幾何中線段垂直平分線性質(zhì)測(cè)試題一、知識(shí)回顧線段垂直平分線的核心知識(shí)點(diǎn)是解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)，需精準(zhǔn)把握：定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)，且與這條線段垂直的直線，叫做這條線段的垂直平分線（又稱“中垂線”）。性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)，到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理（判定定理）：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。二、測(cè)試題分層訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)鞏固篇聚焦概念理解與簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用，夯實(shí)基礎(chǔ)。1.判斷題：線段的垂直平分線是一條射線。（）思路：垂直平分線需“經(jīng)過中點(diǎn)且垂直于線段”，直線可向兩端無限延伸，而射線僅有一個(gè)端點(diǎn)，因此垂直平分線是直線，而非射線。答案：×2.填空題：已知點(diǎn)\(P\)在線段\(AB\)的垂直平分線上，且\(PA=5\)，則\(PB\)的長(zhǎng)度為______。思路：直接應(yīng)用性質(zhì)定理——垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等，故\(PB=PA\)。答案：\(5\)3.證明題：如圖，直線\(MN\)是線段\(AB\)的垂直平分線，點(diǎn)\(C\)在\(MN\)上，求證：\(CA=CB\)。（圖提示：\(MN\perpAB\)于點(diǎn)\(O\)，且\(AO=OB\)，\(C\)在\(MN\)上）證明：連接\(CA\)、\(CB\)。∵\(yùn)(MN\)是\(AB\)的垂直平分線，∴\(MN\perpAB\)，且\(AO=OB\)（垂直平分線定義）。根據(jù)性質(zhì)定理，點(diǎn)\(C\)在\(MN\)上，因此\(C\)到\(A\)、\(B\)的距離相等，即\(CA=CB\)。（二）能力提升篇結(jié)合三角形、等腰三角形等知識(shí)，深化性質(zhì)運(yùn)用。4.選擇題：在\(\triangleABC\)中，邊\(BC\)的垂直平分線交\(AC\)于點(diǎn)\(D\)，若\(AD=5\)，\(DB=4\)，則\(AC\)的長(zhǎng)為（）A.\(5\)B.\(4\)C.\(9\)D.\(1\)思路：\(D\)在\(BC\)的垂直平分線上，根據(jù)性質(zhì)定理，\(DB=DC\)（到\(B\)、\(C\)距離相等）。已知\(DB=4\)，故\(DC=4\)；又\(AD=5\)，因此\(AC=AD+DC=5+4=9\)。答案：\(C\)5.解答題：如圖，\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，邊\(AB\)的垂直平分線交\(AB\)于\(E\)，交\(AC\)于\(F\)，連接\(BF\)。若\(\angleA=40^\circ\)，求\(\angleFBC\)的度數(shù)。（圖提示：\(\triangleABC\)為等腰三角形，\(AB=AC\)，\(EF\)是\(AB\)的中垂線，\(F\)在\(AC\)上）解答：∵\(yùn)(AB=AC\)，\(\angleA=40^\circ\)，∴\(\angleABC=\angleACB=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\)（等腰三角形兩底角相等）?！運(yùn)(EF\)是\(AB\)的垂直平分線，∴\(FA=FB\)（垂直平分線性質(zhì)），∴\(\angleABF=\angleA=40^\circ\)（等邊對(duì)等角）?！郳(\angleFBC=\angleABC-\angleABF=70^\circ-40^\circ=30^\circ\)。（三）綜合應(yīng)用篇結(jié)合實(shí)際問題或復(fù)雜圖形，考察知識(shí)綜合運(yùn)用能力。6.實(shí)際應(yīng)用題：某村莊計(jì)劃在公路\(l\)旁建一個(gè)公共服務(wù)站，要求服務(wù)站到村莊\(A\)和村莊\(B\)的距離相等，且在公路\(l\)的垂直平分線上（公路\(l\)為直線）。已知\(A\)、\(B\)兩村到公路\(l\)的距離分別為\(3\)和\(5\)，且\(A\)、\(B\)在公路\(l\)的同側(cè)，\(AB\)的水平距離為\(8\)（如圖），請(qǐng)確定服務(wù)站的位置。（圖提示：公路\(l\)為水平直線，\(A\)、\(B\)在\(l\)上方，\(A\)到\(l\)的距離\(3\)，\(B\)到\(l\)的距離\(5\)，水平距離\(8\)）思路：服務(wù)站需滿足兩個(gè)條件：①到\(A\)、\(B\)距離相等（在\(AB\)的垂直平分線上）；②在公路\(l\)的垂直平分線上（即服務(wù)站在\(l\)的垂直平分線與\(AB\)的垂直平分線的交點(diǎn)上）。解答步驟：①作\(AB\)的垂直平分線：先求\(AB\)的中點(diǎn)（水平距離\(8\)，垂直距離\(5-3=2\)，中點(diǎn)坐標(biāo)為\((4,4)\)），再作\(AB\)的垂線（\(AB\)斜率為\(\frac{1}{4}\)，垂直平分線斜率為\(-4\)，方程為\(y-4=-4(x-4)\)，即\(y=-4x+20\)）。②作公路\(l\)的垂直平分線：因\(l\)為水平直線（設(shè)為\(y=0\)），其垂直平分線為豎直直線（\(x=k\)，\(k\)為實(shí)數(shù)）。③求交點(diǎn)：將\(x=k\)代入\(AB\)的垂直平分線方程，得\(y=-4k+20\)，故服務(wù)站坐標(biāo)為\((k,-4k+20)\)（需滿足\(y>0\)，即\(-4k+20>0\)，\(k<5\)）。三、解析與答案匯總（一）基礎(chǔ)鞏固篇1.答案：\(\boldsymbol{\times}\)，解析：垂直平分線是直線，非射線。2.答案：\(\boldsymbol{5}\)，解析：垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)距離相等。3.證明：見“基礎(chǔ)鞏固篇·第3題”，核心為“垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)距離相等”。（二）能力提升篇4.答案：\(\boldsymbol{C}\)，解析：\(D\)在\(BC\)的垂直平分線上→\(DB=DC\)，故\(AC=AD+DC=9\)。5.答案：\(\boldsymbol{30^\circ}\)，解析：結(jié)合等腰三角形性質(zhì)與垂直平分線性質(zhì)，逐步推導(dǎo)角度。（三）綜合應(yīng)用篇6.服務(wù)站位置為\(AB\)的垂直平分線與公路\(l\)的垂直平分線的交點(diǎn)（坐標(biāo)為\((k,-4k+20)\)，\(k<5\)），核心思路是“兩條垂直平分線的交點(diǎn)滿足雙條件”。四、總結(jié)線段垂直平分線的性質(zhì)（及逆定理）是幾何中證明線段相等、確定點(diǎn)位置的核心工具。