矩陣運(yùn)算輔導(dǎo)與習(xí)題解析矩陣運(yùn)算作為線性代數(shù)的核心內(nèi)容，廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域。掌握矩陣的基本運(yùn)算規(guī)則與解題技巧，是理解線性變換、求解線性方程組的關(guān)鍵。本文將從基礎(chǔ)概念出發(fā)，系統(tǒng)梳理矩陣運(yùn)算的核心方法，并結(jié)合典型習(xí)題解析，幫助讀者突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。一、基礎(chǔ)概念回顧矩陣是由數(shù)排成的矩形陣列，記作$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\timesn}$，其中$m$為行數(shù)，$n$為列數(shù)，$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列的元素。1.特殊矩陣類型零矩陣：所有元素為0，記作$\boldsymbol{O}$；單位矩陣：主對(duì)角線元素為1，其余為0的方陣，記作$\boldsymbol{E}$（或$\boldsymbol{I}$），滿足$\boldsymbol{A}\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{E}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}$；對(duì)角矩陣：僅主對(duì)角線元素非零，記作$\boldsymbol{\Lambda}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$；對(duì)稱矩陣：滿足$\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}$（即$a_{ij}=a_{ji}$）的方陣。二、核心運(yùn)算方法與規(guī)則1.矩陣加減法規(guī)則：僅當(dāng)矩陣同型（行數(shù)、列數(shù)均相同）時(shí)可加減，對(duì)應(yīng)元素相加減，即$\boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{B}=(a_{ij}\pmb_{ij})_{m\timesn}$。例題1：已知$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。解析：對(duì)應(yīng)元素相加，得$$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$$2.矩陣數(shù)乘規(guī)則：數(shù)$k$與矩陣相乘，所有元素乘以$k$，即$k\boldsymbol{A}=(ka_{ij})_{m\timesn}$。例題2：對(duì)例題1中的$\boldsymbol{A}$，求$3\boldsymbol{A}$。解析：每個(gè)元素乘以3，得$$3\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3\times1&3\times2\\3\times3&3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}$$3.矩陣乘法規(guī)則：設(shè)$\boldsymbol{A}$為$m\timess$矩陣，$\boldsymbol{B}$為$s\timesn$矩陣，則乘積$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$為$m\timesn$矩陣，其中$$c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}$$注意：矩陣乘法不滿足交換律（即$\boldsymbol{AB}\neq\boldsymbol{BA}$一般成立），但滿足結(jié)合律$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{BC})$和分配律$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{AC}$。例題3：已知$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$（$2\times2$），$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$（$2\times2$），求$\boldsymbol{AB}$和$\boldsymbol{BA}$。解析：計(jì)算$\boldsymbol{AB}$：$$\boldsymbol{AB}=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$$計(jì)算$\boldsymbol{BA}$：$$\boldsymbol{BA}=\begin{pmatrix}5\times1+6\times3&5\times2+6\times4\\7\times1+8\times3&7\times2+8\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}23&34\\31&46\end{pmatrix}$$可見$\boldsymbol{AB}\neq\boldsymbol{BA}$。4.矩陣的轉(zhuǎn)置規(guī)則：將矩陣的行與列互換，記作$\boldsymbol{A}^T$（或$\boldsymbol{A}^\top$），即若$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\timesn}$，則$\boldsymbol{A}^T=(a_{ji})_{n\timesm}$。性質(zhì)：$(\boldsymbol{A}^T)^T=\boldsymbol{A}$；$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{A}^T+\boldsymbol{B}^T$；$(k\boldsymbol{A})^T=k\boldsymbol{A}^T$；$(\boldsymbol{AB})^T=\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T$（注意順序反轉(zhuǎn)）。例題4：已知$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，驗(yàn)證$(\boldsymbol{AB})^T=\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T$。解析：先求$\boldsymbol{AB}$（見例題3）：$\boldsymbol{AB}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$，故$(\boldsymbol{AB})^T=\begin{pmatrix}19&43\\22&50\end{pmatrix}$；再求$\boldsymbol{B}^T=\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{A}^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T=\begin{pmatrix}5\times1+7\times2&5\times3+7\times4\\6\times1+8\times2&6\times3+8\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&43\\22&50\end{pmatrix}$，與$(\boldsymbol{AB})^T$相等，驗(yàn)證成立。5.逆矩陣（方陣的逆）定義：對(duì)$n$階方陣$\boldsymbol{A}$，若存在$n$階方陣$\boldsymbol{B}$使得$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}=\boldsymbol{E}$，則$\boldsymbol{B}$是$\boldsymbol{A}$的逆矩陣，記作$\boldsymbol{A}^{-1}$。存在條件：$\boldsymbol{A}$的行列式$|\boldsymbol{A}|\neq0$（即$\boldsymbol{A}$非奇異、滿秩）。求逆方法：伴隨矩陣法：$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*$，其中$\boldsymbol{A}^*$是$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣（代數(shù)余子式構(gòu)成的轉(zhuǎn)置矩陣）；初等行變換法：將$(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E})$做行變換，化為$(\boldsymbol{E}|\boldsymbol{A}^{-1})$。例題5：用伴隨矩陣法求$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣。解析：計(jì)算行列式：$|\boldsymbol{A}|=1\times4-2\times3=-2\neq0$，故逆存在；求代數(shù)余子式：$A_{11}=4$，$A_{12}=-3$（注意符號(hào)$(-1)^{1+2}$），$A_{21}=-2$（符號(hào)$(-1)^{2+1}$），$A_{22}=1$；伴隨矩陣$\boldsymbol{A}^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$（注意轉(zhuǎn)置）；逆矩陣：$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。三、典型習(xí)題解析1.矩陣方程求解習(xí)題：已知$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，求解矩陣方程$\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{B}$。解析：由$\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{B}$，兩邊左乘$\boldsymbol{A}^{-1}$得$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$。先求$\boldsymbol{A}^{-1}$（見例題5）：$\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$；計(jì)算$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$：$$\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\times5+1\times7&-2\times6+1\times8\\\frac{3}{2}\times5-\frac{1}{2}\times7&\frac{3}{2}\times6-\frac{1}{2}\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-4\\4&5\end{pmatrix}$$2.證明題：對(duì)稱矩陣的和仍為對(duì)稱矩陣習(xí)題：設(shè)$\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$為$n$階對(duì)稱矩陣（即$\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}^T=\boldsymbol{B}$），證明$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$也是對(duì)稱矩陣。解析：需證$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。由轉(zhuǎn)置的分配律：$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{A}^T+\boldsymbol{B}^T$；因$\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}^T=\boldsymbol{B}$，故$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$，得證。四、常見誤區(qū)與解題技巧1.誤區(qū)警示矩陣乘法順序錯(cuò)誤：$\boldsymbol{AB}$與$\boldsymbol{BA}$一般不相等，且僅當(dāng)$\boldsymbol{A}$為$m\timess$、$\boldsymbol{B}$為$s\timesn$時(shí)$\boldsymbol{AB}$有意義，