§6.5數(shù)列求和課標(biāo)要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn==.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=n(2)分組求和法與并項(xiàng)求和法①分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.②并項(xiàng)求和法一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.(4)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項(xiàng)技巧①1n(n②1n(n③1(2n-1)(2④1n+n⑤1n(n1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn=a1-an(2)求數(shù)列{2n+2n}的前n項(xiàng)和可用分組求和法.()(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan時，只要把上式等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求得.()(4)當(dāng)n≥2時，1n2-1=1n-1-2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1=(-1)n，則數(shù)列{an}前2025項(xiàng)和為()A.-1011 B.-1012C.1013 D.10143.Sn=12+12+38+…+n2A.2n-C.2n-4.在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+1n(n+1)，則通項(xiàng)公式a謹(jǐn)防三個易誤點(diǎn)(1)并項(xiàng)求和時注意哪些項(xiàng)進(jìn)行并項(xiàng).(2)裂項(xiàng)時注意是否還有系數(shù)及是否前后相鄰的項(xiàng)相消.(3)錯位相減后構(gòu)造的等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是否是n項(xiàng).題型一分組求和與并項(xiàng)求和例1(1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an}滿足an+2=an+2,n為偶數(shù),2an,n為奇數(shù),且a1=2A.1023 B.1124C.2146 D.2145(2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=tan225°，a5=13a1，設(shè)Sn為數(shù)列{(-1)nan}的前n項(xiàng)和，則S2026等于()A.2026 B.-2026C.3039 D.-3039思維升華(1)分組求和法常見題型①若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.②若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=a其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.(2)并項(xiàng)求和法常見題型①數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)nf(n)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.②數(shù)列{an}是周期數(shù)列或ak+ak+1(k∈N*)為定值，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.跟蹤訓(xùn)練1(2024·畢節(jié)模擬)已知數(shù)列{an}滿足an=2×(-2)n-1+n-2.求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.題型二裂項(xiàng)相消法求和例2(2024·菏澤模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn=log2a2n-1，cn=1bnbn+1，求證：c1+c2+c3+…+思維升華裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律(1)裂項(xiàng)原則一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.(2)消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練2(2025·安順模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=1，且?n∈N*，anSn+1-an+1Sn=an(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=n2+n+1anan+1，{bn}的前題型三錯位相減法求和例3(2025·貴陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=13an+13n+1，且a1=-23.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Tn，bn=3(1)證明：{bn}是等差數(shù)列；(2)求Tn.思維升華(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時，常采用錯位相減法.(2)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)將兩式“錯項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.(3)[萬能公式]形如cn=(an+b)·qn-1(q≠1)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=(An+B)qn+C(q≠1)，其中A=aq-1，B=b-A跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}滿足a1=52，且an=4an-1-1an-1+2((1)設(shè)bn=1an-1，求證：數(shù)列{b(2)記cn=(n+1)·3n·an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.答案精析落實(shí)主干知識(1)①n(a1+an②a1(1-(4)①1n-1n+1③1212n-1自主診斷1.(1)√(2)√(3)×(4)×2.D3.B4.3-1探究核心題型例1(1)C[根據(jù)遞推公式可知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)依次為：2，22，23，…，為等比數(shù)列；數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)依次為：1，3，5，…，為等差數(shù)列.所以S20=10×1+10×92×2+2(1-210)1-2=100+211(2)C[由已知a1=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1，故a5=13a1=13，設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，可得d=a5-a1所以S2026=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2026-a2025)=1013d=3039.]跟蹤訓(xùn)練1解由于an=2×(-2)n-1+n-2，所以Sn=a1+a2+a3+…+an=2×(-2)0+(-1)+2×(-2)1+0+2×(-2)2+1+…+2×(-2)n-1+n-2=2×[(-2)0+(-2)1+(-2)2+…+(-2)n-1]+[(-1)+0+1+…+(n-2)]=2×1-(-2)n=23-2×(-2)n例2(1)解由Sn=2an-2， ①當(dāng)n=1時，S1=2a1-2=a1，解得a1=2，當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-2， ②①-②，得an=2an-1，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an=a12n-1=2n.(2)證明由(1)知a2n-1=22n-1，∴bn=log2a2n-1=2n-1，bn+1=2n+1.則cn=1bn故c1+c2+c3+…+cn=121∵12n+1>0，∴1-121-故c1+c2+c3+…+cn<12跟蹤訓(xùn)練2解(1)∵?n∈N*，anSn+1-an+1Sn=a∴Sn+1an+1-Snan=∵a1=1，∴數(shù)列Snan是首項(xiàng)為1則Snan=1+12(n即2Sn=(n+1)an，2Sn-1=nan-1(n≥2)，兩式作差得2an=(n+1)an-nan-1，即anan-1=nn-1∴ana=nn-1即ana1=n，an=n(n≥∵a1=1符合上式，∴an=n.(2)bn=n2+=1+1=1+1n-∴Tn=n+1-12+12∵Tn+1-Tn=(n+2)-=1+1(n∴數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列，∴(Tn)min=T例3(1)證明因?yàn)閎n=3n·an，所以bn+1=3n+1·an+1，bn+1-bn=3n+1·an+1-3n·an=3n+113an+13且b1=-2，所以{bn}是以-2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)知，bn=n-3，所以an=bn3n=(n-3)則Tn=(-2)·131+(-1)·132+0·133+…+(n-4)·13所以13Tn=(-2)·132+(-1)·133+0·134+…+(n-4)·1兩式相減得23Tn=-23+132+133+134+…+=-23+191-13n-1=-12-n3因此Tn=-34-n2-跟蹤訓(xùn)練3(1)證明因?yàn)閍n=4an-1-1則an-1=4an則1an-1==131+3a即bn-bn-1=13，n≥故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1a1-1=23(2)解由(1)可知，bn=13n+即1an解得an=3n+1+1=則cn=(n+1)·3n·an=(n+4