2025學(xué)年第一學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級、姓名、試場號、座位號及準(zhǔn)考證號；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】由，，則.故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求解即可.【詳解】由，則，所以.故選：B.3.已知11位同學(xué)的身高（單位：cm）分別是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.185 B.185.5C.186 D.186.5【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)是從小到大第9個，所以為186.故選：C.4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B.C.10 D.30【答案】A【解析】【分析】按第一個括號內(nèi)的數(shù)分類，再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為Tr+1=當(dāng)?shù)谝粋€括號取1，第二個括號取含項(xiàng)時，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)?shù)谝粋€括號取，第二個括號取含項(xiàng)時，展開式中的系數(shù)為?2C52=?20故展開式中的系數(shù)為10+?20=?10故選：A5.已知向量.若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式以及投影向量的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?所以向量在向量上的投影向量為：.所以，解得.故選：B6.已知α+β=3π4,tanα?A.23 B.C. D.32【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和和角的余弦公式得到方程組，聯(lián)立求出cosαcosβ=【詳解】因?yàn)閠anαtanβ=sinα由，可得，所以cosαcosβ?sinα將（1）代入上式，cosαcosβ?7代入（2），可得sinα故cosα?β故選：B7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則數(shù)列的最小項(xiàng)是第（）項(xiàng).A.2026 B.2027 C.4048 D.4049【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)可得，，，等差數(shù)列為遞增數(shù)列，進(jìn)而得到，，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性分析求解即可.【詳解】由，則，，，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，則時，，，即；當(dāng)時，，要使最小，則，此時，數(shù)列為遞增數(shù)列，則隨著的增大，增大，減小，增大，但，，則增大，因此，當(dāng)時，最小.故選：A.8.已知函數(shù)，則在區(qū)間（）上一定存在極值點(diǎn).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合題意可設(shè)f′x=ax?2x?m?a3【詳解】由fx=13a要使存在極值點(diǎn)，則一定有兩個變號零點(diǎn)，可設(shè)f′x=a當(dāng)時，函數(shù)開口向上，且f′2=?要使在12,2則f′12而的取值不確定，則在12,2上不一定存在極值點(diǎn)；要使在2,72則f′72而的取值不確定，則在2,72上不一定存在極值點(diǎn)；要使在1,52則f′1=?a即或，則，所以在1,52要使在74,3則f′74即或，而的取值不確定，所以在74,3同理，當(dāng)時，函數(shù)開口向下，且f′2=?要使在12,2則f′12而的取值不確定，則在12,2上不一定存在極值點(diǎn)；要使在2,72則f′72而的取值不確定，則在2,72上不一定存在極值點(diǎn)；要使在1,52則f′1=?a即或，則，所以在1,52要使74,3上存在極值點(diǎn)，則f′74即或，而的取值不確定，所以在74,3綜上所述，函數(shù)在1,52故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在上存在個零點(diǎn)D.點(diǎn)是圖像的一個對稱中心【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)求正弦函數(shù)的最小正周期；根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性及周期性判斷單調(diào)性、零點(diǎn)問題.【詳解】函數(shù)的最小正周期，故A選項(xiàng)正確.函數(shù)單調(diào)遞增時，，.解得，取時，即是的單調(diào)增區(qū)間，而，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.故B選項(xiàng)正確.函數(shù)的零點(diǎn)，.解得，只有當(dāng)或時，即或時，在區(qū)間內(nèi)，所以在上存在個零點(diǎn).故C選項(xiàng)錯誤.圖像的對稱中心，即函數(shù)的零點(diǎn).，所以點(diǎn)是圖像的一個對稱中心.故D選項(xiàng)正確.故選：ABD10.已知雙曲線分別為其左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作直線與雙曲線兩支和兩條漸近線交于4個不同點(diǎn)，從左到右依次為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線方程得到漸近線方程為，，設(shè)都在軸上方，對于A，結(jié)合圖象分析即可求解判斷；對于B，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，B?23m+1,233m+1，C23m?1,233m?1，計(jì)算可得中點(diǎn)即為中點(diǎn)，進(jìn)而求解判斷即可；對于C，結(jié)合圖形關(guān)系求解判斷即可；對于D【詳解】由雙曲線，則，則雙曲線的漸近線方程為，且，如圖，不妨設(shè)都在軸上方.對于A，由圖可知，當(dāng)直線趨近于軸時，此時最小，但此時直線與兩條漸近線交于原點(diǎn)，不滿足題意，則，故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則Δ=且，則xA則，，即中點(diǎn)為23m2?1聯(lián)立，解得，，即C23m?1,聯(lián)立x=my?2y=?3x，解得，，即B則中點(diǎn)為23m?1?2所以中點(diǎn)即為中點(diǎn)，設(shè)為，則AE=DE,BE所以，故B正確；對于C，因?yàn)闈u近線方程為，則，由于，，所以O(shè)B=12OF則CB=4?1=對于D，由B知，E23m若，則，則，即，解得（負(fù)值舍去），則，則|AD|=1+m2?故選：ABD.11.如圖，現(xiàn)有兩種碎片各若干個，且兩種碎片均由等大小的正三角形按圖示拼湊而成.若一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，則可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由等差數(shù)列求和公式求出大三角形中可能拆成的小三角形總個數(shù)，并分析得到，對四個選項(xiàng)一一分析，并作出示意圖，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意作圖：由圖觀察可知，一個大正三角形可以拆成：個小正三角形，要想一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，顯然需滿足.觀察得到碎片中有2個小正三角形，碎片中有3個小正三角形，若一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，則共有個小正三角形.當(dāng)時，，則只能是，故為.每一排的小三角形個數(shù)均為奇數(shù)，由正三角形的對稱性可知：每增加一排則至少增加1個碎片，∴，對于A選項(xiàng)，時，，即，滿足條件，A選項(xiàng)正確；如圖對于B選項(xiàng)，時，，不是完全平方數(shù)，B選項(xiàng)排除；對于C選項(xiàng)，時，，，如圖滿足條件，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，時，，，不滿足條件，D選項(xiàng)錯誤；故選：AC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦參數(shù)，然后寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】拋物線中，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．13.已知正四棱臺的上下底面邊長分別為2、4，側(cè)棱長為，則該正四棱臺外接球的表面積為________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺和正四棱錐的幾何圖形性質(zhì)，確定外接球的球心位置，利用勾股定理可求解外接球的半徑，即可計(jì)算外接球的表面積.【詳解】如圖，將正四棱臺補(bǔ)形為正四棱錐，因?yàn)樗睦馀_的上下底面邊長分別為2、4，所以分別為的中點(diǎn)，所以，作正四棱錐的高，垂足為，則為正方形的中心，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則，設(shè)該正四棱臺外接球的球心為，半徑為，根據(jù)對稱性可知，在上，在中，，即，即，①在中，，即，即，②聯(lián)立①②解得，，所以該正四棱臺外接球的表面積為，故答案為：.14.已知且3an+1=2an+an?1n≥2【答案】【解析】【分析】利用，求出數(shù)列是等比數(shù)列來寫出通項(xiàng)公式，再利用的通項(xiàng)公式求出，通過觀察的特點(diǎn)，即，設(shè)，將用表示，設(shè)，求出是的二次函數(shù)，又在前后震蕩，通過的對稱軸在左右兩側(cè)的討論得到不成立，從而得到的對稱軸就是，建立的方程，再求的值，從而得到的值.【詳解】，，，，，是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)為，，，，，，設(shè)，則，，，設(shè)，，的對稱軸為，又在前后震蕩，若對稱軸在的左側(cè)，則會總存在一個，使得，，等在對稱軸的右側(cè)且在附近左右擺動，就不滿足對于任意的，都有成立，對稱軸在的左側(cè)不成立；若對稱軸在的右側(cè)，則會總存在一個，使得，，等在對稱軸左側(cè)且在附近左右擺動，就不滿足對于任意的，都有成立，對稱軸在的右側(cè)不成立；對稱軸只能是，即，解得，，.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某商場推出購物抽獎活動，盒子里放有10個相同小球，其中4個紅球，6個藍(lán)球，顧客從盒中不放回地抽取3個球，若恰好抽到3個紅球?yàn)橐坏泉?，獎金?00元，恰好抽到2個紅球?yàn)槎泉?，獎金?0元，其余不設(shè)獎.（1）在抽取的前兩個球?yàn)?個紅球1個藍(lán)球的條件下，則該次抽獎獲得二等獎概率是多少？（2）求抽獎一次獲得獎金的期望.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合條件概率知識求解即可；（2）設(shè)抽獎一次獲得獎金為，由題意可得的取值為，進(jìn)而求出對應(yīng)的概率值，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式求解即可.【小問1詳解】在抽取的前兩個球?yàn)?個紅球1個藍(lán)球的條件下，要使該次抽獎獲得二等獎，則抽取的第3個球一定為紅球，而此時總共有8個球，其中有3個紅球，5個藍(lán)球，因此，在抽取的前兩個球?yàn)?個紅球1個藍(lán)球的條件下，該次抽獎獲得二等獎概率是.【小問2詳解】設(shè)抽獎一次獲得獎金為，則的取值為，所以PX=100=C則PX=0則EX16.如圖，已知直角梯形繞旋轉(zhuǎn)得到四邊形，其中.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由由題意可得平面平面，，進(jìn)而得到平面，進(jìn)而求證即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】由題意，平面平面，，，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面，又平面，所?【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，易得平面的一個法向量為，所以，由圖可知，二面角為銳二面角，則二面角的余弦值為.17.在中，分別是角所對的邊，且滿足.（1）求的大??；（2）點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且滿足，求的值.【答案】（1）（2）2或【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合條件：2sinC?sinB2sin（2）在和中，由正弦定理可得：ADsinC=bsinπ4，ADsinB=csin3π4，結(jié)合條件化簡可得，由于在中，,代入化簡可得【小問1詳解】因?yàn)?由正弦定理可得：2sinC?sinB由于在中，,所以2sin(A+B)?sin由于，則不為0，則由于，所以【小問2詳解】由于,則∠ADB=3π在中，由正弦定理可得：ADsin在中，由正弦定理可得：ADsin所以AD2sinC所以，由于在中，,所以sinBsin所以32sin2B+由于，則2B?π所以則2B?π6=π6或當(dāng)時，，所以bc=或時，,所以bc=18.已知橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)M，直線PD與橢圓的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)N.①已知點(diǎn)M坐標(biāo)為，求點(diǎn)橫坐標(biāo)（用表示）；②過點(diǎn)作于點(diǎn)G，是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程即可求解；（2）①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理化簡求解即可；②計(jì)算可得C?5x1?82x1+5,3y12x1+5【小問1詳解】由題意，4a2=1所以橢圓的方程為.【小問2詳解】①設(shè)直線的方程為，且，，即，聯(lián)立y=kx+4x2則Δ=32k且，則x=?8即點(diǎn)橫坐標(biāo)為.由①知，，，則yC=kx設(shè)，與①同理可得D?5x則k，則，設(shè)直線，則2x則5k又，則，則直線MN:y=k所以直線過定點(diǎn)H?5則為中點(diǎn)?134,34，則GQ=1因此，存在定點(diǎn)Q?134,19.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)有三個不同的零點(diǎn).①求a的取值范圍；②若成等差數(shù)列，求證：.【答案】（1）；（2）①；②證明過程見解析【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，令，求出函數(shù)遞減區(qū)間；（2）①變形得到，故有3個不同的正根，令，則需有兩個極值點(diǎn)，則需有兩個不同的變號零點(diǎn)，令，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)走勢，得到，得到答案；②，，兩式相加得，結(jié)合成等差數(shù)列，變形得到，利用對數(shù)平均不等式和基本不等式得到，所以，由①知，，故，證畢.【小問