高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省2024-2025學年高二上學期期中調研測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為常數(shù)，故直線的傾斜角為.故選：A.2.直線與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為直線和平行，由兩條平行直線間的距離公式可得．故選：D．3.圓與圓的公切線條數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，則，由于，即，故圓與圓相交，其公切線條數(shù)為．故選：C．4.過點作圓的切線，則切線的斜率為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】因為圓的圓心為，半徑為，易知過點的切線的斜率存在，設的方程為，即，則圓心到直線的距離，解得或．故選：A．5.若連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，則兩次拋擲骰子的點數(shù)之積為奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，基本事件總數(shù)為個．其中事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之積為奇數(shù)”包含的樣本點有：，共9個，故．故選：B．6.在正方體中，為的中點，則平面與平面夾角的余弦值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】兩兩垂直，故以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，取的中點為，連接，則，A1,0,0，，則，又因，，，平面，故平面，所以為平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則，所以，為平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．故選：D．7.如圖，是棱長為1的正方體內部（含表面）一動點，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】以A為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，則.故，當時取到最大值．故選：C．8.如圖，在直三棱柱中，為腰長為的等腰直角三角形，且，側面為正方形，為平面內一動點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設關于平面的對稱點為，則，設平面的法向量，則即令，則，所以為平面的一個法向量，所以與到平面的距離，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在空間直角坐標系中，下列敘述正確的是（）A.點與點關于軸對稱B.點與點關于軸對稱C.點與點關于平面對稱D.坐標軸兩兩確定的平面把空間分為個部分【答案】AC【解析】A選項，點與點關于軸對稱，A正確；B選項，點關于軸的對稱點是，B錯誤；C選項，點與點關于平面對稱，C正確；D選項，坐標軸兩兩確定的平面把空間分為個部分，D錯誤．故選：AC．10.已知直線在軸上的截距大于0，直線與軸交于點，則（）A. B.恒過定點2,1C.點到直線的距離可能為3 D.不存在使得【答案】BD【解析】對于A，把代入，得，所以或，A錯誤；對于B，將直線改寫為，所以，所以，所以恒過定點，B正確；對于C，對于，令可得，易得當時，點到直線的距離取得最大值，C錯誤；對于D，因為直線恒過的定點也在直線上，即至少有一個交點，D正確．故選：BD．11.已知平面內一動點到坐標原點的距離為1，以為圓心、1為半徑的動圓與圓交于兩點，則（）A.存在唯一的圓，使得兩點重合 B.C.若存在，則其不可能為等邊三角形 D.的最大值為【答案】BCD【解析】依題意，坐標原點與點之一重合，不妨設坐標原點為，圓的圓心，半徑，對于A，當動圓與圓內切或外切時，均有兩點重合，A錯誤；對于B，點在以為圓心、1為半徑的圓上運動，，，B正確；對于C，，要使為等邊三角形，則，而，當且僅當點共線時取等號，則不可能為等邊三角形，C正確；對于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，此時，，D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量滿足，則______．【答案】4【解析】因為，故，解得．故答案為：413.已知圓過三點，則圓的面積為______．【答案】【解析】設圓的方程為，代入三點坐標可得，解得，所以圓的方程為，其標準方程為，半徑，故其面積．故答案為：14.在正三棱錐中，平面，點在底面內的投影為點是平面內以為圓心、1為半徑的圓上一動點，則異面直線與所成角的余弦值最大為______.【答案】【解析】正三棱錐中，因為平面，又平面，因此，故，故，則，延長交于點，過點作的平行線交于點，易知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，，設直線與所成的角為，則，當或時，取最大值．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知三點，點在圓上運動．（1）若直線與圓有唯一公共點，求；（2）求的最小值．解：（1）由題意知，圓的圓心為，半徑，故，由題意可得直線與圓相切，且唯一公共點為點，在中，由勾股定理可得．（2）設，且，故，而，當時，取得最小值．16.已知在中，，分別在線段上，且．（1）求邊上的高所在直線的斜截式方程；（2）若的面積為面積的，求直線的一般式方程.解：（1）由題直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為，化為斜截式為.（2）因為的面積為面積的分別在線段上，且，所以為的中點，即，又直線的斜率為，所以直線的斜率也為，所以直線的方程為，即，所以直線的一般式方程為.17.如圖，在四面體中，，且為的中點，點是線段上的動點（含端點）．（1）以為基底表示；（2）求的最小值．解：（1）由題意可得，所以；（2）設，因為，所以，故當時，取得最小值，最小值為．18.已知在空間直角坐標系中，點．（1）證明：不共面；（2）求點到平面的距離；（3）設為平面上的一個動點，且，求的夾角取得最小值時，的值．（1）證明：由題意假設存在，使得成立，則，即，可得此方程組無解，所以假設不成立，故不共面．解：（2）由題意可得，設平面的法向量為n=x,y,z，所以令，則，故平面的一個法向量為，故點到平面的距離．（3）設的夾角為，則．所以，所以．19.現(xiàn)定義：若圓上一動點，圓外一定點，滿足的最大值為其最小值的兩倍，則稱為圓的“上進點”．若點同時是圓和圓的“上進點”，則稱為圓“”的“牽連點”．已知圓．（1）若點為圓的“上進點”，求點的軌跡方程并說明軌跡的形狀；（2）已知圓，且均為圓“”的“牽連點”．（?。┣笾本€的方程；（ⅱ）若圓是以線段為直徑的圓，直線與交于兩點，探究當不斷變化時，在軸上是否存在一點，使得（和分別為直線和的斜率）恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）因為點為圓的“上進點”，所以，即，所以的軌跡方程為，所以點的軌跡是以為圓心、為半徑的圓．（2）（?。邽閳A“”的“牽連點”，∴同時為圓與圓的“上進點”，由為圓的“上進點”，得，所以，即點圓上，由為圓的“上進點”，得點在圓上；∴點是圓和的交點．因為均為圓“”的“牽連點”，所以直線即為圓和的公共弦所在直線，兩圓方程相減可得，故直線的方程為．（ⅱ）設的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為3．直線的方程為，與聯(lián)立得的中點坐標為，點到直線的距離為，則，所以圓的方程為．假設軸上存在點滿足題意，設．則，即，整理得．將，代入上式可得，整理得①，聯(lián)立可得，所以，代入（1）并整理得，此式對任意的都成立，所以.故軸上存在點，使得恒成立.四川省2024-2025學年高二上學期期中調研測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為常數(shù)，故直線的傾斜角為.故選：A.2.直線與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為直線和平行，由兩條平行直線間的距離公式可得．故選：D．3.圓與圓的公切線條數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，則，由于，即，故圓與圓相交，其公切線條數(shù)為．故選：C．4.過點作圓的切線，則切線的斜率為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】因為圓的圓心為，半徑為，易知過點的切線的斜率存在，設的方程為，即，則圓心到直線的距離，解得或．故選：A．5.若連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，則兩次拋擲骰子的點數(shù)之積為奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，基本事件總數(shù)為個．其中事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之積為奇數(shù)”包含的樣本點有：，共9個，故．故選：B．6.在正方體中，為的中點，則平面與平面夾角的余弦值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】兩兩垂直，故以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，取的中點為，連接，則，A1,0,0，，則，又因，，，平面，故平面，所以為平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則，所以，為平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．故選：D．7.如圖，是棱長為1的正方體內部（含表面）一動點，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】以A為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，則.故，當時取到最大值．故選：C．8.如圖，在直三棱柱中，為腰長為的等腰直角三角形，且，側面為正方形，為平面內一動點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設關于平面的對稱點為，則，設平面的法向量，則即令，則，所以為平面的一個法向量，所以與到平面的距離，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在空間直角坐標系中，下列敘述正確的是（）A.點與點關于軸對稱B.點與點關于軸對稱C.點與點關于平面對稱D.坐標軸兩兩確定的平面把空間分為個部分【答案】AC【解析】A選項，點與點關于軸對稱，A正確；B選項，點關于軸的對稱點是，B錯誤；C選項，點與點關于平面對稱，C正確；D選項，坐標軸兩兩確定的平面把空間分為個部分，D錯誤．故選：AC．10.已知直線在軸上的截距大于0，直線與軸交于點，則（）A. B.恒過定點2,1C.點到直線的距離可能為3 D.不存在使得【答案】BD【解析】對于A，把代入，得，所以或，A錯誤；對于B，將直線改寫為，所以，所以，所以恒過定點，B正確；對于C，對于，令可得，易得當時，點到直線的距離取得最大值，C錯誤；對于D，因為直線恒過的定點也在直線上，即至少有一個交點，D正確．故選：BD．11.已知平面內一動點到坐標原點的距離為1，以為圓心、1為半徑的動圓與圓交于兩點，則（）A.存在唯一的圓，使得兩點重合 B.C.若存在，則其不可能為等邊三角形 D.的最大值為【答案】BCD【解析】依題意，坐標原點與點之一重合，不妨設坐標原點為，圓的圓心，半徑，對于A，當動圓與圓內切或外切時，均有兩點重合，A錯誤；對于B，點在以為圓心、1為半徑的圓上運動，，，B正確；對于C，，要使為等邊三角形，則，而，當且僅當點共線時取等號，則不可能為等邊三角形，C正確；對于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，此時，，D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量滿足，則______．【答案】4【解析】因為，故，解得．故答案為：413.已知圓過三點，則圓的面積為______．【答案】【解析】設圓的方程為，代入三點坐標可得，解得，所以圓的方程為，其標準方程為，半徑，故其面積．故答案為：14.在正三棱錐中，平面，點在底面內的投影為點是平面內以為圓心、1為半徑的圓上一動點，則異面直線與所成角的余弦值最大為______.【答案】【解析】正三棱錐中，因為平面，又平面，因此，故，故，則，延長交于點，過點作的平行線交于點，易知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，，設直線與所成的角為，則，當或時，取最大值．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知三點，點在圓上運動．（1）若直線與圓有唯一公共點，求；（2）求的最小值．解：（1）由題意知，圓的圓心為，半徑，故，由題意可得直線與圓相切，且唯一公共點為點，在中，由勾股定理可得．（2）設，且，故，而，當時，取得最小值．16.已知在中，，分別在線段上，且．（1）求邊上的高所在直線的斜截式方程；（2）若的面積為面積的，求直線的一般式方程.解：（1）由題直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為，化為斜截式為.（2）因為的面積為面積的分別在線段上，且，所以為的中點，即，又直線的斜率為，所以直線的斜率也為，所以直線的方程為，即，所以直線的一般式方程為.17.如圖，在四面體中，，且為的中點，點是線段上的動點（含端點）．（1）以為基底表示；（2）求的最小值．解：（1）由題意可得，所以；（2）設，因為，所以，故當時，取得最小值，最小值為．18.已知在空間直角坐標系中，點．（1）證明：不共面；（2）求點到平面的距離；（3）設為平面上的一個動點，且，求的夾角取得最小值時