/2025-2026學年高二數(shù)學上學期第一次月考卷全解全析（考試時間：120分鐘，分值：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：北師大版必修第一冊第一章預備知識。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率為，則的值為（

）A． B． C．4或 D．或1.【答案】D【解析】當?shù)慕裹c在軸上時，，易知，則，解得；當?shù)慕裹c在軸上時，，易知，則，解得，所以的值為或.故選：D.2．已知圓上所有點都在第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.【答案】C【解析】由題意，在圓中，，∴圓心坐標為，半徑為3．∵圓上所有點都在第二象限，∴，解得．故選：C.3．已知直線：繞點逆時針旋轉得到直線，則的斜截式方程為（

）A． B．C． D．3.【答案】B【解析】直線，其斜率，設其傾斜角為，則，又因為傾斜角，所以．直線繞點逆時針旋轉，則直線的傾斜角．直線的斜率．又因為直線過點，所以直線的斜截式方程為．故選：B．4．2024年10月22日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征六號運載火箭，成功將天平三號、、衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預定軌道，發(fā)射任務獲得圓滿成功．如圖，假設天平三號衛(wèi)星運動的軌道是以地球的球心為一個焦點的橢圓，已知地球的直徑約為1.3萬千米，衛(wèi)星運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，運動至遠地點距離地球表面高度約3.35萬千米，則天平三號衛(wèi)星運行的軌跡方程可以為（

）A． B．C． D．4.【答案】A【解析】由題意知，衛(wèi)星的運動軌跡為橢圓，地球的球心為該橢圓的一個焦點.設橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，由題可知，，即．因為天平三號衛(wèi)星運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，地球半徑約為0.65萬千米，所以，可得，因此，結合選項可知A滿足．故選：A.5．已知直線與圓相交于A，B兩點，則當取最小值時，（

）A． B． C． D．05.【答案】B【解析】，故過定點，又，故在圓內，

所以當⊥時，取最小值，此時，又，所以.故選：B.6．若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍為（

）．A． B．C． D．6.【答案】A【解析】因為直線的斜率存在，所以，圓整理為，圓心坐標為，半徑為，要求圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離應小于等于，，，，設直線的斜率為，則，，直線的斜率的取值范圍是.故選：A.7．如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上的點，△PF1F2的內切圓的圓心為，延長，交軸于點，若，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．7.【答案】B【解析】解法一：因為是△PF1由內角平分線定理得，則，所以，故選：B．解法二：設內切圓的半徑為，則，，所以，由已知條件，得，所以，得，即，故選：B．8．在平面直角坐標系中，已知動點到兩直線與的距離之和為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8.【答案】C【解析】將直線與化為一般式為，所以到兩直線的距離之和為，所以①．當時，①式變形為；當時，①式變形為；當時，①式變形為；當時，①式變形為．則動點的軌跡為如圖所示的四邊形的邊，的幾何意義為四邊形邊上任意一點與連線的斜率．由，得，由，得,，，，，所以的取值范圍是．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線在軸上的截距為1 B．直線與直線之間的距離為C．直線的一個方向向量為 D．直線與直線垂直9.【答案】BD【解析】對于A，令得，直線在軸上的截距為，故A錯誤；對于B，直線與直線平行，直線與直線之間的距離為，故B正確；對于C，直線的斜率為，以為方向向量的直線的斜率為3，故C錯誤；對于D，由，得，故D正確．故選：BD.10．已知P為圓O：上的動點，直線l：與x，y軸分別交于M，N兩點，Q為直線上的動點，過點Q作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，則（

）A．若點，則的最小值為B．△PMN的最小面積是4C．若，則Q點坐標為或D．四邊形周長的最小值為10.【答案】ACD【解析】由題意得，，，因為點在圓內，點在圓外，所以可知的最小值，即為當M，P，C三點共線時的值，，A正確；由題意得，，圓O的圓心到直線l的距離，所以點P到該直線距離的最小值為，所以，B錯誤；當時，，，所以，所以．設，則解得或所以點Q的坐標為或，C正確；四邊形的周長為，因為，所以四邊形的周長為．設，當時，取得最小值，此時也取得最小值，則，則四邊形的周長為，則當t取最小值時，四邊形的周長最小，最小值為，D正確．故選：ACD.11．如圖，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.已知橢圓，其左、右焦點分別是，，為橢圓上任意一點，直線與橢圓相切于點，過點與垂直的直線與橢圓的長軸交于點，，點，給出下列四個結論，正確的是（

）A．△PF1FB．的最大值為8C．若，則D．若，垂足為，則11.【答案】ACD【解析】由橢圓方程可知：，，.對于A：當點為短軸頂點時，△PF1F2對于B：因為，則，可得，當且僅當為線段與橢圓的交點時，取到最大，所以的最大值為7，故B錯誤；對于C：由橢圓的光學性質，得點與垂直的直線為角的角平分線，則，設，則，，可得，，，，則，即，整理可得，解得或，當時，，與重合，不合題意，所以，即，故C正確：對于D：如圖，延長，交于點，則在中，，，則且為中點，連，在△F1F2則點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，即，故D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線．若，則實數(shù)的值為．12.【答案】2【解析】因為，所以，解得或.當時，，符合題意.當時，，兩直線重合，不合題意.綜上，.故答案為：2.13．已知直線的斜率小于，且經過點，并與坐標軸交于兩點，，當△ABC的面積取得最小值時，直線的斜率為.13.【答案】【解析】設直線l的方程為，令，得，令，得.則和坐標軸的交點為，.所以，可得△ABC的面積為，當且僅當，即等號成立；故答案為：.14．已知，分別是橢圓：的左、右焦點，P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為．14.【答案】【解析】如圖，連接，設，則，由橢圓的定義得，所以，，．又為以線段直徑的圓上，則，在中，，即，得，則，所以直線的斜率為，

故答案為：-2.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知在△ABC中，，，點是此三角形的重心.（1）求邊所在直線的一般式方程；（2）若直線經過點且在軸、軸上的截距相等，求直線的斜截式方程.15．（13分）【解析】（1）設交于，則為的中點，設，因為點是三角形的重心，所以，所以，所以，，所以，所以，故，解得.邊所在直線的方程為，即.（2）當在軸、軸上的截距為0時，易知直線方程為：，當截距不為0時，設直線方程為：，因為點在直線上，所以，可得，即直線方程為：；綜上所述：直線方程為或.16．（15分）已知為坐標原點，直線過定點，設圓的半徑為2，圓心在直線：上.（1）若圓心也在直線上，求過點與圓相切的直線方程；（2）若圓上存在點，使得，求圓心的橫坐標的取值范圍.16．（15分）【解析】（1）因為直線可化為，令，則，故，聯(lián)立，解得，則圓心，因為圓的半徑為2，所以圓的方程為，當所求直線斜率不存在時，此時直線方程為，易知與圓相切，符合題意；當所求直線斜率存在時，設所求圓的切線方程為，即,所以圓心到直線的距離為，解得,所以切線方程為，即,綜上所述，所求圓的切線方程為或.（2）因為圓的圓心在直線：上，故設圓心為，則圓的方程為，又因為，故，所以設為，則，設為圓，圓心，半徑為，則點應該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，所以，所以，由，解得，由，解得，綜上，的取值范圍為2?14217．（15分）已知圓心為的動圓與：外切，與：內切.（1）求的軌跡方程；（2）過點的直線與的軌跡交于，兩點，且為線段的中點，求坐標原點關于直線的對稱點的坐標.17．（15分）【解析】（1）設動圓M的半徑為r，的圓心，半徑；的圓心，半徑.圓相內切，因為動圓M與外切，所以；動圓M與內切，所以，則.又.因為，根據(jù)橢圓的定義，點M的軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓.則，，根據(jù)，可得.所以M的軌跡方程為.（2）設，.因為A，B在橢圓上，所以.兩式相減得：.因為N為線段AB的中點，所以，.則直線AB的斜率.直線AB的方程為，即.設點P，則，即.又中點在直線AB上，所以.將代入上式得：.解得，.所以點P的坐標為.18．（17分）已知圓過點，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）已知平面上有兩點，點是圓上的動點，求的最小值；（3）若是x軸上的動點，與圓相切，切點分別為，試問直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．18．（17分）【解析】（1）因為圓心在直線上，所以設，由圓過點，可得，即，所以，整理得，解得，所以圓心為，半徑，所以圓的方程為.（2）設，則，因為，所以的最小值為.（3）設，則以為直徑的圓的圓心為，記，半徑為，則此圓的方程為，即，記此圓為D.因為直線為圓與圓的相交弦所在直線，所以兩圓方程作差可得直線的方程為，即.由，解得所以直線恒過定點，定點坐標為.19．（17分）定義：由橢圓的一個焦點和長軸的一個頂點（焦點與頂點在同一邊）和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“焦頂三角形”，如果兩個橢圓的”焦頂三角形”相似，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比，下列問題中（對應圖1，對應圖2）.（1）判斷橢圓與橢圓是否是“相似橢圓”?若是，求出相似比；若不是，請說明理由；（2）證明：兩個橢圓是“相似橢圓”的充要條件是離心率相等；（3）已知橢圓橢圓的離心率為，與是“相似橢圓”，且與的相似比為，若△AF2B的面積為，求△A′F1'F2'的面積（用，，表示）.19．（17分）【解析】（1）解:這兩個橢圓是“相似橢圓”，相似比為，理由如下：橢圓中，橢圓中，，則所以兩個橢圓的”焦頂三角形”相似，則這兩個橢圓是“相似橢圓”，且相似比為（2）