§5.4平面向量中的綜合問(wèn)題重點(diǎn)解讀平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合.其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等.題型一平面向量在幾何中的應(yīng)用例1(1)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若AB·(CB+CA)=2AB·CP，且AB2=AC22BC·AP，則點(diǎn)P是△ABC的(A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心(2)△ABC的外心O滿足OA+OB+2OC=0，|AB|=2，則△ABC的面積為(A.2+22 B.1+2思維升華用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟平面幾何問(wèn)題向量問(wèn)題解決向量問(wèn)題解決幾何問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練1(1)在△ABC中，若OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點(diǎn)O是△ABC的()A.內(nèi)心 B.外心C.垂心 D.重心(2)如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，垂足為E，則ED的長(zhǎng)為.

題型二和向量有關(guān)的最值問(wèn)題命題點(diǎn)1與平面向量基本定理有關(guān)的最值問(wèn)題例2已知OA，OB是兩個(gè)夾角為120°的單位向量，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的AB上運(yùn)動(dòng).若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是(A.2 B.2 C.3 D.3命題點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值問(wèn)題例3在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1，則PA·PB的取值范圍是()A.[5，3] B.[3，5]C.[6，4] D.[4，6]命題點(diǎn)3與模有關(guān)的最值問(wèn)題例4已知a，b是單位向量，a·b=0，且向量c滿足|cab|=1，則|c|的取值范圍是()A.[21，2+1] B.[21，2]C.[2，2+1] D.[22，2+思維升華向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍).(2)利用基本不等式求最值(范圍).(3)建立坐標(biāo)系，設(shè)變量構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍).(4)數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)求最值.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·銅川模擬)在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，滿足AD=2DB，E在線段CD上(不含端點(diǎn))，且AE=xAB+yAC(x，y∈R)，則x+2yxy的最小值為A.3+22 B.4+23C.8+43 D.8(2)(2025·韶關(guān)模擬)已知平面向量a，b，c均為單位向量，且|a+b|=1，則向量a與b的夾角為，(a+b)·(bc)的最小值為.

(3)(2024·會(huì)寧模擬)已知單位向量a，b滿足|3a4b|=m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案精析例1(1)A[由AB·(CB+CA)=2AB·CP，得AB·(CB+CA2CP)=0，即AB·[(CBCP)+(CACP)]=0，所以AB·(PB+PA)=0.設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則AB·2PD=0，故AB·PD=0.由AB2=AC22BC·得(AB+AC)·(ABAC)=2BC·AP，即(AB+AC2AP)·CB=0.設(shè)E為BC的中點(diǎn)，則(2AE2AP)·CB=0，則2PE·CB=0，故CB·PE=0.所以P為AB與BC的垂直平分線的交點(diǎn)，所以P是△ABC的外心.](2)B[設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則OA+OB+2OC=0可化為2OD+2OC=即OC=2OD∴O，D，C三點(diǎn)共線且CD⊥AB，∴△ABC為等腰三角形，|OA|2=|OD|2+|AD|2，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則R2=R22+解得R=1，CD=1+22∴S△ABC=12|AB||CD|=12×2×1+22跟蹤訓(xùn)練1(1)C[∵OA·OB=OB·OC，∴OB·(OAOC)=0，∴OB·CA=0，∴OB⊥CA，即OB為△ABC邊CA上的高所在的直線.同理OA·BC=0，OC·AB=0，∴OA⊥BC，OC⊥AB，故O是△ABC的垂心.](2)21解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3，0)，AC=(3，3)，設(shè)AE=λAC，則E的坐標(biāo)為(3λ，3λ)，故BE=(3λ，3λ3).因?yàn)锽E⊥AC，所以BE·AC=0，即9λ+3λ3=0，解得λ=14所以E34故ED=94，-34，即ED=212例2B[由題意，以O(shè)為原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤120°，可得A(1，0)，B-1由OC=x(1，0)+y-=(cosθ，sinθ)，得x12y=cosθ，32y=sin∴32y=3sinθ∴x+y=x-12=cosθ+3sinθ=2sin(θ+30°)，∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，∴當(dāng)θ=60°時(shí)，x+y的最大值為2，此時(shí)C為AB的中點(diǎn)，∴x+y的最大值是2.]例3D[方法一(坐標(biāo)法)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4).設(shè)P(x，y)，則x2+y2=1，PA=(3x，y)，PB=(x，4y)，所以PA·PB=x23x+y24y=x-322+(y2又x-322+(y2)2表示圓x2+y2=1上一點(diǎn)到點(diǎn)32，2距離的平方，圓心(0，0)到點(diǎn)3252即PA·PB的取值范圍是[4，6].方法二(極化恒等式法)設(shè)AB的中點(diǎn)為M，CM與CP的夾角為θ，由題意知AB=5，CM=52由極化恒等式得PA·PB=PM214AB2=(CM=CM2+CP22CM·=254+15cosθ254=15cos因?yàn)閏osθ∈[1，1]，所以PA·PB的取值范圍是[4，6].]例4A[a，b是單位向量，a·b=0，設(shè)a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y)，|cab|=|(x1，y1)|=(x-1)2+(y-1)2=1，∴(x1)2+(y1)2=1，∴|c|表示以(1，1)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故12+121≤|c|≤12跟蹤訓(xùn)練2(1)B[∵AE=xAB+yAC(x，y∈R)，AD=2DB，∴AE=3x2AD+又E在線段CD上(不含端點(diǎn))，∴3x2+y=1，且x>0，y∴x+2yxy==1=4+3x2y+2y當(dāng)且僅當(dāng)3x2y=2yx，即x=3-33，y=3-1(2)2π3解析由題意知，|a|=|b|=|c|=1，由|a+b|2=a2+2a·b+b2=1，得a·b=12所以cos〈a，b〉=a·b|又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=2π3即a與b的夾角為2π3(a+b)·(bc)=a·b+b2(a+b)·c=12|a+b||c|cos〈a+b，c=12cos〈a+b，c又cos〈a+b，c〉∈[1，1]，所以32≥12cos〈a+b，c〉≥當(dāng)且僅當(dāng)a+b與c同向時(shí)，右側(cè)等號(hào)成立.所以(a+b)·(bc)的最