數(shù)理統(tǒng)計題庫及答案

一、單項選擇題1.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從的分布是（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^{2})\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^{2})\)答案：A2.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，且\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^{2}\)，則樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是（）A.\(\mu\)的無偏估計量B.\(\sigma^{2}\)的無偏估計量C.\(\mu\)的有偏估計量D.\(\sigma^{2}\)的有偏估計量答案：B3.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，則\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)答案：A4.在假設檢驗中，原假設\(H_0\)，備擇假設\(H_1\)，則稱（）為犯第一類錯誤。A.\(H_0\)為真，接受\(H_0\)B.\(H_0\)為真，拒絕\(H_0\)C.\(H_0\)不真，接受\(H_0\)D.\(H_0\)不真，拒絕\(H_0\)答案：B5.設總體\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x;\theta)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\theta\)是未知參數(shù)，若統(tǒng)計量\(\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)滿足\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的（）A.有效估計量B.一致估計量C.無偏估計量D.最大似然估計量答案：C6.設總體\(X\simB(1,p)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(p\)的矩估計量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)C.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)答案：A7.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，總體\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，經驗分布函數(shù)為\(F_n(x)\)，則對于任意實數(shù)\(x\)，\(F_n(x)\)依概率收斂于（）A.\(F(x)\)B.\(0\)C.\(1\)D.無法確定答案：A8.設總體\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)是來自總體\(X\)的樣本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)是來自總體\(Y\)的樣本，且兩樣本相互獨立，\(\overline{X}\)，\(\overline{Y}\)分別為兩樣本均值，\(S_1^{2}\)，\(S_2^{2}\)分別為兩樣本方差，則檢驗假設\(H_0:\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}\)所使用的統(tǒng)計量是（）A.\(F=\frac{S_1^{2}}{S_2^{2}}\)B.\(F=\frac{S_2^{2}}{S_1^{2}}\)C.\(t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^{2}}{n_1}+\frac{S_2^{2}}{n_2}}}\)D.\(z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}}}\)答案：A9.設總體\(X\)的均值\(\mu\)與方差\(\sigma^{2}\)都存在，且均為未知參數(shù)，而\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是該總體的一個樣本，記\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，則總體方差\(\sigma^{2}\)的矩估計量是（）A.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)B.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\overline{X}^2\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)答案：A10.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，總體\(X\)服從指數(shù)分布\(E(\lambda)\)，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0\)，\(\lambda\gt0\)，則\(\lambda\)的最大似然估計量為（）A.\(\frac{1}{\overline{X}}\)B.\(\overline{X}\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)D.\(\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}X_i}\)答案：D二、多項選擇題1.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則以下哪些是統(tǒng)計量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^{2}}\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)答案：AB2.以下關于點估計和區(qū)間估計的說法正確的是（）A.點估計是用一個數(shù)值去估計未知參數(shù)B.區(qū)間估計是給出未知參數(shù)的一個取值范圍C.點估計不考慮估計的誤差D.區(qū)間估計能給出估計的精度和可靠性答案：ABCD3.設總體\(X\)的均值\(\mu\)未知，方差\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，以下哪些可以作為\(\mu\)的估計量（）A.\(\overline{X}\)B.\(X_1\)C.\(\frac{1}{2}(X_1+X_2)\)D.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\)答案：ABC4.在假設檢驗中，與犯第一類錯誤的概率\(\alpha\)和犯第二類錯誤的概率\(\beta\)有關的說法正確的是（）A.\(\alpha\)增大，\(\beta\)可能減小B.\(\alpha\)減小，\(\beta\)可能增大C.在樣本容量\(n\)固定時，同時減小\(\alpha\)和\(\beta\)是不可能的D.增大樣本容量\(n\)可以同時減小\(\alpha\)和\(\beta\)答案：ABCD5.設總體\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，對總體均值\(\mu\)進行假設檢驗，當（）時，采用\(t\)檢驗法。A.\(\sigma^{2}\)已知，檢驗\(H_0:\mu=\mu_0\)B.\(\sigma^{2}\)未知，檢驗\(H_0:\mu=\mu_0\)C.大樣本情況下，\(\sigma^{2}\)已知，檢驗\(H_0:\mu=\mu_0\)D.大樣本情況下，\(\sigma^{2}\)未知，檢驗\(H_0:\mu=\mu_0\)答案：BD6.以下哪些分布是數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布（）A.正態(tài)分布B.\(t\)分布C.\(\chi^{2}\)分布D.\(F\)分布答案：ABCD7.設總體\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x;\theta)\)依賴于未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的估計量，以下哪些是評價估計量好壞的標準（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.充分性答案：ABC8.設總體\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，兩樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)和\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)相互獨立，以下哪些統(tǒng)計量可用于比較兩總體均值和方差（）A.\(t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^{2}}{n_1}+\frac{S_2^{2}}{n_2}}}\)（在一定條件下用于均值比較）B.\(F=\frac{S_1^{2}}{S_2^{2}}\)（用于方差比較）C.\(z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}}}\)（\(\sigma_1^{2},\sigma_2^{2}\)已知時用于均值比較）D.\(\chi^{2}=\frac{(n_1-1)S_1^{2}}{\sigma_1^{2}}+\frac{(n_2-1)S_2^{2}}{\sigma_2^{2}}\)（用于某種綜合比較）答案：ABC9.設總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x;\theta)\)含有未知參數(shù)\(\theta\)，為了估計\(\theta\)，可以采用的方法有（）A.矩估計法B.最大似然估計法C.區(qū)間估計法D.順序統(tǒng)計量法答案：AB10.以下關于樣本均值\(\overline{X}\)和樣本方差\(S^{2}\)的性質正確的是（）A.\(E(\overline{X})=E(X)\)B.\(D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}\)C.\(E(S^{2})=D(X)\)D.\(\overline{X}\)與\(S^{2}\)相互獨立（當總體服從正態(tài)分布時）答案：ABCD三、判斷題1.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量。（√）2.樣本方差\(S^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的有偏估計量。（×）3.在假設檢驗中，犯第一類錯誤的概率和犯第二類錯誤的概率之和為1。（×）4.若\(\hat{\theta}_1\)和\(\hat{\theta}_2\)都是\(\theta\)的無偏估計量，且\(D(\hat{\theta}_1)\ltD(\hat{\theta}_2)\)，則\(\hat{\theta}_1\)比\(\hat{\theta}_2\)更有效。（√）5.總體\(X\)的經驗分布函數(shù)\(F_n(x)\)依概率收斂于總體分布函數(shù)\(F(x)\)。（√）6.對于正態(tài)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)未知時，對\(\mu\)進行區(qū)間估計使用的是\(z\)分布。（×）7.最大似然估計一定是無偏估計。（×）8.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，若\(T(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)是統(tǒng)計量，則\(T\)中不含有任何未知參數(shù)。（√）9.在方差分析中，組間平方和與組內平方和的比值服從\(F\)分布。（√）10.若總體\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，則\(a\)和\(b\)的矩估計量是唯一的。（√）四、簡答題1.簡述矩估計法的基本