高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省涼山州2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期綜合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即．故選：A．3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，，∴.故選：D．4.已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱，則的最小值為（）A. B.9 C.4 D.8【答案】B【解析】圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為9.故選：B.5.已知點(diǎn)，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，，，則，，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.6.已知直線過點(diǎn)，且與向量平行，則直線在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)榕c向量平行，所以，即，則，所以.故選：D.7.已知點(diǎn)在直線上的運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】】表示點(diǎn)與距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為．故選：A.8.如圖，在平面四邊形中，，.若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由于，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立直角坐標(biāo)系，連接,由于，則≌,而，故，則，則，設(shè)，則，，故，當(dāng)時(shí)，有最小值，故選：A．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，不止一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出你的選項(xiàng)，全部正確得5分，部分正確得2分，含錯(cuò)誤選項(xiàng)或未選擇得0分）9.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A.過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B.若直線與直線垂直，則C.直線與直線之間的距離是D.過兩點(diǎn)的直線方程為【答案】ACD【解析】對(duì)A，設(shè)直線傾斜角為，則，所以傾斜角不是，故錯(cuò)誤；對(duì)B，由兩條直線垂直，則，故正確；對(duì)C，直線，即，所以與直線之間的距離是，故錯(cuò)誤；對(duì)D，過兩點(diǎn)的直線方程為，故錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知事件滿足，，則下列結(jié)論正確是（

）A.B.如果，那么C.如果與互斥，那么D.如果與相互獨(dú)立，那么【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果，那么，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，如果與互斥，那么，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如果與相互獨(dú)立，那么，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A. B.直線平面C.直線與平面所成角的正切值為 D.點(diǎn)到平面的距離是【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，，，為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，，，可知且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以與平面所成的角為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法知，即，解得，故D正確；故選：ABD.12.已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.的最小值為 D.最大值為3【答案】BCD【解析】對(duì)于A：設(shè)，若時(shí)，此時(shí)的斜率不存在，，與不垂直，同理時(shí)與不垂直，當(dāng)且時(shí)，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)（在線段之間），故C正確；對(duì)于D：如下圖，，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，且，則___________.【答案】3【解析】因?yàn)?，，且，所以，則.14.已知點(diǎn)四點(diǎn)共圓，則點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為______.【答案】【解析】設(shè)過A、B、C的圓的方程為：（），則，解得，所以過A、B、C的圓的方程為：，又因?yàn)辄c(diǎn)D在此圓上，所以，解得，所以點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為.15.直線的傾斜角的取值范圍是___________.【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率，即，所以.16.三棱錐，平面，，，，（單位：cm）則三棱錐外接球的體積等于_____________．【答案】【解析】三棱錐中，平面，，，，畫出幾何圖形如圖所示；補(bǔ)充圖形為長(zhǎng)方體，則棱長(zhǎng)分別為1，1，；∵對(duì)角線長(zhǎng)為，∴三棱錐的外接球的半徑為1，∴該三棱錐外接球的體積為．四、解答題（共6題，70分，每個(gè)題請(qǐng)寫出必要的文字說明、演算或證明過程）17.（1）求過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程.（2）已知某圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，圓心M在直線上，求該圓的方程．解：（1），所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線方程為：，則，所以所求直線方程為.（2）由圓心M在直線上，設(shè)，又，所以，所以，半徑為，所以圓的方程為：.18.青島二中高一年級(jí)的同學(xué)們學(xué)習(xí)完《統(tǒng)計(jì)與概率》章節(jié)后，統(tǒng)一進(jìn)行了一次測(cè)試，并將所有測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中．（1）估計(jì)測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù)和平均分；（2）按照人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取4人，再從這4人中任選2人，求這2人成績(jī)都在內(nèi)的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知，即，又，所以，．測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù)即分位數(shù)，前三組的頻率之和為，前四組的頻率之和為，則分位數(shù)，且．測(cè)試成績(jī)的平均分為：.（2）成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)人數(shù)之比為，故抽取的4人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的有3人，設(shè)為，，，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有1人，設(shè)為，再從這4人中選2人，這2人的所有可能情況為，，，，，，共6種，這2人成績(jī)均在內(nèi)的情況有，，，共3種，故這2人成績(jī)都在內(nèi)的概率為．19.已知函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，.（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求對(duì)應(yīng)的的取值范圍.解：（1）設(shè)，則，則，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，作出的圖象如圖：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，由圖可得或，解得或；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）令，即，由（1）作出的圖象如圖：由圖像可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有四個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有六個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn).20.在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的大?。猓海?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)?，，，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，則.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，因?yàn)?，所以，即直線與平面所成的角的大小為21.已知向量，，，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，的面積為，求的值．解：（1），，，令，，解得，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，（2）由（1）知：，，，即，，，，，，的面積為，，解得，，由余弦定理得，，綜上所述，結(jié)論是：.22.已知直線和點(diǎn)，點(diǎn)到直線的有向距離用如下方法規(guī)定：若，，若，．（1）已知直線，直線，求原點(diǎn)到直線的有向距離；（2）已知點(diǎn)和點(diǎn)，是否存在通過點(diǎn)的直線，使得？如果存在，求出所有這樣的直線，如果不存在，說明理由；（3）設(shè)直線，問是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的參數(shù)都有：點(diǎn)到的有向距離滿足？如果滿足，求出所有滿足條件的實(shí)數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由直線，直線，根據(jù)點(diǎn)到直線的有向距離公式得，，；即，.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，舍去；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的方程為，由題意,所以直線可化為，假設(shè)，則，解得或．所以存在直線的方程為或；（3）當(dāng)時(shí)，直線，，由，整理得，，，，即，當(dāng)時(shí)，直線，得，由，即，或，解得或，由題意對(duì)任意的參數(shù)都有恒成立，所以，綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足題目條件，即.四川省涼山州2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期綜合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即．故選：A．3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，，∴.故選：D．4.已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱，則的最小值為（）A. B.9 C.4 D.8【答案】B【解析】圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為9.故選：B.5.已知點(diǎn)，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，，，則，，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.6.已知直線過點(diǎn)，且與向量平行，則直線在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)榕c向量平行，所以，即，則，所以.故選：D.7.已知點(diǎn)在直線上的運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】】表示點(diǎn)與距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為．故選：A.8.如圖，在平面四邊形中，，.若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由于，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立直角坐標(biāo)系，連接,由于，則≌,而，故，則，則，設(shè)，則，，故，當(dāng)時(shí)，有最小值，故選：A．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，不止一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出你的選項(xiàng)，全部正確得5分，部分正確得2分，含錯(cuò)誤選項(xiàng)或未選擇得0分）9.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A.過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B.若直線與直線垂直，則C.直線與直線之間的距離是D.過兩點(diǎn)的直線方程為【答案】ACD【解析】對(duì)A，設(shè)直線傾斜角為，則，所以傾斜角不是，故錯(cuò)誤；對(duì)B，由兩條直線垂直，則，故正確；對(duì)C，直線，即，所以與直線之間的距離是，故錯(cuò)誤；對(duì)D，過兩點(diǎn)的直線方程為，故錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知事件滿足，，則下列結(jié)論正確是（

）A.B.如果，那么C.如果與互斥，那么D.如果與相互獨(dú)立，那么【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果，那么，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，如果與互斥，那么，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如果與相互獨(dú)立，那么，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A. B.直線平面C.直線與平面所成角的正切值為 D.點(diǎn)到平面的距離是【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，，，為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，，，可知且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以與平面所成的角為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法知，即，解得，故D正確；故選：ABD.12.已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.的最小值為 D.最大值為3【答案】BCD【解析】對(duì)于A：設(shè)，若時(shí)，此時(shí)的斜率不存在，，與不垂直，同理時(shí)與不垂直，當(dāng)且時(shí)，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)（在線段之間），故C正確；對(duì)于D：如下圖，，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，且，則___________.【答案】3【解析】因?yàn)椋?，且，所以，則.14.已知點(diǎn)四點(diǎn)共圓，則點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為______.【答案】【解析】設(shè)過A、B、C的圓的方程為：（），則，解得，所以過A、B、C的圓的方程為：，又因?yàn)辄c(diǎn)D在此圓上，所以，解得，所以點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為.15.直線的傾斜角的取值范圍是___________.【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率，即，所以.16.三棱錐，平面，，，，（單位：cm）則三棱錐外接球的體積等于_____________．【答案】【解析】三棱錐中，平面，，，，畫出幾何圖形如圖所示；補(bǔ)充圖形為長(zhǎng)方體，則棱長(zhǎng)分別為1，1，；∵對(duì)角線長(zhǎng)為，∴三棱錐的外接球的半徑為1，∴該三棱錐外接球的體積為．四、解答題（共6題，70分，每個(gè)題請(qǐng)寫出必要的文字說明、演算或證明過程）17.（1）求過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程.（2）已知某圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，圓心M在直線上，求該圓的方程．解：（1），所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線方程為：，則，所以所求直線方程為.（2）由圓心M在直線上，設(shè)，又，所以，所以，半徑為，所以圓的方程為：.18.青島二中高一年級(jí)的同學(xué)們學(xué)習(xí)完《統(tǒng)計(jì)與概率》章節(jié)后，統(tǒng)一進(jìn)行了一次測(cè)試，并將所有測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中．（1）估計(jì)測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù)和平均分；（2）按照人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取4人，再從這4人中任選2人，求這2人成績(jī)都在內(nèi)的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知，即，又，所以，．測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù)即分位數(shù)，前三組的頻率之和為，前四組的頻率之和為，則分位數(shù)，且．測(cè)試成績(jī)的平均分為：.（2）成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)人數(shù)之比為，故抽取的4人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的有3人，設(shè)為，，，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有1人，設(shè)為，再從這4人中選2人，這2人的所有可能情況為，，，，，，共6種，這2人成績(jī)均在內(nèi)的情況有，，，共3種，故這2人成績(jī)都在內(nèi)的概率為．19.已知函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，.（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求對(duì)應(yīng)的的取值范圍.解：（1）設(shè)，則，則，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，作出的圖象如圖：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，由圖可得或，解得或；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）令，即，由（1）作出的圖象如圖：由圖像可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有四個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有六個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒