高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省卓越教育發(fā)展聯(lián)盟學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題一．單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題輸出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確選項的序號填在括號內(nèi)）1.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】令，則，∴，即復(fù)數(shù)的虛部是.故選：A2.已知為兩個不同的平面，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，且，則 D.若，且，則【答案】C【解析】對于A，若，則或異面或相交，故A錯誤；對于B，，則或異面，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，且，則或，故D錯誤.故選：C.3.已知在中，，，則的值為（）A. B.－2 C.2 D.【答案】D【解析】因為為三角形內(nèi)角且，故，故，故，故選：D.4.如圖，正三棱柱的所有邊長都相等，為線段的中點，為側(cè)面內(nèi)的一點（包括邊界，異于點），過點、、作正三棱柱的截面，則截面的形狀不可能是（）A.五邊形 B.四邊形C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】A【解析】對于B：當(dāng)?shù)难娱L線與線段（除端點外）相交于點時，延長交的延長線于點，連接交于點，連接，此時過點、、作正三棱柱的截面為四邊形（當(dāng)在線段（除端點外）時截面也為四邊形），故B正確；對于A：當(dāng)?shù)难娱L線與線段、（除點外）相交（或點在線段、（除點外）上時）截面為三角形，結(jié)合B選項可知，截面為三角形或四邊形，不可能為五邊形，故A錯誤；對于C：取的中點，連接、，又為線段的中點，所以，所以為等腰三角形，故C正確；對于D：取的中點，連接、，因為三棱柱為正三棱柱，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為直角三角形，故D正確；故選：A5.已知，，若線段的一個三等分點為，則的坐標(biāo)為（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】由線段的一個三等分點為，得或，若，則，所以；若，則，所以．故選：B.6.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為（）A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3【答案】A【解析】作出該球軸截面的圖像如下圖所示，依題意，，設(shè)，故，因為，解得，故該球的半徑，所以.7.如圖，在大三角形中共有10個網(wǎng)格點，相鄰網(wǎng)格點間的距離均為1，從中選取三個不同的網(wǎng)格點A，B，C，則的最大值與最小值的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得取最大同時在上投影最大，則取得最大值，如圖，當(dāng)分別是最大的正三角形底邊的端點，點是點上方且緊靠的一點時，最大，且在向量上的投影也達到最大值，則此時取得最大值，最大值為；由，取最大同時在上投影最小，則取得最小值，當(dāng)分別是最大的正三角形的底邊的端點，且點是之間的一點時，，此時達到最小值，所以的最大值與最小值的和為.故選：C8.如圖，在三棱錐中，點分別為棱的中點.若點在線段上，且滿足平面，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】如圖，連接，交于點，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，因為點分別為棱的中點，所以是的重心，所以.故選：C.二．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，部分選對得部分分數(shù)，選錯不得分）9.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則或C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】對于A，設(shè)，則，所以，又，所以，故A正確；對于B，設(shè)，滿足，此時且，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，，滿足，而，故C錯誤；對于D，由，則是的共軛復(fù)數(shù)，則，故D正確.故選：AD.10.在正方體中，點是棱上的一個動點，平面交棱于點，給出的四個結(jié)論，正確的是（）A.對于任意的點，B.存在點，使得平面C.存在點，使直線與直線共面D.存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值【答案】ABD【解析】對于A，因為平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理得，故A正確；對于B，當(dāng)點為的中點時，有平面，證明如下：由A可知，當(dāng)點為的中點時，為的中點，此時，，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，不論點在何位置，直線與直線永遠為異面直線，故直線與直線不可能共面，故C錯誤；對于D，由A可知，同理可知，故四邊形為平行四邊形，所以四邊形的周長，將矩形繞棱向內(nèi)旋轉(zhuǎn)90度，使矩形和矩形共面，連接交于點，如下圖所示：故存在唯一的點E，使得最小，此時截面四邊形的周長取得最小值，故D正確.故選：ABD11.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若，則C.若，且，則為直角三角形D.若平面內(nèi)有一點滿足：，且，則為等邊三角形【答案】AD【解析】對于A，由，可得，由正弦定理可得，所以，因為，所以，則為鈍角三角形，故A正確；對于B，若，當(dāng)，時，則，故B不正確；對于C，因為，分別為單位向量，所以的角平分線與垂直，所以，．又因為，即，因為，所以，故，所以為等邊三角形，故C錯誤；對于D，因為，所以為的重心，由知為的外心，故為等邊三角形，故D正確.故選：AD.三．填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解為_____【答案】【解析】由，則，則，所以，即.故答案為：.13.如圖，測量河對岸的塔高時，選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點與，測得，，，并在點測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高_____m．【答案】30【解析】由題可知，由正弦定理可得所以故答案為：3014.甲烷分子是正四面體空間構(gòu)型，如圖，四個氫原子分別位于正四面體的頂點處，碳原子位于正四面體的中心處．若正四面體的棱長為1，則平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線長度為_____【答案】【解析】如圖所示，分別取，的中點，，連結(jié)，，則由正四面體的性質(zhì)，過正四面體的中心，所以平面即平面，平面即平面，又因為平面，平面，所以平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線為線段，又因為正四面體的棱長為1，則由勾股定理可得．所以在等腰三角形中，．故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知向量與的夾角，且，．（1）求，，在上的投影向量；（2）求向量與夾角的余弦值．（1），所以，所以在上的投影向量為：（2）設(shè)向量與夾角為，則16.如下圖所示，多面體是由長方體沿相鄰三個面的對角線截出的幾何體，其中，，，為的中點，過，，的平面交于．（1）求該多面體的體積；（2）求證：平面；（3）判斷直線與直線的位置關(guān)系，并對你的結(jié)論加以證明．解：（1）長方體的體積為，被截去的三棱錐的體積為，所以多面體的體積為．（2）證明：在長方體中矩形中，，，所以四邊形為平行四邊形．所以，又平面，平面，所以平面．（3）直線直線證明：由（2）有平面，又平面，平面平面，所以.17.在銳角中，角的對邊長分別為，，，的面積為，已知．（1）求角；（2）設(shè)為的垂心，且，求的取值范圍．解：（1），，，由余弦定理得，即，即，又；（2）如圖，設(shè)邊上得高為，邊上得高為，為的垂心，在中，，在中，，不妨設(shè)，則，在中，由正弦定理得，，整理得：，同理在中由正弦定理得，所以，又，所以，所以的取值范圍為．18.已知一塊正三棱臺木料如圖所示，點為的重心，且，．（1）要經(jīng)過點將木料鋸開，使截面平行于平面，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，并說明理由；（2）寫出一種切割方式，要求過點，將（1）問中較大的幾何體，切割出與較小木料體積相同的木料.解：（1）如圖，在平面內(nèi)過點作直線，使，分別交棱，于點，，取棱，中點，，連接，，，則，，，就是應(yīng)畫的線．下面證明：因為，平面，平面，所以平面，因為點為的重心，，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為平面，平面，，，平面，所以平面平面，即所作截面平行于平面．（2）設(shè)棱臺的高為，面積為，則，正三棱臺體積為，正三棱臺體積為．所以被截面截得的另一個幾何體體積為．過點和做截面，即連接，，因為，所以幾何體為棱柱，所以，所以被截面截得的另一個幾何體體積為，因此沿著截開即可.（答案不唯一）．19.在中，分別為角所對的邊，.（1）求角；（2）若的內(nèi)切圓半徑為，求邊長；（3）若為鈍角三角形，點為平面內(nèi)一點且滿足，求的取值范圍.解：（1）由正弦定理及得：，因為角是的內(nèi)角，所以，即，因為，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得：，又，所以①，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，因為的面積，所以，即，整理得，即，因為，解得.（3）因為點為平面內(nèi)一點，設(shè)點為的中點，點為的中點，則，又，所以，所以為線段和垂直平分線的交點，即為外接圓圓心，因為是鈍角三角形，由，可知角為鈍角，所以，即，得②，由①②可得，解得，所以，由，得，即，設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，所以的取值范圍是.廣東省卓越教育發(fā)展聯(lián)盟學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題一．單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題輸出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確選項的序號填在括號內(nèi)）1.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】令，則，∴，即復(fù)數(shù)的虛部是.故選：A2.已知為兩個不同的平面，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，且，則 D.若，且，則【答案】C【解析】對于A，若，則或異面或相交，故A錯誤；對于B，，則或異面，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，且，則或，故D錯誤.故選：C.3.已知在中，，，則的值為（）A. B.－2 C.2 D.【答案】D【解析】因為為三角形內(nèi)角且，故，故，故，故選：D.4.如圖，正三棱柱的所有邊長都相等，為線段的中點，為側(cè)面內(nèi)的一點（包括邊界，異于點），過點、、作正三棱柱的截面，則截面的形狀不可能是（）A.五邊形 B.四邊形C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】A【解析】對于B：當(dāng)?shù)难娱L線與線段（除端點外）相交于點時，延長交的延長線于點，連接交于點，連接，此時過點、、作正三棱柱的截面為四邊形（當(dāng)在線段（除端點外）時截面也為四邊形），故B正確；對于A：當(dāng)?shù)难娱L線與線段、（除點外）相交（或點在線段、（除點外）上時）截面為三角形，結(jié)合B選項可知，截面為三角形或四邊形，不可能為五邊形，故A錯誤；對于C：取的中點，連接、，又為線段的中點，所以，所以為等腰三角形，故C正確；對于D：取的中點，連接、，因為三棱柱為正三棱柱，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為直角三角形，故D正確；故選：A5.已知，，若線段的一個三等分點為，則的坐標(biāo)為（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】由線段的一個三等分點為，得或，若，則，所以；若，則，所以．故選：B.6.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為（）A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3【答案】A【解析】作出該球軸截面的圖像如下圖所示，依題意，，設(shè)，故，因為，解得，故該球的半徑，所以.7.如圖，在大三角形中共有10個網(wǎng)格點，相鄰網(wǎng)格點間的距離均為1，從中選取三個不同的網(wǎng)格點A，B，C，則的最大值與最小值的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得取最大同時在上投影最大，則取得最大值，如圖，當(dāng)分別是最大的正三角形底邊的端點，點是點上方且緊靠的一點時，最大，且在向量上的投影也達到最大值，則此時取得最大值，最大值為；由，取最大同時在上投影最小，則取得最小值，當(dāng)分別是最大的正三角形的底邊的端點，且點是之間的一點時，，此時達到最小值，所以的最大值與最小值的和為.故選：C8.如圖，在三棱錐中，點分別為棱的中點.若點在線段上，且滿足平面，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】如圖，連接，交于點，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，因為點分別為棱的中點，所以是的重心，所以.故選：C.二．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，部分選對得部分分數(shù)，選錯不得分）9.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則或C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】對于A，設(shè)，則，所以，又，所以，故A正確；對于B，設(shè)，滿足，此時且，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，，滿足，而，故C錯誤；對于D，由，則是的共軛復(fù)數(shù)，則，故D正確.故選：AD.10.在正方體中，點是棱上的一個動點，平面交棱于點，給出的四個結(jié)論，正確的是（）A.對于任意的點，B.存在點，使得平面C.存在點，使直線與直線共面D.存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值【答案】ABD【解析】對于A，因為平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理得，故A正確；對于B，當(dāng)點為的中點時，有平面，證明如下：由A可知，當(dāng)點為的中點時，為的中點，此時，，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，不論點在何位置，直線與直線永遠為異面直線，故直線與直線不可能共面，故C錯誤；對于D，由A可知，同理可知，故四邊形為平行四邊形，所以四邊形的周長，將矩形繞棱向內(nèi)旋轉(zhuǎn)90度，使矩形和矩形共面，連接交于點，如下圖所示：故存在唯一的點E，使得最小，此時截面四邊形的周長取得最小值，故D正確.故選：ABD11.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若，則C.若，且，則為直角三角形D.若平面內(nèi)有一點滿足：，且，則為等邊三角形【答案】AD【解析】對于A，由，可得，由正弦定理可得，所以，因為，所以，則為鈍角三角形，故A正確；對于B，若，當(dāng)，時，則，故B不正確；對于C，因為，分別為單位向量，所以的角平分線與垂直，所以，．又因為，即，因為，所以，故，所以為等邊三角形，故C錯誤；對于D，因為，所以為的重心，由知為的外心，故為等邊三角形，故D正確.故選：AD.三．填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解為_____【答案】【解析】由，則，則，所以，即.故答案為：.13.如圖，測量河對岸的塔高時，選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點與，測得，，，并在點測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高_____m．【答案】30【解析】由題可知，由正弦定理可得所以故答案為：3014.甲烷分子是正四面體空間構(gòu)型，如圖，四個氫原子分別位于正四面體的頂點處，碳原子位于正四面體的中心處．若正四面體的棱長為1，則平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線長度為_____【答案】【解析】如圖所示，分別取，的中點，，連結(jié)，，則由正四面體的性質(zhì)，過正四面體的中心，所以平面即平面，平面即平面，又因為平面，平面，所以平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線為線段，又因為正四面體的棱長為1，則由勾股定理可得．所以在等腰三角形中，．故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知向量與的夾角，且，．（1）求，，在上的投影向量；（2）求向量與夾角的余弦值．（1），所以，所以在上的投影向量為：（2）設(shè)向量與夾角為，則16.如下圖所示，多面體是由長方體沿相鄰三個面的對角線截出的幾何體，其中，，，為的中點，過，，的平面交于．（1）求該多面體的體積；（2）求證：平面；（3）判斷直線與直線的位置關(guān)系，并對你的結(jié)論加以證明．解：（1）長方體的體積為，被截去的三棱錐的體積為，所以多面體的體積為．（2）證明：在長方體中矩形中，，，所以四邊形為平行四邊形．所以，又平面，平面，所以平面．（3）直線直線證明：由（2）有平面，又平面，平面平面，所以.17.在銳角中，角的對邊長分別為，，，的面積為，已知．（1）求角；（2）設(shè)為的垂心，且，求的取值范圍