高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省黔東南苗族侗族自治州2024-2025學年高二上學期11月聯考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在正方體中，下列向量與平行的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，在正方體中，.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以直線的斜率，即，又，所以傾斜角.故選：C.3.已知點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得所以cos<故選：A.4.下列命題正確的是（）A.一條直線的方向向量是唯一的B.若直線的方向向量與平面的法向量平行，則C.若平面的法向量與平面的法向量平行，則D.若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則【答案】B【解析】對于A:一條直線的方向向量不唯一，A錯誤；對于B:若直線的方向向量與平面的法向量平行，則，B正確.對于C:若平面的法向量與平面的法向量平行，則，C錯誤.對于D:若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或，D錯誤.故選：B.5.直線在軸?軸上的截距之和的最小值為（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】可化為，則直線在軸?軸上的截距之和為，當且僅當時，等號成立，所以截距之和的最小值為.故選：A.6.在正四面體中，為棱的中點，，則（）A. B.3 C. D.6【答案】B【解析】因為為棱的中點，所以，所以.故選：B.7.已知為坐標原點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設，，則，，即，①.因為點A在圓上運動，所以滿足②.把①代入②，得，即.故線段OA的中點P的軌跡方程為.故選：D.8.已知點在直線上，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】如圖，設關于直線對稱的點為，則解得，則，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則（）A.當時，B.當時，C.不存在實數，使得D.與直線之間的距離為【答案】BCD【解析】對于選項AB：若，則，即，故A錯誤，B正確；對于選項C：若，則，即，此時，即與重合，故C正確；對于選項D：與直線之間的距離為，故D正確.故選：BCD.10.已知幾何體為長方體，則（）A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上的投影向量為【答案】AC【解析】如圖：在長方體中，因為平面，所以，所以在方向上的投影向量為，即A正確；因為在中，，所以與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B錯誤；因為，，所以在方向上的投影向量為，即C正確；雖然，但與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D錯誤.故選：AC.11.已知圓：與圓：，則下列結論正確的是（）A.若圓與圓外切，則或B.當時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為C.若圓與圓關于點對稱，則D.當時，對任意的，曲線W：恒過圓與圓的交點【答案】ABD【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．若圓與圓外切，則，解得或，A正確．當時，圓：，圓：，將兩圓的方程作差可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，B正確．若圓與圓關于點對稱，則解得，C錯誤．當時，圓：，圓：，則，所以對任意的，曲線W恒過圓與圓的交點，D正確．故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知直線經過定點，則點的坐標為__________.【答案】【解析】由，得，令,得到,x=0,則點的坐標為.13.曲線的長度為__________，若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由，得，則曲線表示圓的上半部分，半徑為，故曲線的長度為；根據題意，作圖如下：因為圓圓心到直線的距離，所以，數形結合可知，當直線經過點時，，故當時，直線與曲線有公共點.14.如圖，在四棱臺體中，平面，底面為正方形，，則該四棱臺的體積__________，直線與平面所成角的正弦值為__________.【答案】【解析】①運用臺體體積公式計算，.②建立如圖空間直角坐標系，則，，所以.設平面的法向量為n=x,y,z，則取，則，故直線與平面所成角的正弦值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點的坐標分別為，，.（1）求過點且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）由，可知，故所求直線的方程為，即.（2）易知，則所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為，即.16.已知直線，圓.（1）若，判斷直線與圓的位置關系；（2）若，直線與圓交于兩點，求.解：（1）圓的標準方程為，圓心為，半徑.設圓心到直線的距離為，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.（2）設圓心到直線的距離為，由（1）知圓心到直線的距離，所以.17.在三棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點，為上靠近點的三等分點.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：連接，，因為，所以.因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，進而.因為，所以.以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則O0,0,0，，，，，所以，.因為，所以，則，，又，平面，所以平面.（2）解：由（1）得，，，.設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為.易得平面的一個法向量為.設二面角的大小為，則，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.如圖，平面分別為線段的中點，為線段上的點，且直線與平面所成角的正弦值為.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.（1）證明：因為平面平面，所以.以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.，，.設平面法向量為，則令，得，得.因為，所以，故平面.（2）解：連接.因為，都在平面內，所以平面，又在平面內，則，又，所以.因為是的中點，所以，都在平面內，所以平面，則為平面的一個法向量.設，則.根據題意可得解得或（舍去），則.因為平面的一個法向量為，所以點到平面的距離.19.已知圓，點在圓C上，點D，G在x軸上，且關于y軸對稱.（1）圓C在點Q處的切線的斜率為，直線QD，QG的斜率分別為，，證明：為定值.（2）過點Q作軸，垂足為E，，點D滿足.①直線AD與圓C的另一個交點為F，且F為線段AD的中點，，求r；②證明：直線QG與圓C相切.（1）解：設，.，.記坐標原點為O，直線OQ的斜率為，..綜上，為定值，定值為.（2）①解：在中，AD為斜邊，OF為斜邊上的中線，所以.又因為，所以，.因為，所以，解得.②證明：因點在圓C上，所以.直線AE的斜率為，直線AD的斜率為，直線AD方程為.令，得，則，.直線QG的方程為，即，原點O到直線QG的距離，所以直線QG與圓C相切.貴州省黔東南苗族侗族自治州2024-2025學年高二上學期11月聯考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在正方體中，下列向量與平行的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，在正方體中，.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以直線的斜率，即，又，所以傾斜角.故選：C.3.已知點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得所以cos<故選：A.4.下列命題正確的是（）A.一條直線的方向向量是唯一的B.若直線的方向向量與平面的法向量平行，則C.若平面的法向量與平面的法向量平行，則D.若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則【答案】B【解析】對于A:一條直線的方向向量不唯一，A錯誤；對于B:若直線的方向向量與平面的法向量平行，則，B正確.對于C:若平面的法向量與平面的法向量平行，則，C錯誤.對于D:若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或，D錯誤.故選：B.5.直線在軸?軸上的截距之和的最小值為（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】可化為，則直線在軸?軸上的截距之和為，當且僅當時，等號成立，所以截距之和的最小值為.故選：A.6.在正四面體中，為棱的中點，，則（）A. B.3 C. D.6【答案】B【解析】因為為棱的中點，所以，所以.故選：B.7.已知為坐標原點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設，，則，，即，①.因為點A在圓上運動，所以滿足②.把①代入②，得，即.故線段OA的中點P的軌跡方程為.故選：D.8.已知點在直線上，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】如圖，設關于直線對稱的點為，則解得，則，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則（）A.當時，B.當時，C.不存在實數，使得D.與直線之間的距離為【答案】BCD【解析】對于選項AB：若，則，即，故A錯誤，B正確；對于選項C：若，則，即，此時，即與重合，故C正確；對于選項D：與直線之間的距離為，故D正確.故選：BCD.10.已知幾何體為長方體，則（）A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上的投影向量為【答案】AC【解析】如圖：在長方體中，因為平面，所以，所以在方向上的投影向量為，即A正確；因為在中，，所以與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B錯誤；因為，，所以在方向上的投影向量為，即C正確；雖然，但與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D錯誤.故選：AC.11.已知圓：與圓：，則下列結論正確的是（）A.若圓與圓外切，則或B.當時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為C.若圓與圓關于點對稱，則D.當時，對任意的，曲線W：恒過圓與圓的交點【答案】ABD【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．若圓與圓外切，則，解得或，A正確．當時，圓：，圓：，將兩圓的方程作差可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，B正確．若圓與圓關于點對稱，則解得，C錯誤．當時，圓：，圓：，則，所以對任意的，曲線W恒過圓與圓的交點，D正確．故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知直線經過定點，則點的坐標為__________.【答案】【解析】由，得，令,得到,x=0,則點的坐標為.13.曲線的長度為__________，若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由，得，則曲線表示圓的上半部分，半徑為，故曲線的長度為；根據題意，作圖如下：因為圓圓心到直線的距離，所以，數形結合可知，當直線經過點時，，故當時，直線與曲線有公共點.14.如圖，在四棱臺體中，平面，底面為正方形，，則該四棱臺的體積__________，直線與平面所成角的正弦值為__________.【答案】【解析】①運用臺體體積公式計算，.②建立如圖空間直角坐標系，則，，所以.設平面的法向量為n=x,y,z，則取，則，故直線與平面所成角的正弦值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點的坐標分別為，，.（1）求過點且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）由，可知，故所求直線的方程為，即.（2）易知，則所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為，即.16.已知直線，圓.（1）若，判斷直線與圓的位置關系；（2）若，直線與圓交于兩點，求.解：（1）圓的標準方程為，圓心為，半徑.設圓心到直線的距離為，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.（2）設圓心到直線的距離為，由（1）知圓心到直線的距離，所以.17.在三棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點，為上靠近點的三等分點.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：連接，，因為，所以.因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，進而.因為，所以.以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則O0,0,0，，，，，所以，.因為，所以，則，，又，平面，所以平面.（2）解：由（1）得，，，.設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為.易得平面的一個法向量為.設二面角的大小為，則，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.如圖，平面分別為線段的中點，為線段上的點，且直線與平面所成角的正弦值為.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.（1）證明：因為平面平面，所以.以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.，，.設平面法向量為，則令，得，得.因為，所以，故平面.（2）解：連接.因為，都在平面內，所以平面，又在平面內，則，又，所以.因為是的中點，所以，都在平面內，所以平面，則為平面的一個法向量.設，則.根據題意可得解得或（舍去），則.因為平面的一個法向量為，所以點到平面的距離.19.已