2/82025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版2019必修第一冊第一章~第二章。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題p：，，則命題p的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】命題p：，，則命題p的否定為，,故選：D.2．與集合相等的集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】12的所以正因數(shù)有，所以.故選：B.3．已知，則與大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.4．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由可得：，當(dāng)時，，所以，則的取值范圍為，滿足其一個充分不必要條件的集合為，則為的真子集,故其一個充分不必要條件是：.故選:A.5．已知a為給定實(shí)數(shù)，那么集合的非空子集的個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．不確定【答案】B【詳解】由，則集合有2個元素，所以的非空子集個數(shù)為個.6．下列敘述正確的是（

）A．，B．命題“，”的否定是“，且”C．命題“，”的否定是真命題D．設(shè)x，，則“且”是“”的必要不充分條件【答案】C【詳解】對于A：因?yàn)?，故A錯誤；對于B：命題“，”的否定是“，或”，故B錯誤；對C：命題“，”的否定為：“，”，顯然，則命題“，”為真命題，故C正確；對于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”，故“且”是“”的充分條件，故D錯誤；故選：C.7．如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】對于，因?yàn)?，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，是偶?shù)，所以，故B錯誤；對于C，，，故錯誤；對于D，，，則，故D正確.8．已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【詳解】由題意可知：，是方程的兩根，且，則，可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故選：C.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知實(shí)數(shù)滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故A錯誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故B錯誤；因?yàn)?，，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，所以，又，所以，故D正確.故選：CD.10．已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．關(guān)于的不等式的解集為D．若，則的最大值為1【答案】ACD【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以整理得則．，解得．，即，解得，則．故選：ACD．11．已知集合恰有兩個子集，則的值可能為（

）A． B． C．4 D．【答案】AC【詳解】由，可得由題可知中只有一個元素.當(dāng)時，解得，此時，符合題意；當(dāng)時，即，則或是方程的解.當(dāng)是方程的解時，解得，此時，符合題意；當(dāng)是方程的解時，無解.故或4.故選：AC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．“方程至多有一個實(shí)數(shù)解”的一個充分不必要條件是．【答案】【詳解】“方程至多有一個實(shí)數(shù)解”的充要條件為，解得，又是的充分不必要條件．13．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以，又，所以，，所以，，所以，，解得?14．若位于第一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的一組解，則的最小值為．【答案】【詳解】由，故，故，則，故的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知集合，，．(1)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）已知“”是“”的充分不必要條件，根據(jù)充分不必要條件的定義可知集合是集合的真子集.已知，，則，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時，因?yàn)椋?，解得，此時成立；當(dāng)時，，解得.因?yàn)?，，則或，解得或，故此時.綜上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．（15分）已知函數(shù)，，(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求不等式的解集；【答案】(1)；(2)答案見解析；【詳解】（1）不等式，當(dāng)時，恒成立，則；當(dāng)時，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，或；當(dāng)時，；當(dāng)時，或，所以當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.17．（15分）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點(diǎn)，某企業(yè)計(jì)劃加大對空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？(2)是否存在實(shí)數(shù)m，同時滿足兩個條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)75人；(2)存在，7【詳解】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員人數(shù)為，年人均投入為萬元，則，解得，又，所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人;（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件.由技術(shù)人員年人均投入不減少得,解得.由研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入有,兩邊同除以得,整理得,故有,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,又因?yàn)?所以當(dāng)時,取得最大值7,所以,，即存在這樣的m滿足條件，其值為7.18．（17分）若集合具有以下性質(zhì)：①，；②若，，則，且時，.則稱集合A是“好集”.(1)分別判斷集合，有理數(shù)集是不是“好集”，并說明理由；(2)設(shè)集合是“好集”，求證:若，，則；(3)對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.命題：若，，則必有；命題：若，，且，則必有.【答案】(1)集合不是“好集”，有理數(shù)集是“好集”，理由見解析；(2)證明見解析；(3)命題、均為真命題，理由見解析【詳解】（1）（1）集合不是“好集”.理由：假設(shè)集合是“好集”.因?yàn)椋?，所以，這與矛盾，所以集合B不是“好集”.有理數(shù)集是“好集”.理由：因?yàn)?，，對任意的，，有，且時，，所以有理數(shù)集是“好集”.（2）證明:因?yàn)榧鲜恰昂眉保?，若，，則，即.所以，即.（3）命題、均為真命題，理由如下：對任意一個“好集”，任取，，若，中有0或1時，顯然.若，均不為0，1，由定義可知，，，所以，即，所以.由（2）可得，即.同理可得.若或，則.若且，則.所以，所以.由（2）可得，所以.綜上可知，，即命題為真命題，若，且，則，所以，即命題q為真命題.19．（17分）關(guān)于實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是解決等式或不等式問題的邏輯基礎(chǔ)．兩個正數(shù)的大小關(guān)系是完全確定的，但通過運(yùn)算就會產(chǎn)生非常奇妙的變化基本不等式就是其中之一．通過運(yùn)算（代數(shù)變形）可以解決很多關(guān)于基本不等式的問題．例如此題：已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_____．其解法如下：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因此的最小值為3.根據(jù)上述材料解決以下問題．(1)已知為正實(shí)數(shù)，且，求證：；(2)已知，且，則的最小值是多少?(3)某同學(xué)在解決題目“已知為正實(shí)數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值