§10.4事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式課標(biāo)要求1.了解兩個事件相互獨立的含義.2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率.1.相互獨立事件(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與，A與，A與B也都相互獨立.2.條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.(2)兩個公式①利用古典概型：P(B|A)=；

②概率的乘法公式：P(AB)=.(3)條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)=；

②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)=.③設(shè)B和B互為對立事件，則P(B|A)=.3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)=.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于任意兩個事件，公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.()(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率.()(3)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨立.()(4)若事件A1與A2是對立事件，則對任意的事件B?Ω，都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).()2.若P(A|B)=19，P(B)=13，則P(AB)的值是(A.127 B.C.19 D.3.某人忘記了一位同學(xué)電話號碼的最后一個數(shù)字，但確定這個數(shù)字一定是奇數(shù)，則撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為()A.15 B.C.35 D.4.甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個白球，3個黑球，先從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱中任取一球，則從乙箱中取出白球的概率是.1.理清“相互獨立”和“事件互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個事件相互獨立不一定互斥.2.不要混淆P(B|A)與P(A|B)前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率.題型一相互獨立事件命題點1事件相互獨立性的判斷例1(2021·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立命題點2相互獨立事件的概率例2小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為a，a，12，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為14，則他三道題都答錯的概率為(A.12 B.C.14 D.概率問題中的遞推數(shù)列在概率與統(tǒng)計的問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)概率統(tǒng)計與數(shù)列綜合考查的問題，一般以壓軸題的形式出現(xiàn).主要有四種類型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型.典例(多選)甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍智蛉税亚騻鹘o另外兩人中的任意一人是等可能的.從一個人傳球到另一個人稱傳球一次.若傳球開始時甲持球，記傳球n次后球仍回到甲手里的概率為Pn，則下列結(jié)論正確的是()A.P2＝12 B.P4＝C.Pn＝12(1－Pn－1) D.Pn＝思維升華求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積.(2)當(dāng)正面計算較復(fù)雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算.跟蹤訓(xùn)練1甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則()A.兩人都中靶的概率為0.12B.兩人都不中靶的概率為0.42C.恰有一人中靶的概率為0.46D.至少有一人中靶的概率為0.74題型二條件概率命題點1條件概率例3甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加4×100米接力賽跑.記事件A為“甲同學(xué)不跑第一棒”，事件B為“乙同學(xué)跑第二棒”，則P(B|A)的值為()A.19 B.49 C.13命題點2條件概率性質(zhì)的應(yīng)用例4(多選)下列結(jié)論中錯誤的是()A.P(B|A)=P(A|B)B.P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)C.P(AB)=P(B|A)P(A)D.P(B|A)P(A)≥P(A)+P(B)思維升華求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)=P((2)樣本點法：P(B|A)=n((3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解.跟蹤訓(xùn)練2(1)為謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進學(xué)生對黨史知識的了解，某學(xué)校開展黨史知識競賽活動，以班級為單位參加比賽.某班級在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第一次抽到選擇題”，事件B為“第二次抽到選擇題”，則P(B|A)等于()A.35 B.C.34 D.(2)(多選)一個箱子中裝有大小、形狀均相同的8個小球，其中白球5個、黑球3個，現(xiàn)在從箱子中不放回地取兩次球，第一次先從箱子中隨機取出1個球，第二次再從箱子中隨機取出2個球，分別用A，B表示事件“第一次取出白球”“第一次取出黑球”；分別用C，D表示事件“第二次取出的兩球都為黑球”“第二次取出的兩球為一個白球一個黑球”.則下列結(jié)論正確的是()A.P(C|B)=121 B.P(D|A)=C.P(B)=38 D.P(BC)=題型三全概率公式的應(yīng)用例5(1)某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05，0.15，0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占50%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是()A.0.155 B.0.175C.0.016 D.0.096(2)設(shè)5支槍中有2支未校正，3支已校正.一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4.若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，則該槍未校正的概率為.思維升華利用全概率公式解題的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1，2，…，n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式計算.跟蹤訓(xùn)練3(多選)湖南張家界是國家5A級景區(qū)，有許多好看的景點.李先生和張先生預(yù)選該景區(qū)的玻璃棧道和鳳凰古城游玩，他們第一天去玻璃棧道和鳳凰古城游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他們第一天去玻璃棧道，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.3；如果第一天去鳳凰古城，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.6.設(shè)A1=“第一天去玻璃棧道”，A2=“第二天去玻璃棧道”，B1=“第一天去鳳凰古城”，B2=“第二天去鳳凰古城”，則()A.P(A2|A1)=0.3 B.P(A2|B1)=0.3C.P(A2)=0.51 D.P(B2)=0.49答案精析落實主干知識1.(1)P(A)P(B)(2)BB2.(1)P(AB)P②P(A)P(B|A)(3)①1②P(B|A)+P(C|A)③1-P(B|A)3.n∑i=1P(Ai)P(B|A自主診斷1.(1)×(2)√(3)√(4)√2.A3.B4.8探究核心題型例1B[事件甲發(fā)生的概率P(甲)=16，事件乙發(fā)生的概率P(乙)=16，事件丙發(fā)生的概率P(丙)=56×6=536，事件丁發(fā)生的概率P(丁)=66×6=16.事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯誤；事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為16×6=136，P(甲丁)=P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為16×6=136，P(乙丙)≠P(乙)P例2C[記小剛答對A，B，C三道題分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨立，且P(D)=P(E)=a，P(F)=12恰好能答對兩道題為事件DEF+DEF+DEF，且DEF，DEF，DEF所以P(DEF+DEF+DEF)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)=a×a×1-12+a×(1-a)×12+(1-a)×a×整理得(1-a)2=12，故P(DEF)=P(D)P(E)P(=(1-a)21-12=12(1-a)2=微拓展典例ACD[A選項，第一次傳球后到乙或丙手里，故P1=0，第二次傳球，球有12的概率回到甲手里，故P2=12C選項，Pn-1為傳球(n-1)次后球仍回到甲手里的概率，要想傳球n次后球仍回到甲手里，則第(n-1)次傳球后球不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次傳球有12的概率回到甲手里，故Pn=12(1-Pn-1)，D選項，由C選項知Pn=12(1-Pn-1)即Pn=-12Pn-1+設(shè)Pn+λ=-12(Pn-1+λ)故Pn=-12Pn-1-32所以-32λ=12，解得故Pn-13=-又P1-13=-13≠所以Pn-13是首項為-13故Pn-13=-故Pn=13-13B選項，由D選項可知P4=13-13×-12跟蹤訓(xùn)練1C[設(shè)甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，P(A)=0.6，P(B)=0.7，則兩人都中靶的概率為P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42，兩人都不中靶的概率為P(AB)=[1-P(A)][1-P(B)]=0.4×0.3=0.12恰有一人中靶的概率為P(AB∪AB)=[1-P(A)]P(B)+P(A)[1-P(B)]=0.4×0.7+0.6×0.3=0.46，至少有一人中靶的概率為1-P(AB)=0.88.例3D[已知事件A為“甲同學(xué)不跑第一棒”，事件B為“乙同學(xué)跑第二棒”，則P(A)=C31P(AB)=C21所以P(B|A)=P(AB)P(A例4ABD[P(A|B)=P(AB)P(B)，P(B|A)=P(AB)P(A)當(dāng)B，C為互斥事件時，等式成立，故B不正確；由概率的乘法公式知C正確；P(B|A)P(A)=P(AB)≤P(A)+P(B)，故D不正確.]跟蹤訓(xùn)練2(1)D[P(A)=35，P(AB)=3×25×4=310，所以P(B|A)=P((2)ACD[由題得P(B)=C31C8根據(jù)條件概率得P(C|B)=n(BC)n(BP(D|A)=n(DA)nB選項錯誤；P(BC)=P(B)P(C|B)=38×121=1例5(1)B[設(shè)事件B1表示“被保險人是‘謹慎的’”，事件B2表示“被保險人是‘一般的’”，事件B3表示“被保險人是‘冒失的’”，則P(B1)=20%，P(B2)=50%，P(B3)=30%.設(shè)事件A表示“被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故”，則P(A|B1)=0.05，P(A|B2)=0.15，P(A|B3)=0.30.由全概率公式，得P(A)=3∑i=1P(Bi)P(A|Bi)=20%×0.05+50%×0.15+30%×0.30=0.175(2)0.8解析設(shè)事件A表示“射擊時中靶”，事件B1表示“使用的槍校正過”，事件B2表示“使用的槍未校正”，則P(A|B1)=0.9，P(B1)=0.6，P(A|B2)=0.4，P(B2)=0.4，根據(jù)全概率公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=0.9×0.6+0.4×0.4=0.7，所以P(A)=1-P(A)=0.