一元二次不等式應(yīng)用題精講與練習(xí)一、基礎(chǔ)知識(shí)回顧一元二次不等式的一般形式為\(\boldsymbol{ax^2+bx+c>0}\)（或\(\geq0\)、\(<0\)、\(\leq0\)），其中\(zhòng)(a\neq0\)。解這類不等式的核心思路是結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析：當(dāng)\(a>0\)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，不等式的解集由對(duì)應(yīng)方程\(ax^2+bx+c=0\)的根（若存在）的位置決定。常用解法包括：因式分解法：將二次三項(xiàng)式分解為兩個(gè)一次式的乘積（如\((x-x_1)(x-x_2)>0\)），根據(jù)“同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)”確定解集；求根公式法：先求方程\(ax^2+bx+c=0\)的根\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)（\(\Delta=b^2-4ac\)），再結(jié)合開(kāi)口方向判斷解集；配方法：通過(guò)配方將不等式轉(zhuǎn)化為完全平方式的形式（如\((x+m)^2>n\)），利用平方數(shù)的非負(fù)性求解。二、應(yīng)用題常見(jiàn)類型與解題策略一元二次不等式應(yīng)用題的核心是從實(shí)際情境中抽象出不等關(guān)系，并通過(guò)建立不等式模型解決問(wèn)題。常見(jiàn)類型及解題步驟如下：（一）類型分類1.利潤(rùn)與成本控制：通過(guò)銷量、單價(jià)、成本的關(guān)系，結(jié)合“利潤(rùn)≥目標(biāo)值”“成本≤預(yù)算”等條件列不等式；2.幾何面積問(wèn)題：利用圖形的邊長(zhǎng)、面積公式，結(jié)合“面積超過(guò)/不超過(guò)某值”“邊長(zhǎng)為正”等限制條件；3.增長(zhǎng)率與變化率：涉及連續(xù)增長(zhǎng)（或下降）的情境，通過(guò)“最終量≥初始量×(1±\(r\))\(^n\)”的變形建立不等式；4.運(yùn)動(dòng)與時(shí)間范圍：如拋體運(yùn)動(dòng)的高度限制、物體相遇的時(shí)間條件等，結(jié)合物理公式列不等式。（二）解題步驟1.審題：明確問(wèn)題中的已知量、未知量，識(shí)別“至少”“最多”“超過(guò)”“不低于”等關(guān)鍵詞對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系；2.設(shè)元：用字母（如\(x\)）表示關(guān)鍵變量（注意變量的實(shí)際意義，如邊長(zhǎng)、時(shí)間、數(shù)量需為正）；3.列不等式：根據(jù)不等關(guān)系，結(jié)合公式（如利潤(rùn)=收入-成本、面積公式、增長(zhǎng)率公式等）建立一元二次不等式；4.解不等式：利用因式分解、求根公式等方法求解，注意結(jié)合二次函數(shù)圖像分析解集；5.檢驗(yàn)與作答：驗(yàn)證解集是否符合實(shí)際意義（如時(shí)間非負(fù)、邊長(zhǎng)為正），最終回答實(shí)際問(wèn)題。三、典型例題精講例題1：矩形花園的圍欄設(shè)計(jì)要圍一個(gè)矩形花園，一邊利用現(xiàn)有墻（墻長(zhǎng)15m），另三邊用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)30m。若花園面積不小于100m2，求垂直于墻的邊長(zhǎng)的取值范圍。分析與解答：設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為\(x\)m（\(x>0\)），則平行于墻的邊長(zhǎng)為\((30-2x)\)m（需滿足\(30-2x>0\)且\(30-2x\leq15\)，即\(x\geq7.5\)且\(x<15\)）；面積\(S=x(30-2x)\)，根據(jù)“面積≥100”，列不等式：\(x(30-2x)\geq100\)；整理：\(-2x^2+30x-100\geq0\)，兩邊除以-2（不等號(hào)變向）得\(x^2-15x+50\leq0\)；因式分解：\((x-5)(x-10)\leq0\)，結(jié)合二次函數(shù)\(y=(x-5)(x-10)\)的圖像（開(kāi)口向上，根為5和10），解集為\(5\leqx\leq10\)；結(jié)合實(shí)際限制（\(x\geq7.5\)且\(x<15\)），最終取值范圍為\(\boldsymbol{7.5\leqx\leq10}\)。例題2：利潤(rùn)最大化的定價(jià)策略某商店銷售一種商品，進(jìn)價(jià)為每件20元。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，當(dāng)售價(jià)為每件30元時(shí)，每月可售出200件；售價(jià)每提高1元，月銷量減少10件。若商店希望月利潤(rùn)不低于2250元，售價(jià)應(yīng)如何設(shè)定？分析與解答：設(shè)售價(jià)提高\(yùn)(x\)元（\(x\geq0\)），則新售價(jià)為\((30+x)\)元，月銷量為\((200-10x)\)件；單件利潤(rùn)為\((30+x-20)=(10+x)\)元，總利潤(rùn)\(y=(10+x)(200-10x)\)；根據(jù)“利潤(rùn)≥2250”，列不等式：\((10+x)(200-10x)\geq2250\)；整理：展開(kāi)得\(2000+100x-10x^2\geq2250\)，移項(xiàng)得\(-10x^2+100x-250\geq0\)，兩邊除以-10（不等號(hào)變向）得\(x^2-10x+25\leq0\)；因式分解：\((x-5)^2\leq0\)，由于平方數(shù)非負(fù)，僅當(dāng)\(x=5\)時(shí)成立，即售價(jià)為\(30+5=35\)元時(shí)，利潤(rùn)恰好為2250元。四、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)與鞏固練習(xí)1：增長(zhǎng)率問(wèn)題某企業(yè)2023年利潤(rùn)為100萬(wàn)元，計(jì)劃兩年后利潤(rùn)不低于121萬(wàn)元，求年平均增長(zhǎng)率的最小值。練習(xí)2：成本控制某工廠生產(chǎn)一種零件，固定成本5萬(wàn)元，每個(gè)零件可變成本20元，售價(jià)50元。若要使利潤(rùn)超過(guò)10萬(wàn)元，至少生產(chǎn)多少個(gè)零件？練習(xí)3：運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍一個(gè)物體以20m/s的初速度豎直上拋，高度\(h=20t-5t^2\)（\(t\)為時(shí)間，單位：s）。若要求高度超過(guò)15m，求時(shí)間\(t\)的范圍。五、解題關(guān)鍵總結(jié)1.精準(zhǔn)建模：從實(shí)際問(wèn)題中提取“不等關(guān)系”，結(jié)合公式（利潤(rùn)、面積、增長(zhǎng)率等）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式；2.變量約束：注意變量的實(shí)際意義（如時(shí)間、邊長(zhǎng)為正，長(zhǎng)度不超過(guò)墻長(zhǎng)等），對(duì)解集進(jìn)行“實(shí)際意義檢驗(yàn)”；3.圖像輔助：解不等式時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的開(kāi)口方向、根