省級數(shù)學(xué)競賽模擬試卷及詳解一、選擇題（本題共5小題，每小題6分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x)+2f(1-x)=x^2\)，則\(f(x)\)的表達式為（）A.\(\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}\)B.\(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\)C.\(\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\)D.\(\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}\)2.在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC=5\)，\(BC=6\)，點\(D\)在\(BC\)上，且\(BD=2\)，則\(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}\)的值為（）A.18B.20C.22D.243.滿足\(3^n\equiv1\pmod{7}\)的最小正整數(shù)\(n\)是（）A.2B.3C.6D.74.從5名男生和4名女生中選出3人，要求至少有1名女生，不同的選法種數(shù)為（）A.70B.80C.90D.1005.已知\(a,b>0\)，且\(a+b=1\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{4}\)的最小值為（）A.9B.10C.12D.15二、填空題（本題共5小題，每小題8分，共40分）6.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則\(a_n=\)________。7.復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(|z-1|=|z-i|\)，且\(|z|=\sqrt{2}\)，則\(z=\)________。8.如圖，\(\odotO\)是\(\triangleABC\)的外接圓，\(AB=AC\)，\(\angleBAC=120^\circ\)，\(BC=4\sqrt{3}\)，則\(\odotO\)的半徑為________。9.用數(shù)字1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為________。10.極限\(\lim_{n\to\infty}\frac{1+3+5+\dots+(2n-1)}{n^2+1}=\)________。三、解答題（本題共3小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）11.（本題16分）設(shè)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，且\(f(1)=0\)，\(f'(1)=0\)，\(f''(1)=6\)，求\(a,b,c\)的值及\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。12.（本題17分）在四邊形\(ABCD\)中，\(AB\parallelCD\)，\(AB=2CD\)，\(E\)為\(AB\)中點，連接\(DE,CE\)，求證：\(DE\)平分\(\angleADC\)，\(CE\)平分\(\angleBCD\)。13.（本題17分）已知正整數(shù)\(n\)滿足：存在正整數(shù)\(k\)，使得\(n=k^2+k+1\)，且\(n\)的各位數(shù)字之和為10，求所有滿足條件的\(n\)。省級數(shù)學(xué)競賽模擬試卷詳解一、選擇題詳解1.函數(shù)方程的變量替換法已知\(f(x)+2f(1-x)=x^2\)，將\(x\)替換為\(1-x\)，得：\(f(1-x)+2f(x)=(1-x)^2\)。聯(lián)立原方程與新方程：\[\begin{cases}f(x)+2f(1-x)=x^2\\2f(x)+f(1-x)=(1-x)^2\end{cases}\]將第二個方程乘以2，再減去第一個方程消去\(f(1-x)\)：\(3f(x)=2(1-x)^2-x^2=x^2-4x+2\)，故\(f(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\)，對應(yīng)選項B。2.向量數(shù)量積的坐標系法（注：題目選項或存在筆誤，實際計算結(jié)果為19）以\(B\)為原點，\(BC\)為x軸建立坐標系：\(B(0,0)\)，\(C(6,0)\)，\(A(3,4)\)（由等腰三角形高為4得），\(D(2,0)\)（\(BD=2\)）。則\(\overrightarrow{AD}=(2-3,0-4)=(-1,-4)\)，\(\overrightarrow{AB}=(0-3,0-4)=(-3,-4)\)。數(shù)量積為\((-1)\times(-3)+(-4)\times(-4)=3+16=19\)。若題目中\(zhòng)(BD=3\)（即\(D\)為\(BC\)中點），則\(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=20\)（選項B），推測可能為題目筆誤。3.同余的周期分析計算\(3^n\mod7\)的周期：\(3^1\equiv3\)，\(3^2\equiv2\)，\(3^3\equiv6\)，\(3^4\equiv4\)，\(3^5\equiv5\)，\(3^6\equiv1\pmod{7}\)。故滿足\(3^n\equiv1\pmod{7}\)的最小正整數(shù)\(n=6\)，對應(yīng)選項C。4.組合計數(shù)的間接法（注：題目選項或存在筆誤，實際結(jié)果為74）“至少1名女生”的反面是“全男生”，總選法為\(\mathrm{C}_9^3\)，全男生選法為\(\mathrm{C}_5^3\)。計算得：\(\mathrm{C}_9^3-\mathrm{C}_5^3=84-10=74\)。若題目中女生為3人（總?cè)藬?shù)8），則結(jié)果為\(\mathrm{C}_8^3-\mathrm{C}_5^3=56-10=46\)，仍不符選項，推測題目數(shù)據(jù)或有調(diào)整。5.基本不等式的“乘1法”由\(a+b=1\)，得：\[\frac{1}{a}+\frac{4}=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{4}\right)=5+\frac{a}+\frac{4a}\]由基本不等式，\(\frac{a}+\frac{4a}\geq2\sqrt{\frac{a}\cdot\frac{4a}}=4\)，當且僅當\(b=2a\)（即\(a=\frac{1}{3},b=\frac{2}{3}\)）時取等號。故最小值為\(5+4=9\)，對應(yīng)選項A。二、填空題詳解6.線性遞推的構(gòu)造法遞推式\(a_{n+1}=2a_n+1\)可構(gòu)造等比數(shù)列：令\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，則\(\{a_n+1\}\)是以\(a_1+1=2\)為首項、2為公比的等比數(shù)列。故\(a_n+1=2^n\)，即\(a_n=2^n-1\)。7.復(fù)數(shù)的幾何意義與方程求解\(|z-1|=|z-i|\)表示\(z\)在復(fù)平面上到\((1,0)\)和\((0,1)\)的垂直平分線上，即直線\(y=x\)。設(shè)\(z=x+yi\)，由\(|z|=\sqrt{2}\)得\(x^2+y^2=2\)，結(jié)合\(y=x\)，解得\(x=\pm1\)，故\(z=1+i\)或\(z=-1-i\)。8.正弦定理的應(yīng)用等腰\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=120^\circ\)，故\(\angleABC=30^\circ\)。由正弦定理：\(\frac{BC}{\sin\angleBAC}=2R\)，代入\(BC=4\sqrt{3}\)，\(\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得：\[2R=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8\impliesR=4\]9.排列組合的位置優(yōu)先法偶數(shù)的個位只能是2或4（2種選擇），剩余3位從3個數(shù)字中全排列（\(\mathrm{A}_3^3=6\)種）。故偶數(shù)個數(shù)為\(2\times6=12\)。10.等差數(shù)列求和與極限運算分子為等差數(shù)列求和：\(1+3+\dots+(2n-1)=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2\)。故極限為：\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}=1\]三、解答題詳解11.三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性分析求導(dǎo)得：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，\(f''(x)=6x+2a\)。由條件：\(f(1)=1+a+b+c=0\)，\(f'(1)=3+2a+b=0\)，\(f''(1)=6+2a=6\impliesa=0\)。代入\(a=0\)得\(b=-3\)，再代入\(f(1)=0\)得\(c=2\)。故\(f(x)=x^3-3x+2\)，\(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)。單調(diào)性：\(x\in(-\infty,-1)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增；\(x\in(-1,1)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)遞減；\(x\in(1,+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增。12.平行四邊形的性質(zhì)與角平分線證明由\(AB\parallelCD\)且\(AB=2CD\)，\(E\)為\(AB\)中點，得\(AE=CD\)，\(EB=CD\)。證\(DE\)平分\(\angleADC\)：因\(AE\parallelCD\)且\(AE=CD\)，四邊形\(AECD\)為平行四邊形，故\(AD\parallelEC\)，得\(\angleADE=\angleDEC\)（內(nèi)錯角）。又\(AB\parallelCD\)，得\(\angleDEC=\angleEDC\)（內(nèi)錯角），故\(\angleADE=\angleEDC\)，即\(DE\)平分\(\angleADC\)。證\(CE\)平分\(\angleBCD\)：因\(EB\parallelCD\)且\(EB=CD\)，四邊形\(EBCD\)為平行四邊形，故\(BC\parallelED\)，得\(\angleBCE=\angleDEC\)（內(nèi)錯角）。又\(AB\parallelCD\)，得\(\angleDEC=\angleECD\)（內(nèi)錯角），故\(\angleBCE=\angleECD\)，即\(CE\)平分\(\angleBCD\)。13.數(shù)論與數(shù)字和的枚舉法由\(n=k^2+k+1\)，枚舉正整數(shù)\(k\)并計算\(n\)的數(shù)字和：\(k=8\)：\(n=8^2+8+1=73\)，數(shù)字和\(7+3=10\)；\(k=9\)：\(n=9^2+9+1=91\)，數(shù)字和\(9+1=10\)；\(k=17\)：\(n=17^2+17+1=307\)，數(shù)字和\(3+0+7=10\)；\(k=18\)：\(n=18^2+18+1=343\)，數(shù)字和\(3+4+