第第頁3．2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c間的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知識(shí)點(diǎn)二等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線方程是y＝±x，離心率為eq\r(2).【題型目錄】題型一、由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)題型二、由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型三、求雙曲線的離心率題型一、由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)1．求下列雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定焦點(diǎn)所在位置，求出，即可求出實(shí)軸長、虛軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線方程.【詳解】(1)解：將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦點(diǎn)在軸上，且，即，所以實(shí)軸長為，虛軸長為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為；(2)解：將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦點(diǎn)在軸上，且，即，所以實(shí)軸長為，虛軸長為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為；(3)解：將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦點(diǎn)在軸上，且，即，所以實(shí)軸長為，虛軸長為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為；(4)解：由雙曲線，得焦點(diǎn)在軸上，且，即，所以實(shí)軸長為，虛軸長為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為；題型二、由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程2．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在x軸上，焦距為10，離心率是；(2)一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為，實(shí)軸長為12；(4)漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為和．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)或焦點(diǎn)位置、漸近線方程及焦距、實(shí)軸長，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程.【詳解】（1）由題設(shè)，且，則，，又頂點(diǎn)在x軸上，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題設(shè)，，則，又一個(gè)焦點(diǎn)為，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由題設(shè)，，又焦點(diǎn)在y軸上，令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又一條漸近線方程為，即，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（4）由題設(shè)，且焦點(diǎn)在x軸上，令又漸近線方程為，則，而，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為3．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)，；(2)焦點(diǎn)為，，經(jīng)過點(diǎn)；(3)，經(jīng)過點(diǎn)；(4)經(jīng)過和兩點(diǎn)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】(1)根據(jù)題意，由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，分析可得雙曲線的焦點(diǎn)為軸上，且，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，將點(diǎn)代入計(jì)算可得的值，將的值代入雙曲線的方程，即可得答案；(2)根據(jù)題意，分析可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，由雙曲線的定義計(jì)算可得的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)可得的值，將、的值代入雙曲線的方程，即可得答案．(3)根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為：，將點(diǎn)代入其中計(jì)算可得的值，即可得雙曲線的方程，變形為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；(4)根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為，將和，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，解可得：、的值，將、的值代入雙曲線方程即可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，雙曲線經(jīng)過，則有，解可得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）根據(jù)題意，焦點(diǎn)為，，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，∵雙曲線過點(diǎn)，故根據(jù)雙曲線的定義可知：，則，則，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（3）根據(jù)題意，雙曲線中，設(shè)雙曲線的方程為：，又由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則有，則雙曲線的方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（4）根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為，雙曲線經(jīng)過和，兩點(diǎn)，則有，解可得：，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．題型三、求雙曲線的離心率4．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】寫出雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線后，列方程求出，然后根據(jù)離心率定義計(jì)算.【詳解】依題意得，雙曲線的一條漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式：，于是，離心率.故選：C5．已知直線與雙曲線無公共交點(diǎn)，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，的斜率為，而的漸近線為，由于直線與雙曲線沒有公共交點(diǎn)，如圖，所以，即，故，即，所以，故，即.故選：C.6．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過作一傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，且滿足（為原點(diǎn)）為等腰三角形，則該雙曲線離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得出，寫出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用，即可求出結(jié)果．【詳解】解：記右焦點(diǎn)為，由題意知，，且為等腰三角形，則只能是，所以，，所以直線的方程為，由，得所以，整理，得，即，解得或（舍去），所以．故選：C．7．已知雙曲線，直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將代入雙曲線方程可求，將代入雙曲線可求，根據(jù)，得出，從而可求離心率.【詳解】將代入，得，即，解得，所以，將代入，得，即，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以雙曲線C的離心率為.故選：A.8．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率為_______.【答案】2【分析】根據(jù)條件，將弦長轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，算出a與c的關(guān)系即可.【詳解】對(duì)于雙曲線，其漸近線方程為，對(duì)于圓，有，圓心為，半徑，漸近線被圓截得的弦長為2，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：；故答案為：2.1．已知雙曲線的漸近線方程為，則（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)確定m為負(fù)，再求出雙曲線漸近線方程作答.【詳解】在雙曲線中，，其實(shí)半軸長，虛半軸長，因雙曲線的漸近線方程為，于是得，解得，所以.故選：B2．已知雙曲線：的焦距為10，點(diǎn)在的漸近線上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的焦距、漸近線可得關(guān)于，的方程組，求解，，即可得雙曲線方程.【詳解】由題意可得，解得故雙曲線方程為.故選：D.3．若雙曲線C：的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線C的焦距為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】A【分析】由雙曲線方程，可知漸近線方程，根據(jù)直線與圓的弦長公式，可得答案.【詳解】由，則該雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)直線，即被圓所截得的弦長為，則，由雙曲線的性質(zhì)，可知，即，解得，故該雙曲線的焦距為.故選：A.4．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則的離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由題知，再解不等式，結(jié)合離心力公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，，解得．因?yàn)?，所以．故選：A5．已知雙曲線的一條漸近線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用漸近線與圓相切，得到關(guān)系，然后得到關(guān)系，再求解雙曲線的離心率．【詳解】解：由題意可知雙曲線的漸近線方程之一為：，圓的圓心，半徑為，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與圓相切，所以，，整理得，因?yàn)橛?，所以，所?故選：C.6．已知雙曲線恰好滿足下列條件中的兩個(gè)：①過點(diǎn)；②漸近線方程為；③離心率．則雙曲線C方程為______．【答案】【分析】利用漸近線以及離心率的定義，列出方程求解即可.【詳解】若選②③，，得，又，化簡得，可得，不符題意，故選②③錯(cuò)；若選①③，，得，過點(diǎn)，得，又由，得到，無解，故選①③錯(cuò)；若選①②，，化簡得，又由且過點(diǎn)，得，解得，故此時(shí)，雙曲線C方程為故答案為：7．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、、上存在一點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于雙曲線的虛軸長，則雙曲線的離心率為______.【答案】【分析】先設(shè)，，然后利用雙曲線定義得到，分別在，，中運(yùn)用余弦定理建立等式，解方程組得到，計(jì)算出離心率即可.【詳解】設(shè)，，可得，可得（1），在中，由余弦定理可得（2），因?yàn)椋栽?，中分別利用余弦定理可得，，兩式相加可得，分別與（1）、（2）聯(lián)立得：，得，消去可得，所以雙曲線的離心率.故答案為：8．求雙曲線x2－8y2＝32的實(shí)半軸長和虛半軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．【答案】實(shí)半軸長為，虛半軸長為2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±6,0)，離心率e＝，漸近線方程為.【分析】根據(jù)雙曲線方程，求出，即可求解.【詳解】將方程化為，從而，b＝2，所以，從而實(shí)半軸長為，虛半軸長為2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±6,0)，離心率，漸近線方程為.9．1.分別求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以圓：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為1；(3)焦點(diǎn)為，且與雙曲線有相同的漸近線．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)題意求出圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的特征確定焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，然后求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，然后根據(jù)漸近線方程和頂點(diǎn)到漸近線的距離建立方程組解出參數(shù)，進(jìn)而得到答案；（3）根據(jù)與已知雙曲線共漸近線設(shè)出所求雙曲線的方程，然后根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出參數(shù)，進(jìn)而得到答案.【詳解】(1)對(duì)圓的方程，令，得，解得，，即圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，．令，得，此方程無解，即圓與軸沒有交點(diǎn)．因此點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，所以，從而雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則漸近線方程為，所以．由頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，即到的距離為1，得，所以，．從而雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(3)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，可知，且，得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．1．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，根據(jù)雙曲線方程，寫出漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得答案.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，即，由對(duì)稱性不妨考慮點(diǎn)到直線的距離：，故選：B.2．與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用給定的離心率求解作答.【詳解】由橢圓得，半焦距，顯然橢圓焦點(diǎn)在x軸上，因此雙曲線的焦點(diǎn)為，因雙曲線離心率為，令其實(shí)半軸長為a，即有，解得，則雙曲線虛半軸長，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A3．設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且其漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求出，由漸近線方程求出，進(jìn)而計(jì)算出，求出離心率.【詳解】由題意得：，漸近線方程為，故，所以，故，∴離心率，故選：A.4．已知雙曲線（，）的兩條漸近線與拋物線（）的準(zhǔn)線分別相交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2，的面積為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由公式可得漸近線斜率，數(shù)形結(jié)合根據(jù)三角形面積列方程可得.【詳解】如圖，記拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D，由題知，，解得所以，因?yàn)?，所以所以，解得故選：B5．已知雙曲線的離心率，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的離心率，求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，因?yàn)殡p曲線的離心率，可得，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.6．雙曲線的離心率的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，利用雙曲線的離心率公式可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意有，，則，解得：．故選：C.7．已知雙曲線的離心率為，其一條漸近線被圓截得的線段長為，則實(shí)數(shù)的值為A．3 B．1 C． D．2【答案】D【詳解】分析：由離心率公式，可得a=b，求得漸近線方程，以及圓的圓心和半徑，求得圓心到直線的距離，由弦長公式，解方程可得所求值．詳解：由題可得：c=，即有a=b，漸近線方程為y=±x，圓（x-m）2+y2=4（m＞0）的圓心為（m，0），半徑為2，可得圓心到直線的距離為d=，則直線被圓截得的弦長為，解得m=2（-2舍去），故選D．點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)：漸近線方程和離心率，考查直線和圓相交的弦長公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，以、為為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意易得圓與漸近線的方程，聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)，結(jié)合圖像易得，利用斜率公式即可求得，從而可求得雙曲線C的離心率.【詳解】依題意，易得以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則，又由雙曲線易得雙曲線C的漸近線為，如圖，聯(lián)立，解得或，∴，，又∵，∴軸，∴由得，∴，∴，即，∴，∴.故選：D..9．（多選）已知雙曲線的兩條漸近線為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分別討論雙曲線焦點(diǎn)的位置，設(shè)出雙曲線方程，然后根據(jù)其漸近線方程和雙曲線中的關(guān)系即可求解.【詳解】不妨設(shè)半焦距為，①若雙曲線焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線為，所以，由，從而雙曲線離心率為；②①若雙曲線焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線為，所以，由，從而雙曲線離心率為.故雙曲線的離心率為：或.故選：AC.10．（多選）已知雙曲線，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則下列說法正確的是（

）A．B．雙曲線的漸近線方程為:C．雙曲線的離心率為D．雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為【答案】BCD【分析】由題意可得，解得：，所以雙曲線，再對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，已知雙曲線，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以中的①，故A不正確；對(duì)于B，雙曲線的漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，所以②，由①②可得：，所以雙曲線的漸近線方程為，故B正確；所以雙曲線的，對(duì)于C，雙曲線的的離心率為，故C正確；對(duì)于D，雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為.故選：BCD.11．已知、是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為____________．【答案】【分析】根據(jù)給定的條件，利用雙曲線定義結(jié)合余弦定理計(jì)算作答.【詳解】令雙曲線C的半焦距為c，即，又，，則，中，，由余弦定理得，即，整理得，所以C的離心率．故答案為：12．已知雙曲線的虛軸長為12，離心率為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．【答案】或【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)即可求得結(jié)果，注意焦點(diǎn)在軸或軸兩種情況.【詳解】依題意，得，，則，不妨令，則，故由得，解得，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故答案為：或.13．已知雙曲線的焦距等于，則雙曲線的漸近線方程為______．【答案】或【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得到，，再結(jié)合即可求得，從而可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，易得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：或.14．求下列雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸和虛軸的長、焦距：(1)；(2)；(3)．【分析】先求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出