第一章《三角形》復(fù)習(xí)題---含30°角的直角三角形的性質(zhì)【題型1利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】1.如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為9，D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，DE交CB于點(diǎn)P，點(diǎn)P為DE中點(diǎn)．若DE⊥AC，則CD長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52.如圖，△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的角平分線，點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，若AD=6，則CD=．3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，AD=2，則BC的長(zhǎng)是（）A．12 B．10 C．8 D．64.已知等邊△ABC中AD⊥BC，AD=12，若點(diǎn)H在線段AD上運(yùn)動(dòng)，12AH+CH取最小值時(shí)，DH的值為【題型2利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求角度】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是直線AB上的一點(diǎn)，且滿足BD=12AB，則2.如圖，在矩形ABCD中，ADAB=12，將矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D3.如圖，在△ABC中，中線CM與高線CD三等分∠ACB，則∠B的度數(shù)為．4.已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=12BC，則等腰三角形ABC【題型3利用含30°的直角三角形的性質(zhì)證明】1.如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F，連接AD、BF，且BF=AF．(1)求證：AD∥BC；(2)求證：AD=2AE．2.如圖，在△ABC中，CA=CB,∠A=30°，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC交AB于點(diǎn)E．求證：BE=2AE．3.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在邊BC、AC上，且BD=CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F．(1)求證：△ABD≌△BCE；(2)過點(diǎn)A作AG⊥BE，求線段AF與GF的數(shù)量關(guān)系．4.如圖，在△ABC中，D是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，ED的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，且EF⊥AB，若∠A與∠ACE互補(bǔ)，∠E=30°．(1)求證：△ABC是等邊三角形．(2)請(qǐng)判斷線段AD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．【題型4利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問題】1.如圖，在△ABC中，AB=6cm，BC=5cm，∠B=60°，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以1?cm/s的速度沿CB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M、N其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tsA．1 B．1或52 C．1或2 D．2或2.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），連接PQ交AB于D．當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，AP的長(zhǎng)為．3.如圖∠MAN=60°，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線AM上，且AB=2，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿射線AN運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍是秒時(shí)，△ABC是銳角三角形．4.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線BC?CA運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．當(dāng)PQ與△ABC的一條邊垂直時(shí)，t=【題型5利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決最值問題】1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=16，點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，連接CF，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段CF長(zhǎng)度的最小值為（

A．8 B．4 C．2 D．12.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為（

A．43 B．32 C．83.如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB．將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN，則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是（

）A．16 B．12 C．14.如圖，OE是等邊△AOB的中線，OB=8，C是直線OE上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為邊作等邊三角形ACD，連接ED，下列說法正確的是（A．ED的最小值是2 B．ED有最大值C．ED的最小值是4 D．ED沒有最小值也沒有最大值【題型6利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決翻折問題】1.如圖，在△ABC中，AB=5，BC=9，∠B=60°，點(diǎn)D在邊BC上，CD=4，連接AD．將△ACD沿直線AD翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，作EF⊥BC，垂足為F，則FD=

2.如圖，RtΔABC中，∠C=90°，當(dāng)ΔABC沿折痕BE翻折時(shí)，點(diǎn)C恰好落在AB的中點(diǎn)D上.若BE=6，則AC的長(zhǎng)是（A．6 B．8 C．9 D．103.如圖，將一塊長(zhǎng)方形紙片ABCD沿BD翻折后，點(diǎn)C與E重合，BE交AD于點(diǎn)H，若∠CBD=30°，EH=2，則BC的長(zhǎng)度為．4.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=9，點(diǎn)D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接BF．當(dāng)△BDF為直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為

【題型7含30°的直角三角形的實(shí)際應(yīng)用】1.小亮想測(cè)量屋前池塘的寬度，他結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如圖1的測(cè)量方案：先在池塘外的空地上任取一點(diǎn)O，連接AO，CO，并分別延長(zhǎng)至點(diǎn)B，點(diǎn)D，使OB=OA，OD=OC，連接(1)如圖1，求證：AC=BD；(2)如圖2，但在實(shí)際測(cè)量中，受地形條件的影響，于是小亮采取以下措施：延長(zhǎng)CO至點(diǎn)D，使OC=OD，過點(diǎn)D作AC的平行線DE，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)F，連接EF，測(cè)得∠DEF=120°，∠OFE=90°，2.某校在一塊如圖所示的三角形空地ABC上種植草皮美化環(huán)境，已知∠A=150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮需要元．3.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC,DE分別垂直于橫梁AC，若AB=8?m,∠DCA=30°，則立柱DE

4.密云水庫(kù)是首都的“生命之水”，作為北京重要的水源地，保持水質(zhì)成為重中之重．如圖所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示兩個(gè)水質(zhì)監(jiān)測(cè)站，監(jiān)測(cè)人員上午6時(shí)在A處完成采樣后，測(cè)得實(shí)驗(yàn)室P在A點(diǎn)北偏東60°方向．隨后監(jiān)測(cè)人員乘坐監(jiān)測(cè)船繼續(xù)向東行駛，上午9時(shí)到達(dá)B處，同時(shí)測(cè)得實(shí)驗(yàn)室P在B點(diǎn)北偏西30°方向，其中監(jiān)測(cè)船的行駛速度為20km/h(1)在圖中畫出實(shí)驗(yàn)室P的位置；(2)已知A、B兩個(gè)水質(zhì)監(jiān)測(cè)站的圖上距離為3cm①請(qǐng)你利用刻度尺，度量監(jiān)測(cè)船在B處時(shí)到實(shí)驗(yàn)室P的圖上距離；②估計(jì)監(jiān)測(cè)船在B處時(shí)到實(shí)驗(yàn)室P的實(shí)際距離，并說明理由．參考答案【題型1利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】1.B【分析】過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于F，先證△CDF是等邊三角形，再證△PDF≌△PEB，得CD=BE，設(shè)BE=x，則BE=CD=x,AD=9?x,AE=9+x，最后根據(jù)在直角三角形中，30°的角所對(duì)的邊是斜邊的一半，計(jì)算9?x=1【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于F，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠C=60°，∵DF∥∴∠CDF=∠A=60°,∠DFC=∠ABC=60°,∠DFP=∠EBP，∴△CDF是等邊三角形，∴CD=DF，∵點(diǎn)P為DE中點(diǎn)，∴PD=PE，在△PDF和△PEB中，∠DFP=∠EBP∠DPF=∠EPB∴△PDF≌△PEB，∴DF=BE，∴CD=BE，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°，∴∠E=90°?∠A=30°，設(shè)BE=x，則BE=CD=x,AD=9?x,AE=9+x，∴9?x=1解得：x=3，∴CD=3，故選：B．2.3【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、等邊對(duì)等角、直角三角形的性質(zhì)，由角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD=6，從而可得∠A=∠ABD，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，最后由直角三角形的性質(zhì)即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，∵點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，∴AD=BD=6，∴∠A=∠ABD，∵△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠ABD+∠CBD=90°，∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°，∴CD=1故答案為：3．3.D【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得BD=2AD=4，由等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC=180°?∠B?∠C=120°，進(jìn)而求得∠CAD=∠BAC?∠BAD=30°，再根據(jù)等邊對(duì)等角得到AD=CD=2，最后根據(jù)BC=BD+DC即可得解．【詳解】解：∵AD⊥AB，∴△ABD為直角三角形，又∠B=30°，AD=2，∴BD=2AD=2×2=4，∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?30°?30°=120°，∵AD⊥AB，即∠BAD=90°，∴∠CAD=∠BAC?∠BAD=120°?90°=30°，∴△ACD是等腰三角形，即AD=CD=2，∴BC=BD+DC=4+2=6，故選：D．4.4【分析】過點(diǎn)H作HE⊥AB于點(diǎn)E，連接CE，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)得到EH=12AH，可得12AH+CH=EH+CH≥CE，繼而得出當(dāng)C、H、E【詳解】解：如圖，過點(diǎn)H作HE⊥AB于點(diǎn)E，連接CE，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=1∴EH=1∴12當(dāng)C、H、E三點(diǎn)依次在同直線上時(shí)，12此時(shí)，CE⊥AB，∠ACE=∠CAD=∠BCE=30°，∴AH=CH，DH=1∴DH=1故答案為：4．【題型2利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求角度】1.30°或60°【分析】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，分兩種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上和點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形解答即可，利用分類討論的思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=12AB∵BD=1∴BC=BD，∴△BCD為等邊三角形，∴∠BDC=60°；當(dāng)點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，同理可得BD=BC，∴∠BCD=∠BDC∵∠ABC=60°，∠BCD+∠BDC=∠ABC，∴∠BDC=∠BCD=30°；綜上，∠BDC=30°或60°，故答案為：30°或60°．2.30【分析】根據(jù)題意易得AB【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAB=90°，∵ADAB∴AB=2AD，∵將矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB∴∠D∴∠DB∴∠DAB∴∠DAD故答案為30．3.30°【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定得出△ACD≌△MCD，確定AD=DM=12AM=12BM．過點(diǎn)M作【詳解】解：解：根據(jù)題意得：CD⊥AB,AM=MB,∠∵∠ACD=∴△ACD≌△MCD．∴AD=DM=1過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，∵∠DCM=∴DM=NM．∴NM=1∴在Rt△MNB中，∠故答案為：30°．4.15°或45°或75°【分析】本題考查了30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論求解．作出圖形，分①點(diǎn)A是頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，從而得到AD=BD=CD，再利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可；②點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，AD在△ABC外部時(shí)，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠ACD=30°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可得到底角是15°，③點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠C=30°，然后再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求解即可．【詳解】解：①如圖1，點(diǎn)A是頂點(diǎn)時(shí)．

∵AB=AC，∴BD=CD，∵12∴AD=BD=CD．∵在Rt△ABD中，AD=BD∴∠B=∠BAD=1②如圖2，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC外部時(shí)．

∵BC=2AD，∴AD=1∴∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABC=1③如圖3，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC內(nèi)部時(shí)．

∵BC=2AD，∴AD=1∴∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=1綜上所述，△ABC底角的度數(shù)為45°或15°或75°．【題型3利用含30°的直角三角形的性質(zhì)證明】1.（1）證明；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=BA，∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC；（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，∴AD=BD，∠BDA=60°，又∵BF=AF，∴BF=AF，∴DF垂直平分AB，∴∠AED=90°，∴AD=2AE．2.解：∵CA=CB,∠A=30°，∴∠B=∠A=30°，∠ACB=180°?30°?30°=120°，∵DE⊥AC交AB于點(diǎn)E．D是AC的中點(diǎn)，∴ED是AC的垂直平分線，∴AE=CE，∴∠ECA=∠A=30°，∴∠BCE=120°?30°=90°，在Rt△BCE中，∠B=30°則BE=2EC，∵AE=CE，∴BE=2AE．3.（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=CA，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠BCE∴△ABD≌△BCESAS（2）解：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠AFG=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABD=60°，∵AG⊥BE，∴∠AGB=90°，∴∠FAG=30°，∴AF=2GF．4.（1）證明：∵EF⊥AB，∴∠BFE=90°，∴∠B+∠E=90°．∵∠E=30°，∴∠B=60°．∵∠ACB+∠ACE=180°，∠A+∠ACE=180°，∴∠A=∠ACB，∴AB=CB，∴△ABC是等邊三角形．（2）解：AD=CE．理由：由（1）得△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°．∵∠AFD=90°∴∠ADF=30°．∵∠CDE=∠ADF，∴∠CDE=30°，∴∠E=∠CDE，∴CE=CD．∵D是AC邊的中點(diǎn)，∴AD=CD．∴AD=CE．【題型4利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問題】1.B【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論△BMN為直角三角形的情況，再結(jié)合路程公式求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)M以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以1?cm/s的速度沿CB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，∴BM=2tcm，BN=BC?CN=當(dāng)∠BMN=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴∠BNM=30°，∴BN=2BM，∴5?t=2×2t，∴t=1；當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴∠BMN=30°，∴BM=2BN，∴2t=2×5?t∴t=5∵當(dāng)M、N其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從B到A所需時(shí)間為6÷2=3s，點(diǎn)N從C到B所需時(shí)間為5÷1=5∴0≤t≤3；∵t=1和t=52均滿足∴t的值為1或52故選B．2.2【分析】先證明CQ=2CP，由此構(gòu)建方程求解，可得答案．【詳解】解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6?x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°∴PC=12QC解得x=2，∴AP=2．故答案為：2．3.1<t<4【分析】過B作BE⊥AN于E，BF⊥AM，BF交AN于F，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AE,AF的長(zhǎng)即可求解．【詳解】解：如圖，過B作BE⊥AN于E，BF⊥AM，BF交AN于F，則∠AEB=90°，∠ABF=90°，∵∠MAN=60°，∴∠ABE=30°，∠AFB=30°，∵AB=2，∴AE=12AB=1∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍是1<t<4秒時(shí)，△ABC是銳角三角形．故答案為：1<t<4．4.2或4或8【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，分三種情形：如圖1中，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖2中，當(dāng)QP⊥AB時(shí)，同法可得QB=2BQ，如圖3中，當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，同法可得AP=2AQ，分別求解即可；【詳解】解：由題意BQ=tcm，PB=①如圖1中，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，∵∠PQB=90°，∴∠BPQ=30°，∴PB=2BQ，∴6?t=2t，∴t=2．如圖2中，當(dāng)QP⊥AB時(shí)，同法可得QB=2PB，∴t=26?t∴t=4．③如圖3中，當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，同法可得AP=2AQ，∴t=212?t∴t=8，綜上所述，滿足條件的t的值為2或4或8．故答案為：2或4或8．【題型5利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決最值問題】1.B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和垂線段最短，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．延長(zhǎng)EF，過點(diǎn)C作CG⊥EF于點(diǎn)G，先證明點(diǎn)A、C、E在同一直線上，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠AEF=∠B=30°，根據(jù)垂線段最短，得出點(diǎn)F在點(diǎn)G處時(shí)，EF最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長(zhǎng)EF，過點(diǎn)C作CG⊥EF于點(diǎn)G，如圖所示：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°?30°=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：AB=AE=16，∠BAE=∠DAF=60°，∴∠BAC=∠BAE，∴點(diǎn)A、C、E在同一直線上，∵△BAD≌△EAF，∴∠AEF=∠B=30°，∴點(diǎn)F在直線EG上，∵垂線段最短，∴點(diǎn)F在點(diǎn)G處時(shí)，EF最小，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°∴AC=1∴CE=AE?AC=16?8=8，∵∠CGF=90°，∠CEG=30°，∴CG=1∴CF的最小值為4．故選：B．2.C【分析】本題考查了直角三角形的特征，線段垂直平分線的性質(zhì)，連接DF，過F作FG⊥BC交于G，由直角三角形的特征得AB=2AC=4，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AF=DF，BF=AB?AF=4?DF，當(dāng)DF取得最小值時(shí)，BF取得最大值，當(dāng)DF=FG時(shí)，DF取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，線段垂直平分線的性質(zhì)，能找出取得最大值的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接DF，過F作FG⊥BC交于G，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，∴AB=2AC=4，∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴BF=AB?AF=4?DF，當(dāng)DF取得最小值時(shí)，BF取得最大值，∵DF≥FG，∴當(dāng)DF=FG時(shí)，DF取得最小值，此時(shí)DF與FG重合，如圖，∴DF=1∴BF=4?1解得：BF=8故選：C．3.C【分析】取CB的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時(shí)最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．【詳解】解：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，則BG=CG=1由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠MBN=60°，BM=BN，∴∠MBH+∠HBN=60°，∵三角形ABC是等邊三角形，CH是等邊△ABC的高線，∴∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，BH=12AB=2∴∠HBN=∠MBC，BH=BG，在△MBG和△NBH中，BG=BH∠MBG=∠NBH∴△MBG≌△NBH(SAS∴MG=NH，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG⊥CH時(shí)，MG最短，此時(shí)HN最短，∵∠BCH=30°，CG=2，∴在Rt△CGM中，MG=∴線段HN長(zhǎng)度的最小值是1，故選：C．4.A【分析】取OA中點(diǎn)K，連接CK，EK，證明△ACK≌△ADE，得出CK=DE，當(dāng)CK⊥CE時(shí)，CK最小，故DE【詳解】如圖，取OA中點(diǎn)K，連接CK，∵OE是等邊△AOB的中線，∴OA=AB，AK=AE，∵以AC為邊作等邊三角形ACD，∴∠CAD=∠OAB=60°，∴∠CAD?∠OAD=∠OAB?∠OAD，即∠OAC=∠BAD，∴△ACK≌△ADESAS∴CK=DE，∴當(dāng)DE最小時(shí)，CK最小，當(dāng)CK⊥CE時(shí)，CK最小，∴DEmin∵∠ADE=30°，∴CK=1∴DE故選：A．【題型6利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決翻折問題】1.2【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，及直角三角形的性質(zhì)．先證明△ABD是等邊三角形，則可得∠ADB=60°，則∠ADC=120°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得∠FDE=60°，和DE的長(zhǎng)．在Rt△EFD中，根據(jù)“直角三角形中30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”即可求出FD【詳解】解：∵BC=9,CD=4，∴BD=9?4=5．∵△ABD中，AB=5,BD=5,∠B=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=180°?∠ADB=120°．根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，∠ADE=∠ADC=120°,DE=DC=4，∴∠FDE=∠ADE?∠ADB=60°．又∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∴∠FED=30°，∴FD=1故答案為：2．2.C【分析】先證明EA=EB，再證明∠EAB=∠EBA=∠EBC=30°，根據(jù)30°角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半得出EC的長(zhǎng)，之后進(jìn)一步求解即可.【詳解】∵∠BDE=∠C=90°，∴ED⊥AB，∵AD=DB,∴EA=EB=6，∴∠EAB=∠EBA=∠EBC，又∵∠BEC=∠EAB=∠EBA，∴∠BEC＋∠EBC=3∠EBC=90°，∴∠EBC=30°，∵BE=6，∴EC=12∴AC=EA＋EC=9.所以答案為C選項(xiàng).3.6【分析】由翻折得到∠EBD=∠CBD=30°，∠C=∠E=90°，利用長(zhǎng)方形的性質(zhì)得到∠ADB=∠CBD，推出BH=DH，證明△ABH≌△EDH，得到AH=EH=2，求出∠ABH=90°?30°?30°=30°，由此求出【詳解】解：由翻折得∠EBD=∠CBD=30°，∠C=∠E=90°，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，∴BH=DH，∵∠A=∠E,∠AHB=∠EHD，∴△ABH≌∴AH=EH=2，∵∠ABH=90°?30°?30°=30°，∴BH=2AH=4，∴BC=AD=AH+DH=2+4=6，故答案為：6．4.3或6【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．分兩種情況畫圖討論：當(dāng)∠BFD=90°時(shí)，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)，當(dāng)∠DBF=90°時(shí)，點(diǎn)F在△ABC外，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：∵∠ABC=60°，DE∥∴∠ADE=∠ABC=60°，由折疊可得∠FDE=∠ADE=60°，∴∠