2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案一、選擇題1.已知，則下列變形不正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A．∵，∴，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B．，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C．，則，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；D．，故該選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，能正確運(yùn)用比例的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵，如果，那么，反之亦然．2.一元二次方程根的情況為（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：在一元二次方程中，∵，，，∴，∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．3.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)前夕，要選60名身高基本相同的女同學(xué)組成表演方陣，在這個(gè)問(wèn)題中，最值得關(guān)注的是該校所有女生身高的（）A.方差 B.眾數(shù) C.平均數(shù) D.中位數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)所代表的意義，即可判定．【詳解】解：在這個(gè)問(wèn)題中，最值得關(guān)注的是隊(duì)伍的整齊，身高必須差不多，故應(yīng)該關(guān)注該校所有女生身高的眾數(shù)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了方差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)所代表的意義，平均數(shù)說(shuō)明的是整體的平均水平；眾數(shù)說(shuō)明的是數(shù)據(jù)中的多數(shù)情況；中位數(shù)說(shuō)明的是數(shù)據(jù)中的中等水平；方差是反應(yīng)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量．4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，的半徑為2，下列說(shuō)法正確的是（）A.與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)B.與x軸、y軸都沒(méi)有公共點(diǎn)C.與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)D.與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】如圖，由，軸于A，軸于B，可得與y軸相切，與x軸相交，從而可得答案．【詳解】解：如圖，∵，軸于A，軸于B，∴，，∵的半徑為2，∴與y軸相切，與x軸相交，∴與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟記直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是解本題的關(guān)鍵．5.根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功地找到三角形內(nèi)心的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本作圖和三角形內(nèi)心的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：三角形內(nèi)心為三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，選項(xiàng)A中作了一個(gè)角的平分線和一條邊的垂直平分線，不合題意；選項(xiàng)B中作了兩個(gè)角的平分線，符合題意；選項(xiàng)C中作了兩條邊的垂直平分線，不合題意；選項(xiàng)D中作了一條邊的垂直平分線和底邊的垂線，不合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖和三角形內(nèi)心的理解，解題的關(guān)鍵是掌握“三角形內(nèi)心為三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)”．6.如圖，在長(zhǎng)為米、寬為米的矩形空地上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為平方米，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將每條道路平移到矩形的一邊處，表示出新矩形的長(zhǎng)和寬，利用矩形的面積的計(jì)算方法得到方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：；

故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程及矩形和平行四邊形的面積的求解，將每條道路平移到矩形的一邊處，表示出新矩形的長(zhǎng)和寬是解本題的關(guān)鍵．7.如圖，四邊形為矩形，，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，，垂足為P，則的最小值為（）5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，然后得到當(dāng)直線過(guò)圓心O時(shí)，最短，從而利用勾股定理計(jì)算出答案．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，∵四邊形為矩形，，∴，∵，∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，連接交圓O與點(diǎn)N，∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)，∴當(dāng)直線過(guò)圓心O時(shí)，最短，∵，，∴，∴，∵．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對(duì)圓周角是直角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．8.已知點(diǎn)、是二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，若當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)點(diǎn)A、B是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)且縱坐標(biāo)相等，可得對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)開(kāi)口向上，時(shí)，y隨x的增大而減小，可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：點(diǎn)、是二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，且開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線或在其右側(cè)，，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線或在其右側(cè)是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題9.一組數(shù)據(jù)：8，，，5的極差為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)極差的定義進(jìn)行求解即可．詳解】解：∵，∴數(shù)據(jù)：8，，，5的極差為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求極差，熟知極差的定義是解題的關(guān)鍵：一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差為極差．10.如圖，．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：．，又，，解得，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握和運(yùn)用平行線分線段成比例定理是解決本題的關(guān)鍵．11.一個(gè)布袋里裝有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)白球，除顏色外其它都相同，攪勻后任意摸出一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】用白球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到白球的概率．【詳解】解：袋子里裝有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)白球共10個(gè)球，從中摸出一個(gè)球是白球的概率是，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)事件的概率,掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.12.在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖利用黃金分割法，所作將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即．已知為4米，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________米（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)建立方程即可求解．【詳解】解：設(shè)則（舍去），故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，熟練掌握線段之間的關(guān)系列出方程是解此題的關(guān)鍵．13.如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】##度【解析】【分析】如圖所示，連接，利用切線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，即可利用圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，熟知切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．14.如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】cm.【解析】【分析】設(shè)AB=xcm，則DE=（6-x）cm，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)AB=xcm，則DE=（6-x）cm，

根據(jù)題意，得解得x=4．

故選：4cm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．15.已知拋物線，則該拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)解答即可．【詳解】解：拋物線與拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，當(dāng)橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即，得，故所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱變換的特點(diǎn)，熟練掌握和運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的坐標(biāo)特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．16.如圖，點(diǎn)A、B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)O，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】3【解析】【分析】連接，證明四邊形是平行四邊形得，由勾股定理得，從而有，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17.2022年9月29日，C919大型客機(jī)取得中國(guó)民用航空局型號(hào)合格證，這標(biāo)志著我國(guó)具備按照國(guó)際通行適航標(biāo)準(zhǔn)研制大型客機(jī)的能力，是我國(guó)大飛機(jī)事業(yè)征程上的重要里程碑．如果某型號(hào)飛機(jī)降落后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行的時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是，則該飛機(jī)著陸后滑行最長(zhǎng)時(shí)間為_(kāi)_________秒．【答案】18【解析】【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解．【詳解】解∶，∵，∴拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，s有最大值，∵飛機(jī)滑行到最大距離停下來(lái)，此時(shí)滑行的時(shí)間最長(zhǎng)，∴該飛機(jī)著陸后滑行最長(zhǎng)時(shí)間為18秒．故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，明確題意并正確地將二次函數(shù)的一般式寫成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．18.如圖，在中，，，點(diǎn)E是的重心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)F．若面積為10，則的面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)重心的性質(zhì)，可求得，，再根據(jù)，，可證得，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：點(diǎn)E是的重心，，點(diǎn)、點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，，，，，，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了重心的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用重心的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)得到相關(guān)三角形的面積是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題19解方程：（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】(1)采用配方法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：由原方程得：，得，得，得，解得，，所以，原方程的解為，；【小問(wèn)2詳解】解：由原方程得：，得，解得，，所以，原方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），其中．（1）外接圓的圓心坐標(biāo)是__________；外接圓的半徑是__________；（2）已知與（點(diǎn)D、E、F都是格點(diǎn)）成位似圖形，則位似中心M的坐標(biāo)是__________；（3）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中的空白處畫一個(gè)格點(diǎn)，使，且相似比為．【答案】（1）；（2）（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外接圓的概念即可求出圓心坐標(biāo)，然后勾股定理即可求出半徑的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)位似變換和位似中心的概念解答；（3）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，都等于相似比解答．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)分別作的垂直平分線，交于點(diǎn)G，連接，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可得圓心；∴半徑，故答案為：；；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，即位似中心，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，故答案為：；【小問(wèn)3詳解】解：，且相似比為．根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)作出，如圖，即為所求作的三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是格點(diǎn)正方形、位似變換與位似中心與相似三角形的性質(zhì)，掌握如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段互相平行，這兩個(gè)圖形是位似圖形是解題的關(guān)鍵．21.在黨的二十大勝利召開(kāi)之際，某中學(xué)舉行“同聲放歌心向黨，攜手歡慶二十大”歌唱大賽，向黨的二十大獻(xiàn)禮，八年級(jí)和九年級(jí)根據(jù)級(jí)部初賽成績(jī)，各選出5名選手參加復(fù)賽，兩個(gè)年級(jí)各選出的5名選手的復(fù)賽成績(jī)（單位：分）如下表：八年級(jí)80758510085九年級(jí)751007010080（1）八年級(jí)復(fù)賽成績(jī)的中位數(shù)是__________分，九年級(jí)復(fù)賽成績(jī)的眾數(shù)是__________分；（2）計(jì)算兩個(gè)年級(jí)復(fù)賽成績(jī)的方差，并說(shuō)明哪個(gè)年級(jí)的復(fù)賽成績(jī)較穩(wěn)定．【答案】（1）85；100（2），，八年級(jí)的復(fù)賽成績(jī)較穩(wěn)定【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線和眾數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)方差的定義求出兩個(gè)年級(jí)的方差，再根據(jù)方差越小成績(jī)?cè)椒€(wěn)定進(jìn)行求解即可【小問(wèn)1詳解】解：把八年級(jí)成績(jī)從小到大排列為：，處在最中間的為，∴八年級(jí)復(fù)賽成績(jī)的中位數(shù)是85分；∵九年級(jí)復(fù)賽成績(jī)中100分出現(xiàn)了兩次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴九年級(jí)復(fù)賽成績(jī)的眾數(shù)是100分，故答案為：85；100；【小問(wèn)2詳解】解：八年級(jí)復(fù)賽成績(jī)的平均成績(jī)?yōu)榉郑喟四昙?jí)復(fù)賽成績(jī)的方差為；九年級(jí)復(fù)賽成績(jī)的平均成績(jī)?yōu)榉?，∴九年?jí)復(fù)賽成績(jī)的方差為；∵，即，∴八年級(jí)的復(fù)賽成績(jī)較穩(wěn)定．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求中位數(shù)，方差和眾數(shù)，熟知中位數(shù)，方差和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22.為慶祝神舟十五號(hào)載人飛船發(fā)射成功，某中學(xué)組織志愿者周末到社區(qū)進(jìn)行航天航空知識(shí)宣講活動(dòng)，現(xiàn)有A、B、C、D四名同學(xué)報(bào)名參加．（1）若從這四人中隨機(jī)選取一人，恰好選中A同學(xué)參加活動(dòng)的概率是__________；（2）若從這四人中隨機(jī)選取兩人，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求恰好選中A、B兩名同學(xué)參加活動(dòng)的概率．【答案】（1）（2）表格見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到恰好選中A、B兩名同學(xué)參加活動(dòng)的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵一共有4個(gè)人，每個(gè)人被選取的概率相同，∴從這四人中隨機(jī)選取一人，恰好選中A同學(xué)參加活動(dòng)的概率是，故答案為：．【小問(wèn)2詳解】解：列表如下：ABCDABCD由表格可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中A、B兩名同學(xué)參加活動(dòng)的結(jié)果數(shù)有2種，∴恰好選中A、B兩名同學(xué)參加活動(dòng)的概率．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹(shù)狀圖或列表法求解概率，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在中，，，．（1）求邊上的高的長(zhǎng)度；（2）正方形的一邊在上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、H分別在邊、上，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由勾股定理求出，再由三角形面積即可得出答案；(2)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，證出，得出比例式，進(jìn)而得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：在中，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】解：∵四邊形是正方形，，，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)M，，∴四邊形是矩形，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，，，得解得，∴正方形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問(wèn)題．24.某商店銷售一種成本為每千克40元的水產(chǎn)品，若按每千克50元銷售，一個(gè)月售出，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，銷售價(jià)每提高1元，月銷售量就減少．（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為60元時(shí)，求月銷售量和銷售利潤(rùn)．（2）商店想在月銷售成本不超過(guò)元的情況下，使月銷售利潤(rùn)達(dá)到元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)會(huì)獲得最大利潤(rùn)？求出最大利潤(rùn)．【答案】（1）月銷售量為；銷售利潤(rùn)為元（2）銷售單價(jià)應(yīng)定為85元（3）當(dāng)售價(jià)定為70元時(shí)，會(huì)獲得最大利潤(rùn)元【解析】【分析】（1）先根據(jù)銷售量和售價(jià)的關(guān)系求出月銷售量，再根據(jù)銷售利潤(rùn)（銷售單價(jià)成本價(jià)）數(shù)量求出對(duì)應(yīng)的銷售利潤(rùn)即可；（2）設(shè)銷售單價(jià)定為x元，根據(jù)銷售利潤(rùn)（銷售單價(jià)成本價(jià)）數(shù)量建立方程求解即可；（3）設(shè)銷售單價(jià)定為x元，月利潤(rùn)為y元，根據(jù)銷售利潤(rùn)（銷售單價(jià)成本價(jià)）數(shù)量得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．小問(wèn)1詳解】解：由題意得，當(dāng)銷售單價(jià)定為60元時(shí)，月銷售量為，∴銷售利潤(rùn)為元；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)銷售單價(jià)定為x元，根據(jù)題意得：解得：當(dāng)時(shí)，銷售成本為，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，銷售成本為，符合題意；答：銷售單價(jià)應(yīng)定為85元；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)銷售單價(jià)定為x元，月利潤(rùn)為y元，根據(jù)題意得：，當(dāng)時(shí)，；答：當(dāng)售價(jià)定為70元時(shí)，會(huì)獲得最大利潤(rùn)元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，列出對(duì)應(yīng)的式子和方程是解題的關(guān)鍵．25.如圖，是的直徑，、是的弦，，垂足為E，連接并延長(zhǎng)，與過(guò)點(diǎn)A的直線相交于點(diǎn)P，且．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)首先證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論即可；(2)連接，根據(jù)勾股定理可求出，證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可求得線段的長(zhǎng)．小問(wèn)1詳解】證明:由圓周角定理得：，，，，，，是的半徑，是的切線；【小問(wèn)2詳解】解:如圖,連接，是的直徑，，，，是的直徑，，，，，，，，即，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、圓周角定理及推論、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．26.如圖，在中，，正方形的邊長(zhǎng)為2，將正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接．（1）請(qǐng)找出圖中與相似的三角形，并說(shuō)明理由；（2）求當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)的長(zhǎng)．【答案】（1），理由見(jiàn)解析（2）或【解析】【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理得到，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到，，進(jìn)而證明，，由此即可證明；（2）先利用勾股定理求出，進(jìn)而求出，再分當(dāng)在左上方時(shí)，當(dāng)在右下方時(shí)，兩種情況求出長(zhǎng)，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，，∴，即，又∵，∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，∵當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)，，∴，如圖1，當(dāng)在左上方時(shí)，∴，∵，∴，∴；如圖2，當(dāng)在右下方時(shí)，∴∵，∴，∴；綜上所述，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．27.規(guī)定：某一個(gè)函數(shù)圖像上存在一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)是“自反”函數(shù)，這個(gè)點(diǎn)是這個(gè)函數(shù)的“反點(diǎn)”．（1）函數(shù)__________“自反”函數(shù)（填：“是”或“不是”），如果是，求出這個(gè)函數(shù)的所有“反點(diǎn)”，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若拋物線（為常數(shù)）上有且只有一個(gè)“反點(diǎn)”，求的值；（3）若拋物線（、為常數(shù)，）對(duì)于任意的常數(shù)恒有兩個(gè)“反點(diǎn)”，求a的取值范圍．【答案】（1）是，（2）a的值為或4（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義可知，“自反”函數(shù)與有交點(diǎn)，聯(lián)立解析式求解即可；（2）根據(jù)定義，可得與只有1個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)判別式即可求解；（3）根據(jù)定義聯(lián)立二次函數(shù)解析式與，令，得到關(guān)于的代數(shù)式，根據(jù)代數(shù)式恒大于0，令，即可求得的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】解：∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，滿足定義，則是“自反”函數(shù)依題意，解得或，自反”函數(shù)的“反點(diǎn)”是或，故答案為：是．【小問(wèn)2詳解】解：依題意，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，∴，解得：或；【小問(wèn)3詳解】關(guān)于的二次函數(shù)（，為常數(shù)）對(duì)于任意的常數(shù)恒有兩個(gè)“反點(diǎn)”，，即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，即，關(guān)于的二次函數(shù)