專題2：不等式及其應(yīng)用<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式，在高考中，基本不等式是作為求多變?cè)淖钪档墓ぞ撸镁挡坏仁角笞钪敌枰盐諟?zhǔn)確“一正、二定、三相等”的含義，并要掌握相應(yīng)的技巧.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：配湊法題型一：配湊法配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．例1若a>0，b>0，c>0且a(a+b+c)+bc=16，則2a+b+c>m2+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(?∞,?2)∪(4,+∞) B.(?∞,?4)∪(2,+∞)

C.?2,4 D.?4,2【思路點(diǎn)撥】首先恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，本題實(shí)質(zhì)是求2a+b+c的最小值，表達(dá)式為“和式”結(jié)構(gòu)，因此可將條件a(a+b+c)+bc=16轉(zhuǎn)化為“積式”結(jié)構(gòu)，也即因式分解為a+ba+c練1(2024·湖北省黃石市·月考試卷)已知正數(shù)x，y滿足x+y=1，且x2y+1+y2x+1A.163 B.13 C.2 練2(2023·山東省濟(jì)南市·月考試卷)若函數(shù)f(x)=ax2+(b?1)x+1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)M(1,4)，且a>0，b>0，當(dāng)1ab+9題型二：利用題型二：利用常數(shù)代換法求最值常數(shù)代換是指利用某些帶有常數(shù)項(xiàng)的恒等式，把常量化為變量代入到所求證的式子中，并進(jìn)行代數(shù)變形，進(jìn)而利用均值不等式來(lái)求最值.常見(jiàn)的有“1”的代換.例2若x>0,y>0，且1x+1+1x+2y=1，則2x+yA.2 B.23 C.12+【思路點(diǎn)撥】通過(guò)換元x+1=a,x+2y=b將題設(shè)條件簡(jiǎn)化為1a+1b=1，然后將目標(biāo)2x+y練3(2023·山東省菏澤市·模擬題)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，y>0，|x|>0，則2|x|+|x|yA.22?2 B.22+2題型三：化題型三：化單變量利用條件將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，將多變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量的問(wèn)題，再利用均值不等式求解，也可以通過(guò)齊次化轉(zhuǎn)化，利用比值換元轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題.例3已知正數(shù)a，b滿足1a+1b=2，則3b+1【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)1a+1b=2得到b=a2a?1練4(2024·江蘇省無(wú)錫市模擬)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0，y>0，不等式x+xy≤ax+y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為(

)2?12 B.2?1 C.2題型四：多次題型四：多次使用基本不等式連續(xù)使用均值不等式的關(guān)鍵在于取等條件是否成立，可以根據(jù)變量的個(gè)數(shù)以及方程的個(gè)數(shù)來(lái)確定可使用均值不等式的次數(shù)，或者需要保證所用均值不等式等號(hào)成立的條件不沖突.例4已知正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2A.3 B.3(3+1)2 C.4【思路點(diǎn)撥】 本題變量為3個(gè)，方程1個(gè)，因此可以“自由”使用兩次均值不等式，根據(jù)題干條件，可以先將目標(biāo)S=1+z2xyz中的xy利用均值不等式轉(zhuǎn)化為練5(2024·福建省莆田市模擬)已知x+1>y>0，則x+4x+y+1+A.3102?1 B.103 C.練6(2024·湖北省襄陽(yáng)市模擬)已知x>0，y>0，z>0，則x+yx+題型五：柯西不等式題型五：柯西不等式 柯西不等式的二維形式是：a2+b其向量形式為：m=a,b根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)，即a2+b例5已知m，n均為正實(shí)數(shù)，4m+n=9，則2m+1【思路點(diǎn)撥】題干條件相當(dāng)于目標(biāo)的平方和的形式，因此可以通過(guò)配湊系數(shù)，利用柯西不等式求解.練7(2024·北京市期末)已知a+b=3(a>0,b>0)，則a2練8(2024·山東省·單元測(cè)試)柯西不等式(Cauc?y?Sc?warz?Lnequality)是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西與德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)給出一個(gè)二維柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)即ac=bd時(shí)，等號(hào)成立.根據(jù)柯西不等式可以得知函數(shù)f(x)=325 B.23 C.<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2024·安徽省·月考試卷)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足14a2+14A.?∞,4 B.?4,4 C.?2,4D.?1,42.(2024·河南省·月考試卷)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，且不等式4x+1+1y<mA.m<?3或m>32B.m<?32或m>3C.?3.(2024··期中考試)已知函數(shù)fx=ax?4+1(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x,y的方程mx+ny=4m>0,n>0A.9 B.24 C.4 D.64.(2024·湖北省武漢市模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b=1,c+d=1,則1abc+1A.10 B.9 C.42 D.5.(2024·河北省·模擬題)設(shè)maxa,b,c為實(shí)數(shù)a,b,c中最大的數(shù)．若x>0,y>0,z>0，則maxxz+1y,x+1yz6.(2024·安徽省安慶市期末)已知x,