊形中，，點(diǎn)在上，，求五邊形的面積．3．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直線BD，CE交于點(diǎn)F，直線BD，AC交于點(diǎn)G．則線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）類比探究如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直線BD，CE交于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)G．若AB＝kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MP，連接NP，OP．請(qǐng)直接寫出線段OP長(zhǎng)度的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．4．將拋物線y＝ax2的圖像（如圖1）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后可得新的拋物線圖像（如圖2），記為C：y2＝x．（概念與理解）將拋物線y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的拋物線圖像，記為：C1：_____________；C2：____________．（猜想與證明）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x，0）在x軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C1于點(diǎn)A、B，交拋物線C2于點(diǎn)C、D，如圖3所示．（1）填空：當(dāng)x=1時(shí)，=______；當(dāng)x=2時(shí)，=_______；（2）猜想：對(duì)任意x（x＞0）上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的猜想；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（探究與應(yīng)用）①利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△COD面積比為；②若△AOB和△COD中有一個(gè)是直角三角形時(shí)，求△COD與△AOB面積之差；（聯(lián)想與拓展）若拋物線C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x軸正半軸上，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C3于點(diǎn)A、B，交拋物線C4于點(diǎn)C、D．過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線C4于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線C3于點(diǎn)F．對(duì)于x軸上任取一點(diǎn)P，均有△PAE與△PDF面積的比值1:3，請(qǐng)直接寫出m和n之間滿足的等量關(guān)系是______．5．在矩形ABCD中，（k為常數(shù)），點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與射線CB交于點(diǎn)E，連接AE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，將點(diǎn)P移動(dòng)到對(duì)角線交點(diǎn)處，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，則=，∠AEP=；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，∠AEP的大小（填“改變”或“不變”）；（2）類比探究：如圖2，若k≠1時(shí)，當(dāng)k的值確定時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦EP的大小是否會(huì)隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而發(fā)生變化，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：當(dāng)k≠1時(shí)，如圖2，連接PC，若PC⊥BD，，PC=2，求AP的長(zhǎng)．6．綜合與實(shí)踐（問(wèn)題背景）如圖1，矩形中，．點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，沿直線將矩形折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)處．（問(wèn)題解決）（1）填空：的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）如圖2，將沿線段向右平移，使點(diǎn)與點(diǎn)B重合，得到與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．求的長(zhǎng)；（拓展探究）（3）在圖2中，連接，則四邊形是平行四邊形嗎？若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．綜合與實(shí)踐：利用矩形的折疊開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究體會(huì)圖形在軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)等變換過(guò)程中的變化，及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法．動(dòng)手操作：如圖①，矩形紙片ABCD的邊AB＝2，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF，然后展開(kāi)，EF與AC交于點(diǎn)H；如圖②，將矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，展開(kāi)圖形，折痕為AG，連接GH；若在圖①中連接BH，得到如圖③，點(diǎn)M是線段BH上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AH上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在圖②中連接BH，交折痕AG于點(diǎn)Q，隱去其它線段，得到如圖④．解決問(wèn)題：（1）在圖②中，∠ACB＝，BC＝，＝，與△ABG相似的三角形有個(gè)；（2）在圖②中，AH2＝AE·（從圖②中選擇一條線段填在空白處），并證明你的結(jié)論；（3）在圖③中，△ABH為三角形，設(shè)BM為x，則NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在圖④中，將△ABQ繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，連接DQ′，則DQ′的最小值為，當(dāng)tan∠CBQ′＝時(shí)，△DBQ′的面積最大值為．8．如圖(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點(diǎn)M，P分別在邊AB，AD上(均不與端點(diǎn)重合)，且AP＝nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN.（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖(2)，當(dāng)n＝1時(shí)，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為.（類比探究）（2）如圖(3)，當(dāng)n＝2時(shí)，矩形AMNP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)就圖(3)給出證明；若變化，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖(3)說(shuō)明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的條件下，已知AD＝4，AP＝2，當(dāng)矩形AMVP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CN的長(zhǎng)9．（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）（1）如圖，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置，直線和直線交于點(diǎn)①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、之間的數(shù)量關(guān)系．10．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°，得到線段AE，連接BE．（1）（特例感知）如圖1，若α=90，則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比探究）如圖2，若α=120，試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）（拓展延伸）如圖3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，將QD繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段QE，DE⊥BC，求AQ的長(zhǎng)．11．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)．已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，若AM＝1，MN＝2，則BN＝．（1）（類比探究）如圖2，DE是△ABC的中位線，M、N是AB邊的勾股點(diǎn)（AM＜MN＜NB），連接CM、CN分別交DE于點(diǎn)G、H．求證：G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．（2）（知識(shí)遷移）如圖3，C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，連結(jié)PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度數(shù)．（3）（拓展應(yīng)用）如圖4，點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．12．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中和△DCE中，，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．填空：①的值為；②∠ABE的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，在△ABC中和△DCE中，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．請(qǐng)判斷的值及∠ABE的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)．13．（探究證明）（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問(wèn)題，請(qǐng)你給出證明：如圖①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，GH分別交AB、DC于點(diǎn)G、H，求證：；（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖②，將矩形ABCD沿EF折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的長(zhǎng)；（拓展運(yùn)用）（3）如圖③，將矩形ABCD沿EF折疊．使得點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，得到四邊形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，請(qǐng)求BP的長(zhǎng)．14．問(wèn)題提出（1）如圖（1），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ACN＝°．類比探究（2）如圖（2），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展延伸（3）如圖（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使AM＝MN，連接CN．添加一個(gè)條件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，寫出你所添加的條件，并說(shuō)明理由．15．折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)．近些年，經(jīng)過(guò)許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開(kāi)，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開(kāi)，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問(wèn)題解決）請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問(wèn)題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開(kāi)，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過(guò)點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開(kāi)，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．16．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF交線段AB于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H、連接EG．特例分析:(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，“智敏”小組提出如下問(wèn)題，請(qǐng)你解答：①求證：AF=CD；②用等式表示線段CG與EG之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；拓展探究:(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，且DE=AD時(shí)，“博?！毙〗M發(fā)現(xiàn)CF=2EG．請(qǐng)你證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，且AE=AB時(shí)，的值為_(kāi)______；推廣應(yīng)用:(4)當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_____用含m.n的式子表示)．17．（1）問(wèn)題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點(diǎn)，且，過(guò)作于，取中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______（請(qǐng)直接寫出答案）小明采用如下的做法：延長(zhǎng)到，使，連接，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線……請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成上面填空；（2）遷移應(yīng)用：將圖1中的繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)．18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AE，CD，點(diǎn)F，G，H分別是AE，CD，AC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：△FGH的形狀是（2）探究論證：把△BDE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖所示的位置，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展延伸：把△BDE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若BC=6，BE=2，請(qǐng)直接寫出△FGH周長(zhǎng)的取值范圍．19．石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，在相距150個(gè)單位長(zhǎng)度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．（觀察）①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．（發(fā)現(xiàn)）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象．（拓展）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，若這兩個(gè)機(jī)器人在第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過(guò)60個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫出結(jié)果）20．（問(wèn)題探究）課堂上老師提出了這樣的問(wèn)題：“如圖①，在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)”．某同學(xué)做了如下的思考：如圖②，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，進(jìn)而求解，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）___________度；（2）求的長(zhǎng)．（拓展應(yīng)用）如圖③，在四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)，且，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____________．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長(zhǎng)為（2+6）．【分析】（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過(guò)證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=解析：（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長(zhǎng)為（2+6）．【分析】（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過(guò)證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=∠BCE=45°，從而可得到結(jié)論；（2）通過(guò)證明△ABD∽△BCE，可得的值，∠BAD=∠ACB=60°，即可求∠EAD的度數(shù)；（3）由直角三角形的性質(zhì)可證AM=BM=DE，即可求DE=4，由勾股定理可求CE的長(zhǎng)，從而可求出AD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵∠ABC=∠DBE=90°,∠ACB=∠BED=45°，∴∠CBE=∠ABD,∠CAB=45°∴AB=BC，BE=DE，∴△BCE≌△BAD∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°∴=1，∠EAD=∠CAB+∠BAD=90°故答案為：1，（2），∠EAD=90°理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30°∴在Rt△ABC中，tan∠ACB==tan60°=在Rt△DBE中，tan∠BED==tan60°=∴=又∵∠ABD=∠EBC∴△ABD∽△BCE∴==，∠BAD=∠ACB=60°∵∠BAC=30°∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，（3）如圖，由（2）知：==，∠EAD=90°∴AD=CE，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，∴AC=8，AB=4，∵∠EAD=∠EBD=90°，且點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，∴AM=BM=DE，∵△ABM為直角三角形，∴AM2+BM2=AB2=（4）2=48，∴AM=BM=2，∴DE=4，設(shè)EC=x，則AD=x，AE=8-xRt△ADE中，AE2+AD2=DE2∴(8-x)2+(x)2=(4)2，解之得：x=2+2（負(fù)值舍去），∴EC=2+2，∴AD=CE=2+6，∴線段AD的長(zhǎng)為（2+6），【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).2．（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）解析：（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）先添加輔助線，在第二問(wèn)的思路下，先證明三個(gè)三角形相似，得出三個(gè)三角形的面積關(guān)系，再利用30°、45°的直角三角形計(jì)算出相應(yīng)的邊，計(jì)算出五邊形的面積即可．【詳解】解：（1）設(shè)AB=b,AC=a,BC=c.則有：所以在Rt△ABC中，有a2+b2=c2，且故答案為：S1+S2=S3（2）∵∴設(shè)AB、AC、BC邊上的高分別為h1，h2，h3∴，設(shè)AB=b,AC=a,BC=c則∴又在Rt△ABC中，有a2+b2=c2∴故依然成立（3）連接PD、BD，作AF⊥BP，EM⊥PD∵∠ABP=30°，∠BAP=105°∴∠APB=45°在Rt△ABF中，AF=AB=,BF=3,在Rt△AFP中,AF=PF=,則AP=，∵∠A=∠E,∴△ABP∽△EDP∴∠EPD=45°∠EDP=30°∴∠BPD=90°又PE=∴PM=EM=1,MD=則PD=1+∴=所以五邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、與勾股定理有關(guān)的圖形問(wèn)題、相似三角形．是中考的常考知識(shí)．3．（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見(jiàn)詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見(jiàn)詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，結(jié)合∠AGB＝∠FGC，即可得到結(jié)論；（2）先證明ABCADE，從而得，結(jié)合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，(3，3)，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∵∠BAD＝∠BAC?∠DAC，∠CAE＝∠DAE?∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴ABCADE，∴，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BADCAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB＝∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，∴AB=kAC，直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)為：180°-α-β；（3）由題意得：MN=MP，∠NMP=90°，把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），∴(3，3)∵OPM，∴，即線段OP長(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)度最小，∴當(dāng)⊥y軸時(shí)，的長(zhǎng)度最小，此時(shí)(0，3)，∴N(0，3)，OP的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，是解題的關(guān)鍵．4．【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見(jiàn)解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案解析：【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見(jiàn)解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案；【猜想與證明】：（1）當(dāng)x=1時(shí)，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；當(dāng)x=2時(shí)，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；（2）任意x（x＞0），求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；【探究與應(yīng)用】：①根據(jù)已知條件表示出△AOB與△COD面積即可得出答案；②設(shè)M（x，0）（x＞0），根據(jù)已知條件可得出，分兩種情況當(dāng)△AOB是直角三角形時(shí)解得，當(dāng)△COD是直角三角形時(shí)，解得，把代入即可；【聯(lián)想與拓展】：根據(jù)題意求出AEDF的坐標(biāo)然后表示出面積再利用△PAE與△PDF面積的比值1:3，即可得出關(guān)系式；【詳解】【概念與理解】∵y1=4x2∴由題意可得C1：∵y2=x2∴由題意可得C2：故答案為：C1：，C2：；【猜想與證明】（1）當(dāng)x=1時(shí)，∵點(diǎn)A、B在拋物線C1上∴令x=1，則∴A，B∴AB=1∵點(diǎn)C、D在拋物線C2上∴令x=1，則∴C，D∴CD=2∴=當(dāng)x=2時(shí)，∵點(diǎn)A、B在拋物線C1上∴令x=2，則∴A，B∴AB=∵點(diǎn)C、D在拋物線C2上∴令x=2，則∴C，D∴CD=∴=（2）對(duì)任意x（x＞0）上述結(jié)論仍然成立理由如下：對(duì)任意x（x＞0），∴A，B∴AB=對(duì)任意x（x＞0），∴C，D∴CD=∴=【探究與應(yīng)用】①連接OA，OB，OC，OD∴故答案為：②設(shè)M（x，0）（x＞0），∵M(jìn)（x，0）∴∴AB=∵M(jìn)（x，0），∴∴CD=∵∴當(dāng)△AOB是直角三角形時(shí)，由題意可知OA=OB∴△△AOB為等腰直角三角形∴OM=AM∴解得：∴當(dāng)△COD是直角三角形時(shí)，由題意可知OD=OC∴△△COD為等腰直角三角形∴OM=CM∴解得：∴綜上所述：△COD與△AOB面積之差為或【聯(lián)想與拓展】∵M(jìn)（k，0）且點(diǎn)A、B在拋物線C3上∴令x=k，則∴A∵AE∥x軸，且交C4于點(diǎn)E∴E∵M(jìn)（k，0）且點(diǎn)C、D在拋物線C4上∴令x=k，則∴D∵DF∥x軸，且交C3于點(diǎn)F∴F∵AE∥x軸，且交C4于點(diǎn)E∴△PEA的高=∵DF∥x軸，且交C3于點(diǎn)F∴△PDF的高=∴∵△PAE與△PDF面積的比值1:3∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考出了拋物線性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答本題時(shí)運(yùn)用兩個(gè)拋物線上的點(diǎn)的特征不變建立方程求解是關(guān)鍵．5．（1）1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變，理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分解析：（1）1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變，理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．證△PAM≌△PEN，可得∠AEP的大小不變；(2)類似（1），過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．證△PAM∽△PEN，可得∠AEP的大小不變；(3)利用（2）的結(jié)論，證BE=EC．再證△ABE∽△BCD，利用比例式求出k，再利用三角函數(shù)求出AP的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖，∵k=1，∴在矩形ABCD是正方形，∵點(diǎn)P移動(dòng)到對(duì)角線交點(diǎn)處，∴PA=PE，∠AEP=45°，故，如圖，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠MBN=90°，PN=PM，∴四邊形PMBN是正方形，∴∠MPN=90°，∵∠APE=90°，∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，∴∠APM=∠EPN．又∵∠PMA=∠PNB，∴△PAM≌△PEN，∴PA=PE，∴∠AEP=45°，故，∠AEP的大小不變；故答案為：1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變．理由如下：過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠MBN=∠BAD=∠BCD=90°，∴四邊形PMBN是矩形，∴∠MPN=90°，PN=BM，又∵∠APE=90°，∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，∴∠APM=∠EPN．又∵∠PMA=∠PNB，∴△PAM∽△PEN，∴=．在Rt△PBM和Rt△BAD中，tan∠ABD=．在Rt△APE中，tan∠AEP=．∵k為定值，∴∠AEP的大小不變．（3）∵PC⊥BD，∠BCD=90°，∴∠PBC＋∠PCB=∠PBC＋∠BDC=∠BPE＋∠EPC=90°．∵AE∥PC，∴∠AEB=∠PCB，∠AEP=∠EPC．∵tan∠AEP=k，tan∠ABD=k，∴∠AEP=∠ABD．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠AEB=∠PCB=∠BDC=∠AEP=∠EPC，∠PBC=∠BPE，∴BE=PE=EC．∵∠AEB=∠BDC，∠ABE=∠BCD，∴△ABE∽△BCD，∴，即，∴BC2=2AB2，∴，k=．在Rt△BPC中，tan∠PCB==tan∠AEP=k=，∴PB=PC=，由勾股定理得，∴PE=BC=，∴PA=PE=．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建全等三角形或相似三角形，利用解直角三角形的知識(shí)求解．6．（1）6；（2）；（3）四邊形不是平行四邊形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）先根據(jù)已知條件和矩形的性質(zhì)可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10，最后運(yùn)用勾股定理解解析：（1）6；（2）；（3）四邊形不是平行四邊形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）先根據(jù)已知條件和矩形的性質(zhì)可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10，最后運(yùn)用勾股定理解答即可；（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理可求得，進(jìn)而求得BE、EC，然后連接，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，進(jìn)而說(shuō)明，最后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）先由折疊可得，再根據(jù)平移的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，則且，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得；設(shè)，則，在中，運(yùn)用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以發(fā)現(xiàn)即，即可發(fā)現(xiàn)四邊形不可能是平行四邊形．【詳解】解：（1）如圖：∵矩形中，∴CD=AB=10，AD=BC=8根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10在直角三角形ADC＇中，AC＇=．（2）由折疊可知：．在中，根據(jù)勾股定理可求得，∴．在中，設(shè)，根據(jù)勾股定理，得，解得，即．如圖：連接，則由平移可知，，且．于是可得，∴，又∵，∴．（3）四邊形不是平行四邊形，理由如下：由折疊可知；又∵平移可知，且，∴，∴，即是等腰三角形，∴．如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，則且，∴．設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，∴，∴．而在中，，根據(jù)勾股定理可求得，∴，即，故四邊形不可能是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．7．（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可得AG=CG，∠GCH=∠GAH，可求∠ACB=30°，利用三角函數(shù)可求BC=，AG=4，BF=FC=，可求，與△ABG相似的三角形由7個(gè)；（2）由EF為折痕，可證△AEH∽△AHG，可得即可；（3）由四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC中點(diǎn)，可證△ABH為等邊三角形，再證△ABM∽△MHN，可得即可；（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時(shí)，Q′D最小，先求BC=，AQ′=，可求Q′D最小=，當(dāng)BQ′⊥BD時(shí)，△BDQ′面積最大∠CBQ′=60°，S△BDQ′最大=．【詳解】解（1）∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，∴AC=2AH，∵折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，∴AB=AH=2，BG=HG，∠BAG=∠HAG=，∠B=∠AHG，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，∴∠AHG=∠B=90°，∴GH為AC的垂直平分線，∴AG=CG，∠GCH=∠GAH，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH，∵∠BAH+∠BCH=180°-∠B=90°，∴3∠ACB=90°∴∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH=30°，∴tan30°=，AB=2，∴BC=，∵tan∠BAG=tan30°=，∴BG=，∴AG=2BG=4，BF=FC=，∴GF=BF-BG=3-2=1，∴，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GHF=∠HCF=∠GCH=∠EAH=∠DAC=∠BCA=30°，∵∠B=∠AHG=∠HFG=∠HFC=∠AEH=∠D=∠GHC=∠CBA=90°，∴△ABG∽△AHG∽△HFG∽△CFH∽△CHG∽△AEH∽△ADC∽△CBA，∴與△ABG相似的三角形由7個(gè)，故答案為：30°；6；4；7；（2）∵EF為折痕，∴EH⊥AD，∵∠EAH=∠HAG=30°∠AHG=∠AEH=90°∴△AEH∽△AHG，∴，∴故答案為AG；（3）∵四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC中點(diǎn)，∴AH=CH=BH，由圖2知AB=AH，∴AH=BH=AB，∴△ABH為等邊三角形，∴∠ABH=∠AHB=60°，∵∠AMN＝∠ABH；∴∠AMN＝∠ABH=∠AHB=60°，∴∠BAM+∠AMB=180°-∠ABH=120°，∠AMB+∠NMH=180°-∠AMN=120°，即∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠NMH，∴∠BAM=∠NMH，∴△ABM∽△MHN，∴，∵AB=，MH=，∴，∴，故答案為：等邊；，（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時(shí)，Q′D最小∵AB=2，AD=BC=6，∴BC=∵AQ′=Q′H=∴Q′D最小=當(dāng)BQ′⊥BD時(shí)，△BDQ′面積最大∵tan∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC=90°-30°=60°∴tan∠CBQ'=S△BDQ′最大=；故答案為；；6．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積，掌握查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積求法是解題關(guān)鍵．8．（1）BM＝PD；（2）見(jiàn)解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（解析：（1）BM＝PD；（2）見(jiàn)解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（2）連接AC，證明,即可求解；（3）分兩種情況考慮：通過(guò)證得出對(duì)應(yīng)邊數(shù)量關(guān)系，設(shè)，則解直角三角形AQM，從而計(jì)算出QM的長(zhǎng)度，從而求算CN．【詳解】（1）解：∵當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形∴AM=AP,AB=AD∴BM＝PD又∵∴∴（2）CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，.理由：連接AC，如圖：在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵.AD=2AB，AP=2AM，∴，∴.易得∴△ANC∽△APD∴∴（3）分兩種情況考慮：①如圖：∵已知AD＝4，AP＝2,∴AB=2,AM=PN=1由圖知：∴設(shè)，則，在直角三角形AQM中：解得：（舍）∴，∴∴②如圖：由①可得：，，MN=2∴【點(diǎn)睛】本題考查矩形與旋轉(zhuǎn)、相似等綜合，有一定的難度，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度是解題關(guān)鍵．9．（1）；（2）①，證明見(jiàn)解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等解析：（1）；（2）①，證明見(jiàn)解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等量代換即可求解；（3）首先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，和，即可求解．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE∴AD=BE；（2）①AD=BE證明：∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE，∴∴∴AD=BE②∵∴設(shè)BC和AF交于點(diǎn)O，如圖2∵∴，即∴；（3）結(jié)論，證明：∵，AB=BC，DE=EC∴，∴∴，∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵證明全等和相似，并且分類討論．10．（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過(guò)點(diǎn)A解析：（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，根據(jù)∠BAC=120°，AB=AC可得∠ABC=30°，，則，由（1）可知BD+BE=BC，由此即可得；（3）過(guò)Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證∠BQF=120°，BQ=QF，進(jìn)而可由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，，進(jìn)而可證得，再根據(jù)cos∠EBD==cos60°=可求得，進(jìn)而求得，最后根據(jù)AQ=BQ－AB即可得到答案．【詳解】解：（1）理由如下：∵∠EAD=∠BAC=90°∴∠EAB=∠DAC在△ABE與△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD，∵BD+CD=BC∴BD+BE=BC∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=∴BD+BE=；（2）結(jié)論：，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠ABC=30°，在Rt△ABH中，cos∠ABH==cos30°=∴BH=AB，∴由（1）同理可知BD+BE=BC，∴；（3）過(guò)Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∴∠QFC=∠QBF=30°，∠BQF=120°∴BQ=QF由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，∴cos∠EBD==cos60°=∵，∴AQ=BQ－AB=．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)圖形的判定及性質(zhì)以及能夠作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．11．BN=或；（1）見(jiàn)解析；（2）∠B＝15°；（3）見(jiàn)解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長(zhǎng)；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝B解析：BN=或；（1）見(jiàn)解析；（2）∠B＝15°；（3）見(jiàn)解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長(zhǎng)；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，根據(jù)條件求出（BN）2＝（MN）2+（AM）2，即可得到結(jié)果；（2）連接PD，根據(jù)已知條件可得PC2+BD2＝CD2，進(jìn)而求出∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，得到2∠A+∠A＝90°，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，），即可求得BF、EF，根據(jù)已知條件可得BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，即可求得結(jié)果；【詳解】定義：∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，∴或，∴BN=．（1）如圖，∵CD＝DA，CE＝EB，∴DE∥AB，∴CG＝GM，CH＝HN，∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，∵BN2＝MN2+AM2，∴BN2＝MN2+AM2，∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，∴EH2＝GH2+DG2，∴G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．(2)如圖所示，連接PD，∵AC＝PC，∴∠A＝∠APC，∴∠PCD＝2∠A，∵C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，∴AC2+BD2＝CD2，∴PC2+BD2＝CD2，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CPD＝90°，∴PC2+PD2＝CD2，∴PD＝BD，∴∠PDC＝2∠B，∵∠A＝2∠B，∴∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，∴2∠A+∠A＝90°，解得∠A＝30°，則∠B＝∠A＝15°．（3）∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，∴b＝．∵直線y＝﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)x＝a時(shí)，y＝﹣x+2＝2﹣a，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2﹣a）；當(dāng)y＝時(shí)，有﹣x+2＝，解得：x＝2﹣，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，）．∴BF＝＝（2﹣），EF＝,＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，∴E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的擴(kuò)展應(yīng)用，結(jié)合中位線定理、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)解題是關(guān)鍵．12．（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)椋^而推出；（2）利用已知解析：（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)?，繼而推出；（2）利用已知條件證明△ACD∽△BCE，即可推出,；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時(shí)，如圖2所示，由已知條件可得出，在中運(yùn)用勾股定理可求出AD的值，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時(shí)，如圖3所示，可證明，，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值．【詳解】解：（1）①∵，，∴為等邊三角形∴∴∴∴的值為1；故答案為：1；②∵∴∵∴∴∵∴故答案為：90°．（2）,.理由如下：在Rt△ABC中，，.∴.同理：.∴.又.∴.∴△ACD∽△BCE.∴,.∴.（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時(shí)，如圖2所示：∵，，，∴，∴∵∴；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時(shí)，如圖3所示同理，可得，∵∴∴∴∵∵∴綜上所述，BE的值為或.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于三角形相似的綜合題目，涉及的知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定、解直角三角形、勾股定理的應(yīng)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想和整體轉(zhuǎn)化思想．13．（1）見(jiàn)解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運(yùn)用相似三角形解析：（1）見(jiàn)解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題；(2)連接BD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)結(jié)論（1）得出，進(jìn)而可求出EF的長(zhǎng).（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EG于H，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BF于J．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD、CD的長(zhǎng)，由結(jié)論（1）可得出DG的長(zhǎng)，再由勾股定理得出AG的長(zhǎng)，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出四邊形HGPF是矩形，進(jìn)而得出FH的長(zhǎng)度，最后根據(jù)相似三角形得出BJ、PJ的長(zhǎng)度就可以得出BP的長(zhǎng)度.【詳解】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形AEFP、四邊形BGHQ都是平行四邊形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT+∠ABT＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，∴∠ABT+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，∴,∴.（2）如圖②中，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，∴BD＝,∵D，B關(guān)于EF對(duì)稱，∴BD⊥EF，∴,∴,∴EF＝.（3）如圖③中，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EG于H，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BF于J．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴=,∴DG＝，∴AG＝＝1，由翻折可知：ED＝EG，設(shè)ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，∴x2＝AG2+AE2，∴x2＝（3﹣x）2+1，∴x＝，∴DE＝EG＝，∵FH⊥EG，∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，∴四邊形HGPF是矩形，∴FH＝PG＝CD＝2，∴EH＝，∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，∵PF∥EG，EA∥FB，∴∠AEG＝∠JPF，∵∠A＝∠FJP＝90°，∴△AEG∽△JFP，∴，∴，∴FJ＝，PJ＝，∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，在Rt△BJP中，BP＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．14．（1）60；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；解析：（1）60；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過(guò)證明≌，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣；（3）當(dāng)∠ABC＝∠AMN時(shí)，∽，利用相似的性質(zhì)得到，又根據(jù)∠BAM＝∠CAN，證得∽，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵、是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在和中，，∴≌（SAS），∴∠ABC=∠ACN；∵是等邊三角形∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°．（2）結(jié)論∠ACN＝60°仍成立．理由如下：∵、都是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴≌，∴∠ACN＝∠ABM＝60°．（3）添加條件：∠ABC＝∠AMN．理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴∽，∴．又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴∽，∴∠ABC＝∠ACN．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等的條件，利用全等的性質(zhì)證明結(jié)論．15．（1）見(jiàn)解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見(jiàn)解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．16．(1)①見(jiàn)解析；②CG=2EG；(2)見(jiàn)解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，解析：(1)①見(jiàn)解析；②CG=2EG；(2)見(jiàn)解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，再證明△AFG△BCG，即可得到CG=2EG；(2)先證得四邊形ABEC為正方形，同理得△AFG△AEG和△AFG△BCG，即可得證；(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，證得△AFG△BCG，即可求解；(4)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2AD，繼而得到，由△AFG△BCG，即可求解．【詳解】(1)①△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD=BD=CD=BC，∠BAD=∠CAD=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AD，∠DAF=90°，∴∠GAF=∠GAD=45°，在△AFG和△ADG中，，∴△AFG△ADG，∴AF=AD，∴AF=CD；②CG=2EG，理由如下：由①得：∠GAF=∠B=45°，AF=BC，∴AF∥BC，2AF=BC，∴△AFG△BCG，∴，∴CG=2FG，∵△AFG△ADG，∴FG=DG，即FG=EG，∴CG=2EG；(2)連接EB、EC，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE=AD，∴DE=AD＝BD=CD，且AE⊥BC，∠BAC=90°，∴四邊形ABEC為正方形，∴BC=AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AE，∠EAF=90°，∴∠GAF=∠GAE=45°，在△AFG和△AEG中，，∴△AFG△AEG，∴AF=AE=BC，F(xiàn)G=EG，在△AFG和△BCG中，，∴△AFG△BCG，∴FG=CG，∴FG=CG=EG，∴CF=2EG；(3)同理得：FG=EG，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴，即，同理得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；(4)同理可得：FG=EG，BC=2AD，AF=AE，∵，∴，同理可得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用解析：（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理即可求解；（3）分點(diǎn)D在線段AC上和在AC延長(zhǎng)線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，過(guò)作于，∵，，∴四邊形BDEG是矩形，∵等腰直角三角形，，∴∠C=∠A=45，∵，∴等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵在中，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，分成兩種情況：如圖在上方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，∵∠BAC=45，∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；如圖，在下方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，同理是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過(guò)作于，∠ACB+∠DCE=90，∠ABC=90，∴四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=2+6=8，∴EH=，∴；當(dāng)點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過(guò)作于，同理四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=6-2=4，∴EH=，∴；【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．18．（1）等腰直角三角形；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）大于等于，小于等于．【分析】（1）先作出輔助線構(gòu)造全等，進(jìn)而證明FG與DE、AC均平行，再利用平行線間存在的角度關(guān)系推導(dǎo)出∠GFH為90°、∠FH解析：（1）等腰直角三角形；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）大于等于，小于等于．【分析】（1）先作出輔助線構(gòu)造全等，進(jìn)而證明FG與DE、AC均平行，再利用平行線間存在的角度關(guān)系推導(dǎo)出∠GFH為90°、∠FHG為45°，從而證明△GFH為等腰直角三角形；（2）先作出輔助線構(gòu)造相似，從而證明FH與GH之間的比例關(guān)系，再利用角度之間的關(guān)系即可證明；（3）通過(guò)前兩問(wèn)證明得到△GFH的周長(zhǎng)與CE長(zhǎng)之間的關(guān)系，再通過(guò)觀察E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，分別找到CE取得最大值和最小值的位置，解出CE長(zhǎng)，進(jìn)而即可求得△GFH周長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】解：（1）等腰直角三角形．連接EG并延長(zhǎng)交AC于K．∵DE⊥BC，∠ACB=90°∴DEAC∴∠EDG=∠KCG又∵G為CD中點(diǎn)∴DG=CG∴△DGE≌△CGK（ASA）∴EG=GK又∵F為AE中點(diǎn)，EF=AF∴FGACDE∴∠EFG=∠DEF又∵F、H分別為AE、AC中點(diǎn)∴FHEC∴∠AFH=∠AEC，∠AHF=∠ACE=90°而∠GFH=180°-（∠EFG+∠AFH）∠EFG+∠AFH=∠DEF+∠AEC=90°∴∠GFH=180°-90°=90°又∵G、H分別為CD、AC中點(diǎn)∴GHAD∴∠GHC=∠DAC=45°而∠FHG=180°-∠GHC-∠AHF=180°-45°-90°=45°∴△FGH為等腰直角三角形．（2）仍然成立，理由如下．連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O．由圖①可知，∴∴∵，∴∴∴，∵∴∵點(diǎn)F，G，H分別為AE，CD，AC的中點(diǎn)∴，；，∴，，∴為等腰直角三角形．（3）當(dāng)△BDE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)時(shí)，作出E點(diǎn)軌跡如圖所示，為一個(gè)以B為圓心，BE長(zhǎng)為半徑的圓．∵△GFH的周長(zhǎng)為GF、FH和GH的和且由（2）知△GFH恒為等腰直角三角形∴又∵F、H分別為AE、AC中點(diǎn)∴FH=CE當(dāng)E在圓B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，而CB=6，CE=2