第頁(yè)2．2.2直線的兩點(diǎn)式方程知識(shí)點(diǎn)直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程名稱兩點(diǎn)式截距式條件兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過原點(diǎn)【題型目錄】題型一、直線的兩點(diǎn)式方程題型二、直線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積問題題型二、直線的截距式方程題型一、直線的兩點(diǎn)式方程1．已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則該直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程求解即可.【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可得該直線方程為，即，化簡(jiǎn)可得.故選：B2．如果直線l過，兩點(diǎn)，點(diǎn)在l上，那么b的值為______.【答案】2023【分析】利用兩點(diǎn)式求出直線l的方程，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可.【詳解】直線l的方程為：，即，因?yàn)樵趌上，所以，解得：.故答案為：20233．在中，已知點(diǎn)，，．求邊上中線所在直線的兩點(diǎn)式方程．【答案】【分析】先求得線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再代入直線的兩點(diǎn)式方程即可解決.【詳解】因?yàn)?，，所以線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為．又BC邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)，所以BC邊上中線的兩點(diǎn)式方程為．4．入射光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過直線反射后，通過點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程．【答案】【分析】結(jié)合光反射的性質(zhì)求出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合兩點(diǎn)式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，所以所求的直線方程為．即：.題型二、直線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積問題5．若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線l的方程為________.【答案】或【分析】由題意可得直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等且不為0，設(shè)直線方程為，其中，根據(jù)三角形面積即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，所以直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等且不為0.設(shè)直線方程為，則.因?yàn)椋?，所以，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線方程為或.故答案為:或.6．已知直線過點(diǎn)，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程．【答案】x＋2y－4＝0【分析】方法一：設(shè)直線的方程為，則，然后表示出的面積，利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出直線的方程，方法二：設(shè)直線：，則，然后利用基本不等式可得，從而可求出其最小值，進(jìn)而可求出直線的方程.【詳解】方法一：由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故直線的方程為，即.方法二：設(shè)直線：，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，此時(shí)，故直線的方程為，即.題型二、直線的截距式方程7．若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線方程為________【答案】或或【分析】分直線在兩坐標(biāo)軸上截距絕對(duì)值相等且不等于0和等于0兩種情況，分別設(shè)直線方程為或和，進(jìn)而即得.【詳解】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距絕對(duì)值相等且不等于0，設(shè)方程為或，∵直線過∴或，∴或，∴或②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸截距絕對(duì)值相等且等于0時(shí)，設(shè)方程為，∵直線過，∴，∴，∴，綜上所述，方程為或或.故答案為：或或.8．在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若,則直線的方程是_________.【答案】.【詳解】分析：設(shè)，由列方程組求出，利用截距式可得結(jié)果.詳解：設(shè)，由，可得，則，由截距式可得直線方程為，即，故答案為.9．過點(diǎn)作直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時(shí)，求此直線方程．【答案】【分析】由題意設(shè)直線的方程為，則可得，所以，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出的值，進(jìn)而可求出直線方程.【詳解】解：設(shè)直線的方程為．把點(diǎn)代入可得．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為9，此時(shí)直線的方程為．10．設(shè)直線的方程為．(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，求直線的方程；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或或；(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)顯然不成立，當(dāng)時(shí)求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到方程，解得，再代入計(jì)算可得；（2）將直線方程化為斜截式，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，直線為，不符合條件，舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.∵直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，∴，解得或或，∴直線的方程為或或.（2）解：直線的方程為，∵直線不經(jīng)過第二象限，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.1．經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線方程都可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式直線方程即可求解.【詳解】當(dāng)經(jīng)過、的直線不與軸平行時(shí)，所有直線均可以用，由于可能相等，所以只有選項(xiàng)C滿足包括與軸平行的直線.故選:C2．已知過定點(diǎn)作直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，這樣的直線有（

）條A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由已知條件可得出關(guān)于的方程，判斷出方程根的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，即.在直線的方程中，令，可得；令，可得.所以，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).由題意可得，即.①當(dāng)時(shí)，可得，即，；②當(dāng)時(shí)，可得，即，.綜上所述，符合條件的直線有條.故選：B.3．一條光線從處射到點(diǎn)后被軸反射，則反射光線所在直線的方程為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由反射定律可得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)也在反射光線所在的直線上，用兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線方程為．故答案為B．4．已知頂點(diǎn)(1)求邊上中線所在的直線方程(2)求邊上高線所在的直線方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求出直線方程，化為一般方程；（2）求出直線的斜率，得到邊上高線所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，化為一般方程.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以邊上中線所在的直線方程為：，整理得：；（2）直線的斜率為，所以邊上高線所在直線的斜率為，所以邊上高線所在直線的方程為，整理得：5．過作直線，(1)若在y軸上截距是在軸上的截距的2倍，求的方程．(2)若分別交軸、軸的正半軸與點(diǎn)．①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；②設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)，或，(2)①；②．【分析】（1）分截距為0和不為0，兩種情況求解即可，（2）①設(shè)，則直線l的方程為，由為中點(diǎn)可求出，從而可求出直線方程，②設(shè)，則直線l的方程為，則，然后利用基本不等式可求出的最小值，則可得面積的最小值，從而可求出直線方程.【詳解】（1）由題意可知直線的斜率存在，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線為，因?yàn)樵谥本€上，所以，得，所以直線的方程為，即，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，則設(shè)直線的方程為，因?yàn)樵谥本€上，所以，解得，所以直線的方程為，即，（2）①設(shè)，則直線l的方程為，因?yàn)闉锳B中點(diǎn)，所以，解得，則直線l的方程為，即．②設(shè)，則直線l的方程為，因?yàn)樵谥本€l上，所以，因?yàn)椋詀b≥8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以直線l的方程為，即．32．已知直線與軸所圍成的面積為，則的方程可以是______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)直線與軸所圍成的面積可知直線在軸上的截距之積的絕對(duì)值為，由此可得直線方程.【詳解】若直線與軸所圍成的面積為，則只需滿足直線在軸上的截距之積的絕對(duì)值為即可，則直線在軸上的截距可以為和，則，即.故答案為：（答案不唯一）.6．過點(diǎn)(2，1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為______________.【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0【分析】直線的斜率存在且不為0，設(shè)出直線截距式方程，利用已知條件求出截距就能得到直線方程.【詳解】由題意可直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，則有，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.故答案為：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝07．已知直線l過點(diǎn)P(2，－1)，在x軸和y軸上的截距分別為a，b，且滿足a＝3b，則直線l的方程為________.【答案】x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0【解析】若，可設(shè)直線方程為；若時(shí)，設(shè)直線方程為，然后把點(diǎn)代入可求直線方程.【詳解】若a＝3b＝0，則直線過原點(diǎn)(0，0)，此時(shí)直線斜率，直線方程為x＋2y＝0.若a＝3b≠0，設(shè)直線方程為，即，由于點(diǎn)P(2，－1)在直線上，所以，從而直線方程為－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.故答案為：x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.8．已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值和此時(shí)直線的方程.【答案】(1)；(2)，直線的方程為.【分析】(1)將直線方程化為斜截式，再利用數(shù)形結(jié)合求出k的取值范圍.(2)先求直線在軸和軸上的截距，表示的面積，利用基本不等式求其最小值.【詳解】（1）方程可化為，要使直線不經(jīng)過第四象限，則，解得，所以k的取值范圍為.（2）由題意可得，由取得，取得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，直線的方程為.9．已知的頂點(diǎn).(1)求邊上的中線所在直線的方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距和軸上的截距相等的直線的方程.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段的中點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可求出所求；（2）分類討論截距是否為0的情況，再利用截距式即可求得所求.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)為，則中線所在直線方程為：，即.（2）設(shè)兩坐標(biāo)軸上的截距為，若，則直線經(jīng)過原點(diǎn)，斜率，直線方程為，即；若，則設(shè)直線方程為，即，把點(diǎn)代入得，即，直線方程為；綜上，所求直線方程為或.1．在中，已知點(diǎn)，，且邊的中點(diǎn)M在軸上，邊的中點(diǎn)N在軸上，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，，先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線方程即可.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)椋?，所以且，解得，，，，即，，，所以MN所在直線方程為，即．故選：A．2．下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示②直線過點(diǎn)，傾斜角為，則其方程為③在坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程來表示④直線必過定點(diǎn)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率是否存在可判斷①②，根據(jù)截距可以為0可判斷③，由直線恒過定點(diǎn)可判斷④.【詳解】當(dāng)直線過點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)，直線方程不能用表示，故①錯(cuò)誤；直線過點(diǎn)，傾斜角為，則直線方程可表示為，故②正確；在坐標(biāo)軸上截距相等的直線可能過原點(diǎn)，所以不一定能用表示，故③錯(cuò)誤；直線可化為，故恒過定點(diǎn)，故④正確.故選：B3．下列說法正確的是（

）（1）在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程表示（2）方程表示的直線的斜率一定存在（3）直線的傾斜角為，則此直線的斜率為．（4）經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程為A．（1）（4） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）【答案】C【分析】根據(jù)直線的截距式方程，一般式方程，兩點(diǎn)式方程可判斷（1）（2）（4），由斜率和傾斜角的關(guān)系可判斷（3）.【詳解】對(duì)于（1）選項(xiàng)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，如但不能用表示，故（1）選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于（2）選項(xiàng)，方程表示的直線的斜率為－m，故（2）選項(xiàng)正確；對(duì)于（3）選項(xiàng)，若，則直線斜率不存在，故（3）選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于（4）選項(xiàng)，經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線斜率，而，則直線斜率存在，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程可知，（4）選項(xiàng)正確．故選：C．4．直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為3，則m的值可以為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)面積公式即可求解.【詳解】很顯然，直線與軸和軸既不平行也不垂直，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為和，因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為3，所以有，解得：或.故選：D5．直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積為1的直線的斜率為（

）A．或 B．或C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，即可得到答案.【詳解】直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積為1，所以，解得：或（舍）.故選：C6．光線從點(diǎn)射出，到軸上的點(diǎn)后，被軸反射到軸上的點(diǎn)，又被軸反射，這時(shí)反射線恰好過點(diǎn)，則所在直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意做出光線傳播路徑，求關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而得所在直線的方程即為直線方程，再根據(jù)兩點(diǎn)式求方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，做出如圖的光線路徑，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則所在直線的方程即為直線方程，由兩點(diǎn)是方程得直線方程為：，整理得：故選：A.7．經(jīng)過點(diǎn)作直線分別交軸、軸的正半軸于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線的方程為，求得直線的橫截距和縱截距，表示的面積，運(yùn)用基本不等式可求得答案．【詳解】解：由題意可知，直線的斜率一定存在，故可設(shè)直線的方程為，，令可得，，令可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故選：C.8．直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】令，可得；令，可得，可得，且，解出即可．【詳解】解：令，可得；令，可得，，，解得，且．故選：．9．已知直線l的兩點(diǎn)式方程為，則l的斜率為______．【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式過的兩點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率求解即可.【詳解】易得直線過，故l的斜率為.故答案為：10．經(jīng)過兩點(diǎn)和的直線在x軸上的截距為______．【答案】【分析】先求得經(jīng)過兩點(diǎn)和的直線方程，然后求得橫截距.【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)和的直線方程為，即，令得，即直線在軸上的截距為.故答案為：11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是__________．【答案】【分析】求出直線方程，則，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】∵，，直線方程為：，化簡(jiǎn)為：，∴，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：．12．過點(diǎn)作直線，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且，，則可作直線的條數(shù)為__________.【答案】4【分析】根據(jù)題意列出直線的截距式方程，由直線過點(diǎn)，得到與的關(guān)系式，根據(jù)，可以得到滿足等式的，數(shù)對(duì)，即為直線的條數(shù).【詳解】∵直線過點(diǎn)和，可設(shè)直線的方程為：，∵直線過點(diǎn)，，即，又，，∴當(dāng)時(shí)，直線和軸垂直，和軸無(wú)交點(diǎn)，直線不過，故時(shí)不滿足條件；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，b=12；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由①知，滿足條件的正整數(shù)不存在；綜上，滿足條件的直線有4條．故答案為：413．已知直線過定點(diǎn).(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的方程.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，設(shè)直線的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出參數(shù)的值即可；（2）分直線經(jīng)過原點(diǎn)和直線不經(jīng)過原點(diǎn)兩種情況討論，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出參數(shù)的值即可；【詳解】（1）解：直線與直線垂直，設(shè)直線的方程，將定點(diǎn)代入可得，解得，故直線的方程為；（2）解：①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得直線的方程為：，即，②當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入可得，解得，可得直線的方程為，綜上所述：所求的直線的方程為：或.14．直線過點(diǎn)且分別與軸正半軸于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)．(1)當(dāng)取最小時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入得，由圖像利用均值不等式求的最小值即可；（2）設(shè)，則，利用三角恒等變換求的最小值即可.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)在直線上，，由基本不等式，得，當(dāng)且