2024屆高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題訓(xùn)練與解析函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿代數(shù)、幾何與實(shí)際應(yīng)用的各個(gè)環(huán)節(jié)。2024屆考生需系統(tǒng)梳理函數(shù)的概念、性質(zhì)、基本初等函數(shù)及應(yīng)用，通過針對(duì)性訓(xùn)練深化理解。本文圍繞五大專題展開，結(jié)合典型例題與解析，助力考生構(gòu)建函數(shù)知識(shí)體系。專題一：函數(shù)的概念與表示知識(shí)點(diǎn)梳理函數(shù)的本質(zhì)是非空數(shù)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，需明確三個(gè)核心要素：定義域（自變量的取值范圍）、值域（函數(shù)值的集合）、對(duì)應(yīng)關(guān)系（“對(duì)應(yīng)法則”或解析式）。判斷“同一函數(shù)”需同時(shí)滿足定義域相同且對(duì)應(yīng)關(guān)系等價(jià)（解析式可通過恒等變形轉(zhuǎn)化）。函數(shù)的表示方法包括：解析式法：如分段函數(shù)（需注意定義域的分段邏輯）、復(fù)合函數(shù)（如\(y=f(g(x))\)，需明確內(nèi)層函數(shù)\(g(x)\)的值域與外層函數(shù)\(f(t)\)的定義域的關(guān)系）。圖像法：利用“數(shù)形結(jié)合”分析函數(shù)性質(zhì)（如單調(diào)性、對(duì)稱性）。列表法：多用于離散型函數(shù)（如實(shí)際問題中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)）。典型例題訓(xùn)練例1：同一函數(shù)的判斷判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)：(1)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)與\(g(x)=x+1\)；(2)\(f(x)=\sqrt{x^2}\)與\(g(x)=|x|\)。例2：函數(shù)定義域的求解求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{\log_2(3-x)}\)的定義域。例3：函數(shù)解析式的求解已知\(f(x+1)=x^2+2x\)，求\(f(x)\)的解析式（用配湊法或換元法）。例題解析例1解析(1)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(\{x|x\neq1\}\)，\(g(x)\)的定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)，定義域不同，不是同一函數(shù)。(2)\(f(x)=\sqrt{x^2}=|x|\)，與\(g(x)\)的定義域均為\(\mathbb{R}\)，對(duì)應(yīng)關(guān)系等價(jià)，是同一函數(shù)。例2解析定義域需滿足三個(gè)條件：偶次根式：\(2x-1\geq0\impliesx\geq\frac{1}{2}\)；對(duì)數(shù)真數(shù)：\(3-x>0\impliesx<3\)；分母非零：\(\log_2(3-x)\neq0\implies3-x\neq1\impliesx\neq2\)。綜上，定義域?yàn)閈(\left[\frac{1}{2},2\right)\cup(2,3)\)。例3解析（配湊法）將\(f(x+1)=x^2+2x\)變形：\(x^2+2x=(x+1)^2-1\)，令\(t=x+1\)（則\(t\in\mathbb{R}\)），故\(f(t)=t^2-1\)，即\(f(x)=x^2-1\)（\(x\in\mathbb{R}\)）。專題二：函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)梳理函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)“變化規(guī)律”的核心，包括：1.單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上任意取\(x_1,x_2\)，若\(x_1<x_2\)時(shí)\(f(x_1)<f(x_2)\)（增函數(shù)）或\(f(x_1)>f(x_2)\)（減函數(shù)），則\(f(x)\)在\(D\)上單調(diào)。判定方法：定義法（取值→作差→變形→定號(hào)→結(jié)論）、圖像法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（“同增異減”）。2.奇偶性定義：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且\(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)，圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱）或\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。特殊性質(zhì)：若奇函數(shù)在\(x=0\)處有定義，則\(f(0)=0\)。3.周期性與對(duì)稱性周期性：若\(f(x+T)=f(x)\)（\(T\neq0\)），則\(T\)為周期（最小正周期為核心研究對(duì)象）。對(duì)稱性：若\(f(a+x)=f(a-x)\)，則函數(shù)關(guān)于直線\(x=a\)對(duì)稱；若\(f(a+x)=-f(a-x)\)，則關(guān)于點(diǎn)\((a,0)\)對(duì)稱。典型例題訓(xùn)練例1：?jiǎn)握{(diào)性的證明與應(yīng)用證明函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，并比較\(f(2)\)與\(f(3)\)的大小。例2：奇偶性的判斷判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}\cdotx^3\)的奇偶性。例3：周期性與對(duì)稱性的綜合已知\(f(x)\)是周期為2的奇函數(shù)，且\(f(1)=2\)，求\(f(3)+f(4)\)的值。例題解析例1解析（定義法證明單調(diào)性）任取\(x_1,x_2\in(1,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)，則：\(f(x_1)-f(x_2)=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)\)。由\(x_1<x_2\)得\(x_1-x_2<0\)；由\(x_1,x_2>1\)得\(x_1x_2>1\implies\frac{1}{x_1x_2}<1\implies1-\frac{1}{x_1x_2}>0\)。因此\(f(x_1)-f(x_2)<0\impliesf(x_1)<f(x_2)\)，故\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。由單調(diào)性知\(f(2)<f(3)\)。例2解析定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。計(jì)算\(f(-x)\)：\(f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\cdot(-x)^3=\frac{\frac{1-2^x}{2^x}}{\frac{1+2^x}{2^x}}\cdot(-x^3)=\frac{1-2^x}{1+2^x}\cdot(-x^3)=\frac{2^x-1}{2^x+1}\cdotx^3=f(x)\)。故\(f(x)\)為偶函數(shù)。例3解析由周期性\(T=2\)，得\(f(3)=f(3-2)=f(1)=2\)；\(f(4)=f(4-2\times2)=f(0)\)。又\(f(x)\)是奇函數(shù)且在\(x=0\)處有定義，故\(f(0)=0\)。因此\(f(3)+f(4)=2+0=2\)。專題三：基本初等函數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理基本初等函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，需掌握其定義、圖像、性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)則。1.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（\(a>0,a\neq1\)），定義域\(\mathbb{R}\)，值域\((0,+\infty)\)，過定點(diǎn)\((0,1)\)；當(dāng)\(a>1\)時(shí)單調(diào)遞增，\(0<a<1\)時(shí)單調(diào)遞減。對(duì)數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（\(a>0,a\neq1\)），定義域\((0,+\infty)\)，值域\(\mathbb{R}\)，過定點(diǎn)\((1,0)\)；當(dāng)\(a>1\)時(shí)單調(diào)遞增，\(0<a<1\)時(shí)單調(diào)遞減。指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算：\(a^x\cdota^y=a^{x+y}\)，\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)（\(M,N>0\)），換底公式\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)。2.冪函數(shù)形如\(y=x^\alpha\)（\(\alpha\)為常數(shù)），定義域與\(\alpha\)有關(guān)（如\(\alpha=\frac{1}{2}\)時(shí)定義域?yàn)閈([0,+\infty)\)，\(\alpha=-1\)時(shí)為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)）。圖像過定點(diǎn)\((1,1)\)，單調(diào)性隨\(\alpha\)符號(hào)變化（\(\alpha>0\)時(shí)在\((0,+\infty)\)遞增，\(\alpha<0\)時(shí)遞減）。典型例題訓(xùn)練例1：指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算：\(8^{\frac{2}{3}}+\log_23\cdot\log_34-\lne^2\)。例2：函數(shù)值的大小比較比較\(a=\log_23\)，\(b=\log_32\)，\(c=2^{0.3}\)的大小。例3：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)已知冪函數(shù)\(f(x)=(m^2-m-1)x^{m^2-2m-3}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，求\(m\)的值。例題解析例1解析\(8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^2=4\)；由換底公式，\(\log_23\cdot\log_34=\log_23\cdot\frac{\log_24}{\log_23}=\log_24=2\)；\(\lne^2=2\)。因此原式\(=4+2-2=4\)。例2解析\(a=\log_23\)：因\(2^1=2<3<4=2^2\)，故\(1<a<2\)；\(b=\log_32\)：因\(3^0=1<2<3=3^1\)，故\(0<b<1\)；\(c=2^{0.3}\)：因\(2^0=1<2^{0.3}<2^1=2\)，且\(2^{0.3}>2^0=1\)（指數(shù)函數(shù)\(y=2^x\)單調(diào)遞增）。進(jìn)一步比較\(a\)與\(c\)：\(\log_23>\log_22\sqrt{2}=\frac{3}{2}\)（因\(3>2\sqrt{2}\)），而\(2^{0.3}<2^{0.5}=\sqrt{2}\approx1.414<\frac{3}{2}\)，故\(c<a\)。綜上，\(b<c<a\)。例3解析冪函數(shù)需滿足系數(shù)為1，即\(m^2-m-1=1\)，解得\(m=2\)或\(m=-1\)。當(dāng)\(m=2\)時(shí)，指數(shù)\(m^2-2m-3=4-4-3=-3\)，故\(f(x)=x^{-3}\)，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減（符合條件）；當(dāng)\(m=-1\)時(shí)，指數(shù)\(m^2-2m-3=1+2-3=0\)，故\(f(x)=x^0=1\)（\(x\neq0\)），在\((0,+\infty)\)上為常函數(shù)，不滿足“單調(diào)遞減”。因此\(m=2\)。專題四：函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)梳理函數(shù)的應(yīng)用分為函數(shù)零點(diǎn)與實(shí)際問題建模兩類：1.函數(shù)的零點(diǎn)定義：方程\(f(x)=0\)的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)圖像與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。零點(diǎn)存在定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)，則\((a,b)\)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。2.實(shí)際問題建模將實(shí)際問題中的變量關(guān)系抽象為函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等），通過分析函數(shù)性質(zhì)解決問題（如最值、范圍、方案優(yōu)化）。典型例題訓(xùn)練例1：零點(diǎn)存在性與個(gè)數(shù)判斷判斷函數(shù)\(f(x)=x^3-x-1\)在區(qū)間\((1,2)\)內(nèi)是否存在零點(diǎn)，并說明理由；若存在，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。例2：實(shí)際問題建?！麧欁畲蠡彻S生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需增加成本2萬元。產(chǎn)品售價(jià)為每件80元，若產(chǎn)量為\(x\)千件（\(x>0\)），求利潤\(L(x)\)的函數(shù)解析式，并求最大利潤。例題解析例1解析零點(diǎn)存在性：\(f(x)=x^3-x-1\)在\(\mathbb{R}\)上連續(xù)（多項(xiàng)式函數(shù)）。計(jì)算\(f(