2025年方差怎么算題目及答案

一、單項選擇題1.一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差是（）A.1B.2C.3D.4答案：B2.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)的平均數(shù)是2，那么數(shù)據(jù)\(2x_1+1\)，\(2x_2+1\)，\(2x_3+1\)的方差是（）A.2B.4C.6D.8答案：D3.若一組數(shù)據(jù)\(a\)，\(b\)，\(c\)的方差是3，則數(shù)據(jù)\(a+5\)，\(b+5\)，\(c+5\)的方差是（）A.3B.8C.15D.30答案：A4.數(shù)據(jù)5，5，5，5，5的方差是（）A.0B.1C.5D.25答案：A5.一組數(shù)據(jù)2，4，6，8，10的方差為（）A.8B.10C.12D.16答案：A6.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差是\(s^2\)，則數(shù)據(jù)\(3x_1-2\)，\(3x_2-2\)，\(\cdots\)，\(3x_n-2\)的方差是（）A.\(3s^2\)B.\(9s^2\)C.\(3s^2-2\)D.\(9s^2-2\)答案：B7.一組數(shù)據(jù)1，3，5，7，9的方差是（）A.8B.10C.12D.16答案：A8.若數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_{10}\)的平均數(shù)是5，方差是3，則數(shù)據(jù)\(2x_1+3\)，\(2x_2+3\)，\(\cdots\)，\(2x_{10}+3\)的方差是（）A.6B.12C.15D.20答案：B9.數(shù)據(jù)3，4，5，6，7的方差是（）A.2B.3C.4D.5答案：A10.一組數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差為\(4\)，則數(shù)據(jù)\(\frac{1}{2}x_1\)，\(\frac{1}{2}x_2\)，\(\cdots\)，\(\frac{1}{2}x_n\)的方差是（）A.1B.2C.4D.8答案：A二、多項選擇題1.以下關于方差的說法正確的是（）A.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量B.方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大C.方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定D.一組數(shù)據(jù)的方差一定是非負數(shù)答案：ABCD2.若一組數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差是\(s^2\)，那么（）A.數(shù)據(jù)\(x_1+m\)，\(x_2+m\)，\(\cdots\)，\(x_n+m\)的方差也是\(s^2\)B.數(shù)據(jù)\(ax_1\)，\(ax_2\)，\(\cdots\)，\(ax_n\)的方差是\(a^2s^2\)C.數(shù)據(jù)\(ax_1+b\)，\(ax_2+b\)，\(\cdots\)，\(ax_n+b\)的方差是\(a^2s^2\)D.數(shù)據(jù)\(\frac{1}{a}x_1\)，\(\frac{1}{a}x_2\)，\(\cdots\)，\(\frac{1}{a}x_n\)的方差是\(\frac{1}{a^2}s^2\)答案：ABCD3.下列選項中，數(shù)據(jù)的方差為2的有（）A.1，2，3B.2，2，2C.0，2，4D.1，1，3答案：AC4.對于數(shù)據(jù)1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，以下說法正確的是（）A.平均數(shù)是3B.方差是\(\frac{4}{5}\)C.眾數(shù)是4D.中位數(shù)是3答案：ABCD5.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差為\(s^2\)，另一組數(shù)據(jù)\(y_1\)，\(y_2\)，\(\cdots\)，\(y_m\)的方差為\(t^2\)，若將這兩組數(shù)據(jù)合并成一組新數(shù)據(jù)\(z_1\)，\(z_2\)，\(\cdots\)，\(z_{n+m}\)，則以下說法正確的是（）A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)與\(n\)，\(m\)以及兩組數(shù)據(jù)各自的平均數(shù)有關B.新數(shù)據(jù)的方差與\(n\)，\(m\)以及兩組數(shù)據(jù)各自的方差有關C.新數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能是原兩組數(shù)據(jù)眾數(shù)中的一個或兩個D.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能在原兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)之間答案：ABCD6.以下數(shù)據(jù)中，方差與數(shù)據(jù)2，4，6的方差相同的有（）A.1，3，5B.3，5，7C.4，6，8D.5，7，9答案：ABCD7.關于方差的計算，以下正確的是（）A.先計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)B.用每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)C.方差是反映數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量D.方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方答案：ABCD8.若一組數(shù)據(jù)\(a\)，\(b\)，\(c\)的平均數(shù)是3，方差是2，則（）A.\(a+b+c=9\)B.\((a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2=6\)C.數(shù)據(jù)\(2a\)，\(2b\)，\(2c\)的方差是8D.數(shù)據(jù)\(a+1\)，\(b+1\)，\(c+1\)的方差是2答案：ABCD9.一組數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)，其方差的計算步驟包括（）A.計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)\(\overline{x}\)B.計算\((x_i-\overline{x})^2\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）C.計算\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\)D.用\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\)除以\(n\)得到方差答案：ABCD10.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的方差是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的量B.若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則它們的波動情況相同C.數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都與數(shù)據(jù)的排列順序無關D.方差為0的數(shù)據(jù)是一組相等的數(shù)據(jù)答案：ABCD三、判斷題1.方差越大，數(shù)據(jù)越集中在平均數(shù)附近。（×）2.一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù)。（×）3.若一組數(shù)據(jù)的方差為0，則這組數(shù)據(jù)都相等。（√）4.數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)與數(shù)據(jù)\(x_1+k\)，\(x_2+k\)，\(\cdots\)，\(x_n+k\)的方差相同。（√）5.數(shù)據(jù)\(ax_1\)，\(ax_2\)，\(\cdots\)，\(ax_n\)的方差是數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)方差的\(a\)倍。（×）6.方差是衡量數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的唯一指標。（×）7.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則它們的方差也相同。（×）8.數(shù)據(jù)\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)的方差是1。（×）9.計算方差時，不需要先計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)。（×）10.若一組數(shù)據(jù)的波動越小，則其方差越小。（√）四、簡答題1.簡述方差的計算公式，并說明公式中各部分的含義。答案：方差計算公式為\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]\)。其中\(zhòng)(n\)是數(shù)據(jù)的個數(shù)，\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)是這組數(shù)據(jù)的各個值，\(\overline{x}\)是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。方差\(s^2\)用來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。2.已知一組數(shù)據(jù)\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，求這組數(shù)據(jù)的方差。答案：首先求平均數(shù)\(\overline{x}=\frac{3+4+5+6+7}{5}=5\)。然后計算方差，\((3-5)^2=4\)，\((4-5)^2=1\)，\((5-5)^2=0\)，\((6-5)^2=1\)，\((7-5)^2=4\)。方差\(s^2=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)=2\)。3.說明方差在實際生活中的應用舉例。答案：在實際生活中，方差應用廣泛。比如在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，比較不同品種農(nóng)作物產(chǎn)量的穩(wěn)定性，方差小的品種產(chǎn)量更穩(wěn)定。在工業(yè)生產(chǎn)里，檢測產(chǎn)品質(zhì)量，方差小意味著產(chǎn)品質(zhì)量更均勻、可靠。在投資領域，分析不同投資產(chǎn)品收益的穩(wěn)定性，方差小的產(chǎn)品收益波動小，風險相對較低。4.一組數(shù)據(jù)的方差為\(s^2\)，將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以\(k\)，得到新的數(shù)據(jù)組，求新數(shù)據(jù)組的方差。答案：設原數(shù)據(jù)為\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)，平均數(shù)為\(\overline{x}\)，方差\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]\)。新數(shù)據(jù)為\(kx_1\)，\(kx_2\)，\(\cdots\)，\(kx_n\)，新平均數(shù)為\(k\overline{x}\)。新方差\(s_1^2=\frac{1}{n}[(kx_1-k\overline{x})^2+\cdots+(kx_n-k\overline{x})^2]=k^2\times\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]=k^2s^2\)。五、討論題1.討論方差與標準差的關系與區(qū)別，以及在實際應用中各自的優(yōu)勢。答案：方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，標準差是方差的算術平方根。關系緊密，標準差是方差的一種“再處理”。區(qū)別在于單位不同，方差單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，標準差單位與原數(shù)據(jù)相同。在實際應用中，方差計算簡單，能直觀反映數(shù)據(jù)波動大小。標準差單位與原數(shù)據(jù)一致，更便于理解數(shù)據(jù)偏離程度，在衡量數(shù)據(jù)離散程度時更符合日常認知，如身高、體重數(shù)據(jù)用標準差更直觀。2.在數(shù)據(jù)分析中，除了方差還有哪些指標可以衡量數(shù)據(jù)的離散程度？它們與方差相比有什么特點？答案：除方差外，還有極差、四分位數(shù)間距等指標衡量數(shù)據(jù)離散程度。極差是一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值，計算簡單，能反映數(shù)據(jù)的最大跨度，但易受極端值影響。四分位數(shù)間距是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，對極端值不敏感，能較好反映中間部分數(shù)據(jù)的離散情況。與方差相比，極差和四分位數(shù)間距計算簡單直觀，但方差綜合考慮了所有數(shù)據(jù)，能更全面反映數(shù)據(jù)的離散程度，且在理論分析中有重要作用。3.舉例說明在不同領域中，如何根據(jù)方差的大小來做出決策。答案：在體育領域，選拔運動員時，若比較兩位運動員比賽成績的方差，方差小的運動員成績更穩(wěn)定，可能更適合參加重要賽事。在制造業(yè)，對比不同生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量方差，方差小的生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量更均勻，應優(yōu)先采用或加大生產(chǎn)規(guī)模。在教育領域，分析學生考試成績的方差