高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，又，得到，所以，，所以，或，，得到，所以，故選：B．2.已知平面上的兩個非零向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故，則，又，故.故選：B.3.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時，的對稱軸為直線，由在上單調(diào)遞減，知，解得．綜上，a的取值范圍為．故選：D4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選:D.5.已知四棱錐的底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，高為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，且該圓柱的體積為，則四棱錐的底面的邊長為（）A. B.6 C. D.9【答案】A【解析】如圖四棱錐的底面四邊形為正方形，高，作截面（如下圖）點(diǎn)，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為是正方形的中心也是圓柱底面圓的圓心.依題意可知，所以，所以，所以，所以.故選：A.6.已知向量，，且，則（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】，，，∵，∴，，所以，故選：A．7.已知，且，則的最大值為（）A.9 B.12 C.36 D.48【答案】C【解析】設(shè)Ax1,y1則，得，，即為等腰直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，則，得，即點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，故，因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)D1,0的距離的最大值為，因此的最大值為36.故選：C.8.已知圓D：與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且圓C：，點(diǎn)．若圓C與圓D相外切，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓D：的圓心，半徑為，圓C：的圓心，半徑為，因?yàn)閳A與圓相外切，所以，所以，且圓與軸交于，不妨記，因?yàn)閳A關(guān)于軸對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)在軸上，由對稱性不妨令，當(dāng)時，則，解得，故，當(dāng)時，則，解得，此時，故，當(dāng)時，則，解得，故，綜上所述，的最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在正方體中，為的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部及邊界上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度為C.平面內(nèi)存在一條直線與直線成角D.將以邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，到平面的距離的取值范圍是【答案】ABD【解析】對于A，連接，則,又平面平面，故,平面，故平面，平面，故，同理，平面，故平面，平面，故平面平面，A正確；對于B，取的中點(diǎn)為H，連接，則平面，平面，故，由于，故，即點(diǎn)F在以H為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動，結(jié)合題意知F軌跡為該圓在平面內(nèi)的圓弧，如圖圓弧，則，則，故F軌跡長度為，B正確；對于C，從正方體中分離出四棱錐，的中點(diǎn)為H，平面，則，，則EF與平面所成角的最小值為，,即，故平面內(nèi)不存在一條直線與直線成角，C錯誤；對于D，連接交于N，取的中點(diǎn)為M，連接，則點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)以N為圓心，為半徑的圓，又正方體性質(zhì)知，由知，而平面，故平面，平面，故平面平面;又平面平面，故，結(jié)合，平面，故平面，平面，故，則，設(shè)與圓的交點(diǎn)分別為，當(dāng)點(diǎn)位于處時，到平面的距離分別取到最大值和最小值，最大值為，最大值為，故到平面的距離的取值范圍是，D正確故選：ABD.10.如圖，四邊形為正方形，平面平面，且為正三角形，為的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（）A.平面B.C.直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BD【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危渣c(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，對于A，，由圖易知平面的一個法向量為，因?yàn)?，故與平面不平行，故A錯誤；對于B，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；對于C，，，，所以直線與所成角的余弦值為，故C錯誤；對于D，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，點(diǎn)到平面的距離，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.11.點(diǎn)A，B為圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)，且AB為圓的直徑時，面積的最大值為3B.從點(diǎn)P向圓M引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，的最小值為C.A，B為圓M上的任意兩點(diǎn)，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時，的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)，且AB為圓的直徑時，此時，當(dāng)AB垂直于x軸時，面積最大，不妨取，則，A正確；對于B，設(shè)，設(shè)交于N，由圓的切線性質(zhì)知∽，則，故，當(dāng)最大時，最小，當(dāng)位于時，最大，此時，則，即的最小值為，B正確；對于C，由B的分析可知當(dāng)位于時，最大，此時，即，則，故在直線l上不存在一點(diǎn)P，使得，C錯誤；對于D，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則，連接MD，則，則，故點(diǎn)D在以M為圓心，為半徑的圓上，結(jié)合，可得的最大值為,故的最大值為，D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足則角_____.【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，因?yàn)?，所?13.已知正四面體的邊長為2，點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AM，CN上的動點(diǎn)，且滿足，則線段EF長度的最小值為__________.【答案】【解析】在棱長為2的正四面體中，由點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AM，CN上，，令，則，所以，又，，，故，當(dāng)時，，所以線段EF長度的最小值為.14.已知曲線與直線有且僅有一個公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】直線恒過點(diǎn).由得，表示以為圓心，為半徑的半圓，該半圓在直線的上方.當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)時，直線方程可化為：，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得：，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，此時直線與曲線有兩個公共點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線斜率不存在，此時直線與曲線有一個公共點(diǎn)，綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的面積為，求．解：（1）由題意知，即，由于，故，即，結(jié)合，則；（2），，面積為，則，則，故，故.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.（1）證明：連接，交于點(diǎn)，由底面是正方形，可知為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，是的中位線，，又平面，平面，平面.（2）解：設(shè)，，底面，底面，，即是直角三角形，，又E是的中點(diǎn)，，同理可得，且，，平面，平面，，在直角中，，，，又，二面角的平面角為，.二面角的平面角的余弦值為.17.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；解：（1）由頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1，得，所以.（2）成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，則樣本成績的第75百分位數(shù)為，由，得，所以樣本成績的第75百分位數(shù)為84.18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長為的正三角形，，平面平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：由（1）得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因，則.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則有，令，則，所以，因?yàn)?，記直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知直線的方程為：.（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；（2）過（1）中的點(diǎn)引直線交坐標(biāo)軸正半軸于，兩點(diǎn)，求面積的最小值.（1）證明：由，可得，令，所以直線過定點(diǎn).（2）解：由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)直線與軸，軸正半軸交點(diǎn)為，，令，得；令，得，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，面積最小值為4.廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，又，得到，所以，，所以，或，，得到，所以，故選：B．2.已知平面上的兩個非零向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故，則，又，故.故選：B.3.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時，的對稱軸為直線，由在上單調(diào)遞減，知，解得．綜上，a的取值范圍為．故選：D4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選:D.5.已知四棱錐的底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，高為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，且該圓柱的體積為，則四棱錐的底面的邊長為（）A. B.6 C. D.9【答案】A【解析】如圖四棱錐的底面四邊形為正方形，高，作截面（如下圖）點(diǎn)，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為是正方形的中心也是圓柱底面圓的圓心.依題意可知，所以，所以，所以，所以.故選：A.6.已知向量，，且，則（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】，，，∵，∴，，所以，故選：A．7.已知，且，則的最大值為（）A.9 B.12 C.36 D.48【答案】C【解析】設(shè)Ax1,y1則，得，，即為等腰直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，則，得，即點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，故，因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)D1,0的距離的最大值為，因此的最大值為36.故選：C.8.已知圓D：與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且圓C：，點(diǎn)．若圓C與圓D相外切，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓D：的圓心，半徑為，圓C：的圓心，半徑為，因?yàn)閳A與圓相外切，所以，所以，且圓與軸交于，不妨記，因?yàn)閳A關(guān)于軸對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)在軸上，由對稱性不妨令，當(dāng)時，則，解得，故，當(dāng)時，則，解得，此時，故，當(dāng)時，則，解得，故，綜上所述，的最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在正方體中，為的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部及邊界上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度為C.平面內(nèi)存在一條直線與直線成角D.將以邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，到平面的距離的取值范圍是【答案】ABD【解析】對于A，連接，則,又平面平面，故,平面，故平面，平面，故，同理，平面，故平面，平面，故平面平面，A正確；對于B，取的中點(diǎn)為H，連接，則平面，平面，故，由于，故，即點(diǎn)F在以H為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動，結(jié)合題意知F軌跡為該圓在平面內(nèi)的圓弧，如圖圓弧，則，則，故F軌跡長度為，B正確；對于C，從正方體中分離出四棱錐，的中點(diǎn)為H，平面，則，，則EF與平面所成角的最小值為，,即，故平面內(nèi)不存在一條直線與直線成角，C錯誤；對于D，連接交于N，取的中點(diǎn)為M，連接，則點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)以N為圓心，為半徑的圓，又正方體性質(zhì)知，由知，而平面，故平面，平面，故平面平面;又平面平面，故，結(jié)合，平面，故平面，平面，故，則，設(shè)與圓的交點(diǎn)分別為，當(dāng)點(diǎn)位于處時，到平面的距離分別取到最大值和最小值，最大值為，最大值為，故到平面的距離的取值范圍是，D正確故選：ABD.10.如圖，四邊形為正方形，平面平面，且為正三角形，為的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（）A.平面B.C.直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BD【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，對于A，，由圖易知平面的一個法向量為，因?yàn)?，故與平面不平行，故A錯誤；對于B，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；對于C，，，，所以直線與所成角的余弦值為，故C錯誤；對于D，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，點(diǎn)到平面的距離，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.11.點(diǎn)A，B為圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)，且AB為圓的直徑時，面積的最大值為3B.從點(diǎn)P向圓M引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，的最小值為C.A，B為圓M上的任意兩點(diǎn)，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時，的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)，且AB為圓的直徑時，此時，當(dāng)AB垂直于x軸時，面積最大，不妨取，則，A正確；對于B，設(shè)，設(shè)交于N，由圓的切線性質(zhì)知∽，則，故，當(dāng)最大時，最小，當(dāng)位于時，最大，此時，則，即的最小值為，B正確；對于C，由B的分析可知當(dāng)位于時，最大，此時，即，則，故在直線l上不存在一點(diǎn)P，使得，C錯誤；對于D，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則，連接MD，則，則，故點(diǎn)D在以M為圓心，為半徑的圓上，結(jié)合，可得的最大值為,故的最大值為，D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足則角_____.【答案】【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，整理得，由余弦定理可得，因?yàn)?，所?13.已知正四面體的邊長為2，點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AM，CN上的動點(diǎn)，且滿足，則線段EF長度的最小值為__________.【答案】【解析】在棱長為2的正四面體中，由點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AM，CN上，，令，則，所以，又，，，故，當(dāng)時，，所以線段EF長度的最小值為.14.已知曲線與直線有且僅有一個公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】直線恒過點(diǎn).由得，表示以為圓心，為半徑的半圓，該半圓在直線的上方.當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)時，直線方程可化為：，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得：，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，此時直線與曲線有兩個公共點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線斜率不存在，此時直線與曲線有一個公共點(diǎn)，綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的面積為，求．解：（1）由題意知，即，由于，故，即，結(jié)合，則；（2），，面積為，則，則，故，故.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.（1）證明：連接，交于點(diǎn)，由底面是正方形，可知為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，是的中位線，，又平面，平面，平面.（2）解：設(shè)，，底面，底面，，即是直角三角形，，又E是的中點(diǎn)，，同理可得，