高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為，則（）A.－4 B.－2 C. D.2【答案】D【解析】，故，解得.故選：D.2.若直線與平行，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述：.故選：A.3.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因為，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；故選：C.4.已知等差數(shù)列的首項為10，公差為，則數(shù)列的前項和的最大值為（）A. B.30 C.80 D.不存在【答案】B【解析】由題意可知：，且數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以數(shù)列前項和的最大項數(shù)為5或6，最大值為.故選：B.5.已知雙曲線的離心率為2，一個焦點在拋物線的準線上，則的頂點到漸近線的距離為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由題意可知：拋物線的準線為，則為雙曲線的焦點，即，又因為離心率為，可得，且，解得，取漸近線為，即，取頂點為，所以的頂點到漸近線的距離為.故選：A.6.如圖，是某心形二次曲線，則的方程可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】顯然圖象關(guān)于y軸對稱，即把x換成方程不變，可知CD錯誤；對于B：令，可得，解得或，不合題意；故選：A.7.已知橢圓的一個焦點是，過原點的直線與相交于點，，的面積是20，則（）A.5 B. C. D.10【答案】D【解析】由題意得，故，故，因為的面積為20，所以面積為10，設(shè)，則，解得，將代入中得，故，則.故選：D.8.已知是圓的一條弦，，是的中點.當(dāng)弦在圓上運動時，直線上總存在兩點，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因，則，可知點的軌跡是以為圓心，半徑的圓C:，設(shè)的中點為，因為為鈍角，可知圓C在以為直徑的圓內(nèi)，可得，因為到直線的距離，可知，可得，所以，所以的取值范圍是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.斜率之積為的兩直線相互垂直C.在兩坐標軸上截距相等的直線斜率為D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線【答案】BD【解析】對于A：直線的傾斜角的取值范圍是，故A錯誤；對于B：斜率之積為的兩直線相互垂直，故B正確；對于C：例如直線，此時在兩坐標軸上截距均為0，相等，但斜率不為，故C錯誤；對于D：直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線，故D正確；故選：BD.10.下列四個命題中，正確的是（）A.要唯一確定圓，只需給出圓上三點B.要唯一確定拋物線，只需給出焦點和準線C.要唯一確定以坐標原點為中心的橢圓，只需給出橢圓上兩點D.要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個焦點【答案】ABD【解析】對于A：根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知：A正確；對于B：根據(jù)拋物線的定義可知：給出焦點和準線即可確定拋物線，故B正確；對于C：給出兩點不能確定橢圓，例如給定長軸頂點，此時橢圓有無數(shù)個，故C錯誤；對于D：因為中心為坐標原點，若給出一條漸近線和一個焦點，可以求出a,b,c，且可以確定焦點位置，即可得雙曲線方程，可以確定雙曲線，故D正確；故選：ABD.11.設(shè)數(shù)列的前項和為，則數(shù)列為常數(shù)列（各項均為同一個常數(shù)的數(shù)列）的一個充分條件是（）A. B.C. D.，【答案】ACD【解析】A選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的通項公式為，為常數(shù)列，故A正確；B選項，，，不妨設(shè)，則此時不為常數(shù)列，B錯誤；C選項，，，兩者相減得，故，即，故為常數(shù)列，故C正確；D選項，時，，即，又，故在上恒成立，為常數(shù)列，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，試寫出一個半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標準方程：_______________.【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【解析】因為圓的圓心為，半徑，設(shè)所求圓的圓心為，則，且或，若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；若，，無解，不合題意；若，，解得或，可得圓心為或，所求圓的方程為或；若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）.13.定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項加上它的前一項所得的和都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，，，則公和為_______________.【答案】7【解析】由題意可知：（公和），則，可得，可知數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，可得，，所以公和.14.已知拋物線的焦點為，為圓上的動點，點，則__________；若為上的動點，則的最小值為__________.【答案】5【解析】由題意可知：拋物線的焦點為F1,0，準線為，設(shè)，圓，即為，則；因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，設(shè)點到準線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標原點時，等號成立，綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標原點，為0,3時，等號成立，所以的最小值為5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在平面直角坐標系中，過點的直線與拋物線相交于點，.（1）若直線的斜率為1，求；（2）求證：.（1）解：直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)Ax1,則；（2）證明：當(dāng)直線的斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，設(shè)Ax1,則，故，故.16.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，，若，，成等差數(shù)列，求并證明為等差數(shù)列.解：（1）已知，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可得.又因為，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式，可得，即.聯(lián)立方程組，可得，即.將代入，可得.所以數(shù)列的通項公式為.（2）由，，可得.所以.因為，，成等差數(shù)列，則故：.解得或；當(dāng)時，.，為常數(shù)；當(dāng)時，，為常數(shù)；所以或，為等差數(shù)列.17.已知為圓上任意一點，點，線段的垂直平分線與交于點，記點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點作直線（與軸不重合）與相交于點，，直線與軸交于點，，求的方程.解：（1）由題意可知：的圓心為，半徑為4，且，則，可知點的軌跡是以為焦點的橢圓，則，所以的方程為.（2）因為點在橢圓內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，設(shè)直線，，則，聯(lián)立方程，消去x可得，則，又因為，若，則，即，可得，解得，所以的方程為，即.18.已知等軸雙曲線的左、右焦點分別，，且焦距為，分別是在第二象限和第一象限上的一點，且.（1）求的方程；（2）若直線的斜率為，求直線的斜率；（3）若四邊形的面積為，求直線的方程.解：（1）由題意可知：，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）可知：，設(shè)直線，Ax1聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，因為，若，則，即，整理可得，又因為，可得，解得，此時即為，解得或（舍去），此時，即，所以直線的斜率.（3）設(shè)Ax則，即，可得，設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，解得，同理可得，此時梯形的高為，可知梯形的面積，整理可得，解得或（舍去），可知或，則直線的斜率，所以直線的方程，即.19.記等差數(shù)列的前項和為，公差為.（1）證明：是關(guān)于的不含常數(shù)項的二次函數(shù)；（2）等差數(shù)列的公差為，且.①求的通項公式；②記數(shù)列的前項和為，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，請說明理由.（1）證明：因為等差數(shù)列的公差為由題意可得：，則二次項系數(shù)，且常數(shù)項為0，所以是關(guān)于的不含常數(shù)項的二次函數(shù).（2）解：①由題意可知：，即，可得，解得，或，若，則；若，則，綜上所述：或；②因為，當(dāng)時，若，，則，不合題意；當(dāng)時，若為偶數(shù)，則，因為為偶數(shù)，則或，若，則，即，不合題意；若，則，整理可得，可知，代入檢驗可得僅成立；若為奇數(shù)，則，因為為奇數(shù)，則或，若，則，即，不合題意；若，則，整理可得，顯然為偶數(shù)，方程無解，不合題意；綜上所述：.江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為，則（）A.－4 B.－2 C. D.2【答案】D【解析】，故，解得.故選：D.2.若直線與平行，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述：.故選：A.3.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因為，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；故選：C.4.已知等差數(shù)列的首項為10，公差為，則數(shù)列的前項和的最大值為（）A. B.30 C.80 D.不存在【答案】B【解析】由題意可知：，且數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以數(shù)列前項和的最大項數(shù)為5或6，最大值為.故選：B.5.已知雙曲線的離心率為2，一個焦點在拋物線的準線上，則的頂點到漸近線的距離為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由題意可知：拋物線的準線為，則為雙曲線的焦點，即，又因為離心率為，可得，且，解得，取漸近線為，即，取頂點為，所以的頂點到漸近線的距離為.故選：A.6.如圖，是某心形二次曲線，則的方程可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】顯然圖象關(guān)于y軸對稱，即把x換成方程不變，可知CD錯誤；對于B：令，可得，解得或，不合題意；故選：A.7.已知橢圓的一個焦點是，過原點的直線與相交于點，，的面積是20，則（）A.5 B. C. D.10【答案】D【解析】由題意得，故，故，因為的面積為20，所以面積為10，設(shè)，則，解得，將代入中得，故，則.故選：D.8.已知是圓的一條弦，，是的中點.當(dāng)弦在圓上運動時，直線上總存在兩點，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因，則，可知點的軌跡是以為圓心，半徑的圓C:，設(shè)的中點為，因為為鈍角，可知圓C在以為直徑的圓內(nèi)，可得，因為到直線的距離，可知，可得，所以，所以的取值范圍是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.斜率之積為的兩直線相互垂直C.在兩坐標軸上截距相等的直線斜率為D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線【答案】BD【解析】對于A：直線的傾斜角的取值范圍是，故A錯誤；對于B：斜率之積為的兩直線相互垂直，故B正確；對于C：例如直線，此時在兩坐標軸上截距均為0，相等，但斜率不為，故C錯誤；對于D：直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線，故D正確；故選：BD.10.下列四個命題中，正確的是（）A.要唯一確定圓，只需給出圓上三點B.要唯一確定拋物線，只需給出焦點和準線C.要唯一確定以坐標原點為中心的橢圓，只需給出橢圓上兩點D.要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個焦點【答案】ABD【解析】對于A：根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知：A正確；對于B：根據(jù)拋物線的定義可知：給出焦點和準線即可確定拋物線，故B正確；對于C：給出兩點不能確定橢圓，例如給定長軸頂點，此時橢圓有無數(shù)個，故C錯誤；對于D：因為中心為坐標原點，若給出一條漸近線和一個焦點，可以求出a,b,c，且可以確定焦點位置，即可得雙曲線方程，可以確定雙曲線，故D正確；故選：ABD.11.設(shè)數(shù)列的前項和為，則數(shù)列為常數(shù)列（各項均為同一個常數(shù)的數(shù)列）的一個充分條件是（）A. B.C. D.，【答案】ACD【解析】A選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的通項公式為，為常數(shù)列，故A正確；B選項，，，不妨設(shè)，則此時不為常數(shù)列，B錯誤；C選項，，，兩者相減得，故，即，故為常數(shù)列，故C正確；D選項，時，，即，又，故在上恒成立，為常數(shù)列，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，試寫出一個半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標準方程：_______________.【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【解析】因為圓的圓心為，半徑，設(shè)所求圓的圓心為，則，且或，若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；若，，無解，不合題意；若，，解得或，可得圓心為或，所求圓的方程為或；若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）.13.定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項加上它的前一項所得的和都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，，，則公和為_______________.【答案】7【解析】由題意可知：（公和），則，可得，可知數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，可得，，所以公和.14.已知拋物線的焦點為，為圓上的動點，點，則__________；若為上的動點，則的最小值為__________.【答案】5【解析】由題意可知：拋物線的焦點為F1,0，準線為，設(shè)，圓，即為，則；因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，設(shè)點到準線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標原點時，等號成立，綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標原點，為0,3時，等號成立，所以的最小值為5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在平面直角坐標系中，過點的直線與拋物線相交于點，.（1）若直線的斜率為1，求；（2）求證：.（1）解：直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)Ax1,則；（2）證明：當(dāng)直線的斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，設(shè)Ax1,則，故，故.16.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，，若，，成等差數(shù)列，求并證明為等差數(shù)列.解：（1）已知，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可得.又因為，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式，可得，即.聯(lián)立方程組，可得，即.將代入，可得.所以數(shù)列的通項公式為.（2）由，，可得.所以.因為，，成等差數(shù)列，則故：.解得或；當(dāng)時，.，為常數(shù)；當(dāng)時，，為常數(shù)；所以或，為等差數(shù)列.17.已知為圓上任意一點，點，線段的垂直平分線與交于點，記點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點作直線（與軸不重合）與相交于點，，直線與軸交于點，，求的方程.解：（1）由題意可知：的圓心為，半徑為4，且，則，可知點的