§7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積課標要求1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相

且

多邊形互相

且

側(cè)棱相交于

但不一定相等延長線交于

側(cè)面形狀(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，于底面

相交于

延長線交于

軸截面?zhèn)让嬲归_圖2.直觀圖(1)畫法：常用.(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'軸的夾角為45°或135°.②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝

S圓錐側(cè)＝

S圓臺側(cè)＝

4.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側(cè)+2S底V＝

錐體S表＝S側(cè)+S底V＝

臺體S表＝S側(cè)+S上+S下V＝

球S表＝

V＝

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形.()(2)圓臺的母線長都相等.()(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.()(4)錐體的體積等于底面積與高之積.()2.已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則該三棱柱的體積為()A.43 B.33 C.23 D.33.用斜二測畫法作一個水平放置的邊長為6的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為()A.36 B.182 C.92 D.94.已知某圓錐的側(cè)面積是其底面積的兩倍，則圓錐的高與底面半徑的比值為.1.掌握三個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝24S原圖形，S原圖形＝22S直觀圖2.關(guān)于幾何體的表面積和側(cè)面積的兩個注意點(1)幾何體的側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.(2)組合體的表面積應注意重合部分的處理.題型一基本立體圖形命題點1結(jié)構(gòu)特征例1(多選)下列說法中正確的是()A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長方體是直四棱柱C.用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺D.球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面命題點2直觀圖例2已知正△ABC的邊長為a，那么水平放置的△ABC的直觀圖△A'B'C'的面積是()A.34a2 B.38C.68a2 D.616命題點3展開圖例3如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長SA＝3，一只螞蟻從A點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點A，則螞蟻爬行的最短距離為()A.23 B.33C.6 D.2π思維升華(1)辨別空間幾何體的兩種方法①定義法：緊扣定義進行判定；②反例法：要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可.(2)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段：平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.(3)在解決空間曲線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化.跟蹤訓練1(1)下列說法正確的是()A.棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫做側(cè)棱B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐C.有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺D.直角三角形以其一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體不一定是圓錐(2)(2024·臺州統(tǒng)考)如圖，用斜二測畫法作水平放置的四邊形ABCD的直觀圖為矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝1，B'C'＝1，則四邊形ABCD的周長為()A.62 B.122 C.8 D.10(3)如圖在一根高為11cm，外圓周長為6cm的圓柱體外表面纏繞一根細鐵絲，組成10個螺旋，如果鐵絲的兩端恰好落在圓柱的同一條母線的兩端，則鐵絲長度的最小值為()A.61cm B.157cmC.2021cm D.1037cm題型二表面積與體積命題點1表面積例4(1)已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個圓心角為4π3的扇形，則該圓錐的表面積為(A.4π B.6π C.10π D.16π(2)(2025·遼寧省名校聯(lián)盟模擬)已知圓臺的上、下底面的面積分別為4π，36π，側(cè)面積為64π，則該圓臺的高為.命題點2體積例5(1)(2024·武漢模擬)“極目一號”Ⅲ型浮空艇(如圖1)是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的，它曾多次成功完成大氣科學觀測，彰顯了中國的實力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55m，高19m，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為(參考數(shù)據(jù)：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)()A.9064m3 B.9004m3C.8944m3 D.8884m3(2)(2025·包頭模擬)如圖，已知圓柱的軸截面為正方形ABCD，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)為上底面圓周上的兩個動點，且EF過上底面的圓心G，若AB⊥EF，則三棱錐A－BEF的體積為()A.23 B.43 C.22思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓練2(1)(2024·新課標全國Ⅰ)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為()A.23π B.33π C.63π D.93π(2)(多選)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P為BC1的中點，則()A.三棱錐A－BCC1的體積為4B.三棱錐C－APC1的體積為5C.四棱錐C1－ABB1A1的體積為8D.三棱錐C1－ABC的表面積為14+213

答案精析落實主干知識1.(1)平行全等平行相似平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形(2)垂直一點一點矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)2.(1)斜二測畫法(2)②分別平行于坐標軸不變一半3.2πrlπrlπ(r1+r2)l4.Sh1313(S上+S下+S上4πR243πR3自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.C[在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，所以S△ABC＝12×2×2×sin60°＝3所以V三棱柱ABC-A1B1C1＝S3.C[在斜二測畫法中，直觀圖面積是原圖形面積的24，而邊長為6的正方形面積為36，所以所求的直觀圖的面積為24×36＝924.A[由題可知圓錐的高h＝4-1＝所以圓錐的體積V＝13×π×12×3＝探究核心題型例1BD[對于A，各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，故A錯誤；對于B，易知長方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；對于C，根據(jù)圓臺的定義，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分為圓臺，故C錯誤；對于D，球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確.]例2D[方法一如圖，水平放置的△ABC的直觀圖為△A'B'C'，由題意可知AB＝a，OC＝32a則A'B'＝a，O'C'＝34a過點C'作C'D'⊥A'B'于點D'，則C'D'＝22＝22×34a＝6所以△A'B'C'的面積為12a×68a＝616方法二由S直觀圖＝24S原圖形△A'B'C'的面積為24×34a2＝616a例3B[已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，如圖，一只螞蟻從A點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點A的最短距離為AA'，設∠ASA'＝α，圓錐底面周長為2π，所以AA'＝α×3＝2π，所以α＝2π3在△SAA'中，由SA＝SA'＝3，得AA'＝S＝3＝33.]跟蹤訓練1(1)D[對于A，底面和側(cè)面的公共邊不是側(cè)棱，A錯誤；對于B，底面是正多邊形的棱錐，頂點與底面中心的連線不一定垂直于底面，因此它不一定是正棱錐，B錯誤；對于C，兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺，還要滿足各側(cè)棱的延長線交于一點，C錯誤；對于D，直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，以其斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是由兩個共底的圓錐組合而成，D正確.](2)D[由題設，知原四邊形中AB＝CD＝A'B'＝C'D'＝2，且AB∥CD，所以原四邊形ABCD為平行四邊形，而O'C'＝2，則原四邊形中OC＝22，且OC⊥AB(O為AB的中點)，故AD＝BC＝OC2+綜上，四邊形ABCD的周長為2(AB+AD)＝10.](3)A[∵圓柱體的高為11cm，外圓周長為6cm，又鐵絲在柱體上纏繞10圈，且鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一條母線的兩端，則我們可以得到將圓柱側(cè)面展開后的平面圖形，如圖所示，其中每一個小矩形的寬為圓柱的外圓周長6cm，高為圓柱的高11cm，則大矩形的對角線即為鐵絲長度的最小值，此時鐵絲長度的最小值為112+602＝61(例4(1)C[因為圓錐的底面半徑r＝2，所以底面積S底＝πr2＝4π，底面周長L＝2πr＝4π，母線長l＝L4π3＝3，圓錐側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝6π，故圓錐的表面積為S底+S側(cè)＝4π+6π＝10π(2)43解析作圓臺的軸截面，如圖.由題意得圓臺的上、下底面的半徑分別為2，6，設圓臺的母線長為l，高為h，則該圓臺的側(cè)面積S側(cè)＝π×(2+6)×l＝64π，解得l＝8，所以h＝l2-(6-2)2例5(1)A[由題圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為R＝192＝9.5(m)，而圓臺另一個底面的半徑為r＝1m則V半球＝12×43×π×9.≈17143π(m3)V圓柱＝π×9.52×14≈1260π(m3)，V圓臺＝13×(9.52π+9.52π×π+π)×31.5≈3166所以V＝V半球+V圓柱+V圓臺≈17143π+1260π+3166≈9064(m3).](2)B[如圖，設圓柱的下底面的圓心為O，連接AG，BG，OG，因為EF⊥AB，EF⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，且EF＝2，S△ABG＝12AB×OG＝2所以V三棱錐A－BEF＝13S△ABG＝13×2×2＝43跟蹤訓練2(1)B[設圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長為r2而它們的側(cè)面積相等，所以2πr×3＝πr×3+r即23＝3+r2，故故圓錐的體積為13π×9×3＝33π.(2)AC