大學(xué)極限函數(shù)題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，下列函數(shù)中與\(x\)是等價(jià)無窮小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^{x}-1\)答案：C2.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}\)的值為（）A.0B.1C.3D.不存在答案：C3.已知\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=2\)，則\(f^\prime(a)\)等于（）A.0B.1C.2D.不存在答案：C4.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的值是（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在答案：B5.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(o(x)\)表示（）A.比\(x\)高階的無窮小B.比\(x\)低階的無窮小C.與\(x\)同階但不等價(jià)的無窮小D.與\(x\)等價(jià)的無窮小答案：A6.極限\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+2}\)的值為（）A.\(e\)B.\(e^{2}\)C.\(e^{3}\)D.\(e^{-1}\)答案：A7.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=B\)，且\(B\neq0\)，則\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\)（）A.\(\frac{A}{B}\)B.\(A-B\)C.\(A+B\)D.\(AB\)答案：A8.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的極限（）A.等于2B.等于0C.不存在D.等于1答案：A9.極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\)的值為（）A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.2答案：B10.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^{2}+\sinx\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但不等價(jià)無窮小D.等價(jià)無窮小答案：C二、多項(xiàng)選擇題1.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)答案：ABD2.以下哪些函數(shù)在\(x\to0\)時(shí)是無窮?。ǎ〢.\(x\sin\frac{1}{x}\)B.\(\frac{\sinx}{x}\)C.\(e^{x}-1\)D.\(\ln(1+x)\)答案：ACD3.下列關(guān)于極限運(yùn)算法則的說法正確的是（）A.\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\tox_0}f(x)+\lim_{x\tox_0}g(x)\)（前提是\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)和\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)都存在）B.\(\lim_{x\tox_0}[f(x)g(x)]=\lim_{x\tox_0}f(x)\cdot\lim_{x\tox_0}g(x)\)（前提是\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)和\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)都存在）C.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\tox_0}f(x)}{\lim_{x\tox_0}g(x)}\)（前提是\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)都存在且\(\lim_{x\tox_0}g(x)\neq0\)）D.\(\lim_{x\tox_0}kf(x)=k\lim_{x\tox_0}f(x)\)（\(k\)為常數(shù)，\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在）答案：ABCD4.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，下列函數(shù)極限為0的有（）A.\(\frac{1}{x^{2}}\)B.\(\frac{\sinx}{x}\)C.\(\frac{1}{x+1}\)D.\(e^{-x}\)答案：ABC5.下列說法正確的是（）A.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，則\(f(x)\)在\(x_0\)點(diǎn)有定義B.若\(f(x)\)在\(x_0\)點(diǎn)無定義，則\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)一定不存在C.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x\tox_0\)時(shí)極限存在的充要條件是左極限和右極限都存在且相等D.無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小答案：CD6.下列極限為\(e\)的是（）A.\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)C.\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)D.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)答案：ABCD7.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)為同階無窮小的有（）A.\(2x\)B.\(x+x^{2}\)C.\(\sqrt{x}\)D.\(\sinx\)答案：ABD8.下列極限計(jì)算正確的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{x}=2\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^{2}}=\frac{1}{2}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=\frac{3}{2}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2\)答案：ABCD9.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=A\neq0\)，則（）A.\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]=\infty\)B.\(\lim_{x\tox_0}[f(x)g(x)]=\infty\)C.\(\lim_{x\tox_0}\frac{g(x)}{f(x)}=0\)D.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty\)答案：ABCD10.下列函數(shù)在給定趨勢(shì)下極限為1的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)答案：ACD三、判斷題1.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)和\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)都不存在，則\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（×）2.無窮小是一個(gè)非常小的數(shù)。（×）3.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^{3}\)是比\(x^{2}\)高階的無窮小。（√）4.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，則\(f(x)\)在\(x_0\)點(diǎn)連續(xù)。（×）5.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)。（√）6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x\to0\)時(shí)的極限是\(\infty\)。（√）7.等價(jià)無窮小在極限運(yùn)算中可以隨意替換。（×）8.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=\infty\)，則\(\lim_{x\tox_0}[f(x)-g(x)]=0\)。（×）9.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\tanx\)與\(x\)是等價(jià)無窮小。（√）10.極限\(\lim_{n\to\infty}q^{n}\)（\(|q|<1\)）的值為0。（√）四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述極限的定義（以\(x\tox_0\)時(shí)函數(shù)極限為例）。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對(duì)于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時(shí)的極限，記作\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)。2.說明無窮小與無窮大的關(guān)系。答案：在自變量的同一變化過程中，如果\(f(x)\)為無窮大，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮??；反之，如果\(f(x)\)為無窮小，且\(f(x)\neq0\)，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮大。例如當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)是無窮大，那么\(x\)就是無窮小。3.如何利用等價(jià)無窮小替換求極限？答案：在求極限時(shí)，若函數(shù)表達(dá)式中某部分為無窮小，且能找到與之等價(jià)的無窮小，可將其進(jìn)行替換簡(jiǎn)化計(jì)算。但要注意替換的條件，只能在乘除運(yùn)算中進(jìn)行等價(jià)無窮小替換，加減運(yùn)算中一般不能隨意替換。比如求\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^3+x}\)，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\)與\(x\)等價(jià)，可將\(\sinx\)換為\(x\)，再計(jì)算極限。4.簡(jiǎn)述兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用。答案：兩個(gè)重要極限為\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)和\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\)。在求極限問題中應(yīng)用廣泛，對(duì)于\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，可處理含有三角函數(shù)且自變量趨于0的極限；對(duì)于\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\)，常用于處理冪指函數(shù)且自變量趨于無窮的極限，通過變形轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)重要極限形式來求解。五、討論題1.討論極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{3}+2x^{2}+1}{ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\)（\(a\neq0\)）的值與\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的關(guān)系。答案：當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，分子分母同時(shí)除以\(x^{3}\)，原極限變?yōu)閈(\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{3}}}{a+\frac{x}+\frac{c}{x^{2}}+\frac11rtbfv{x^{3}}}\)。當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)，\(\frac{1}{x^{2}}\)，\(\frac{1}{x^{3}}\)都趨于0。所以極限值為\(\frac{3}{a}\)，即該極限的值只與分子分母最高次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，與\(b\)、\(c\)、\(d\)無關(guān)，僅取決于\(a\)的值。2.已知函數(shù)\(f(x)\)在\(x\tox_0\)時(shí)極限存在，\(g(x)\)在\(x\tox_0\)時(shí)極限不存在，討論\(f(x)+g(x)\)在\(x\tox_0\)時(shí)極限情況。答案：假設(shè)\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)存在，設(shè)\(