§3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(二)課標(biāo)要求1.會根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍.2.會利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、比較大小.題型一根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)范圍例1已知函數(shù)f(x)＝lnx－12ax2－2x(a≠0)(1)若f(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思維升華由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立.(2)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·新高考全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為()A.e2 B.eC.e－1 D.e－2(2)(2025·滄州模擬)若函數(shù)f(x)＝2x－3x－tlnx在(1，3)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(A.(26，7) B.(7，＋∞)C.[7，＋∞) D.[26，7]題型二利用單調(diào)性比較大小例2(1)(多選)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)2(x－4)，則()A.x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<f(x2)C.當(dāng)1<x<2時(shí)，－4<f(2x－1)<0D.當(dāng)－1<x<0時(shí)，f(2－x)>f(x)(2)若a＝14ln14，b＝23ln23，c＝－1A.c<b<a B.b<c<aC.c<a<b D.b<a<c常見組合函數(shù)的圖象在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中常用到以下函數(shù)，記住以下的函數(shù)圖象對解題有事半功倍的效果.典例(多選)如果函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意兩實(shí)數(shù)x1，x2(x1≠x2)都有x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2>0，則稱函數(shù)y=fA.f(x)=ex B.f(x)=x2C.f(x)=lnx D.f(x)=sinx思維升華利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件判斷已知(或構(gòu)造后的)函數(shù)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx－xex，設(shè)a＝f

32，b＝f(2)，c＝f

73A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b(2)(2024·貴州模擬)已知a＝ln(2e)，b＝e＋1e，c＝ln55＋1，則a，b，cA.c>a>b B.b>a>cC.a>b>c D.b>c>a題型三利用單調(diào)性解不等式例3(2024·南充模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx＋ex－e－x－x，則滿足f(x)＋f(3－2x)<0的x的取值范圍是()A.(－∞，1) B.(1，＋∞)C.(3，＋∞) D.(－∞，3)思維升華利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后把不等式兩邊化成函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值即可，易忽視函數(shù)的定義域.跟蹤訓(xùn)練3(2025·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝12x2－2x＋lnx.若f(a＋1)≥f(2a－1)，則a的取值范圍是(A.(－∞，－1] B.(－1，2]C.[2，＋∞) D.12

答案精析例1解(1)因?yàn)閒(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f'(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x設(shè)G(x)＝1x2－2x，x∈[所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x-12因?yàn)閤∈[1，4]，所以1x∈1所以G(x)max＝－716(此時(shí)x＝4)所以a≥－716又因?yàn)閍≠0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-716，0∪(0，(2)因?yàn)閒(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則f'(x)<0在[1，4]上有解，所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，a>1x又當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，1x2-2xmin＝－1(所以a>－1，又因?yàn)閍≠0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1，0)∪(0，＋∞).跟蹤訓(xùn)練1(1)C[依題可知，f'(x)＝aex－1x≥0在(1，2)上恒成立，顯然a>0所以xex≥1a在(1，2)設(shè)g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g'(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(1)＝e，故e≥1a即a≥1e＝e－1，即a的最小值為e－1.(2)A[函數(shù)f(x)＝2x－3x－tlnx，求導(dǎo)得f'(x)＝2＋3依題意，f'(x)在(1，3)上有變號零點(diǎn)，由f'(x)＝0，得t＝2x＋3x函數(shù)t＝2x＋3x在1，62上單調(diào)遞減，26<t<5；在62，3上單調(diào)遞增，26<t<7，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(例2(1)ACD[對于A，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f'(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，故x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)，故A正確；對于B，當(dāng)0<x<1時(shí)，x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，由A選項(xiàng)分析可知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(x2)，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)1<x<2時(shí)，1<2x－1<3，由A選項(xiàng)分析可知，函數(shù)f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減，所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，即－4<f(2x－1)<0，故C正確；對于D，當(dāng)－1<x<0時(shí)，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)>0，所以f(2－x)>f(x)，故D正確.](2)C[因?yàn)閏＝－1e＝1ea＝14ln14＝1構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlnx，x∈(0，＋∞)，則f'(x)＝lnx＋1，令f'(x)>0，解得x>1e令f'(x)<0，解得0<x<1e可得f(x)在0，1e且1e<12<所以c＝f

1e<a＝f

12<b＝f

23，即c<a<微拓展典例ACD[依題意，函數(shù)g(x)＝xf(x)為定義域上的增函數(shù).對于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，g'(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，故A中函數(shù)不是“F函數(shù)”；對于B，g(x)＝x3在R上為增函數(shù)，故B中函數(shù)為“F函數(shù)”；對于C，g(x)＝xlnx，g'(x)＝1＋lnx，x>0，當(dāng)x∈0，1e時(shí)，g'(x∴g(x)在0，故C中函數(shù)不是“F函數(shù)”；對于D，g(x)＝xsinx，g'(x)＝sinx＋xcosx，當(dāng)x∈-π2，0時(shí)，g'(∴g(x)在-π故D中函數(shù)不是“F函數(shù)”.]跟蹤訓(xùn)練2(1)C[易知f'(x)＝1x當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f'(x)＝1x＋所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故f

73>f(2)>f

3即c>b>a.](2)B[由題意，a＝ln22＋1b＝lnee＋1，c＝ln55＋設(shè)f(x)＝lnxx，則f'(x)＝當(dāng)0<x<e時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)max＝f(e)＝1e則1e>ln55，1e即b>c，b>a；由ln55－可知c<a，故b>a>c.]例3C[f(x)＝sinx＋ex－e－x－x，∴f(－x)＝－sinx＋e－x－ex＋x＝－f(x)，∴f(x)為R上的奇函數(shù)，又f'(x)＝cosx＋ex＋e－x－1≥cosx＋2－1＝1＋cosx≥0，則f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(x)＋f(3－2x)<0，∴f(x)<－f(3－2x)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(x)<f(2x－3