高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市眉山縣級學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一．單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.設(shè)函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，故選：B．2.《九章算術(shù)》是我國秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共出百錢，欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裊、上造、公士（爵位依次降低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問題中，若上造出27錢，則公士出錢數(shù)為（

）A.31錢 B.32錢 C.33錢 D.34錢【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，為5人出錢數(shù)依次為，依題意，，解得，所以公士出錢數(shù)為34錢.故選：D3.已知數(shù)列滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，故可得，又，故?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，解得，則.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，，…，，累加可得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，故選：B．5.若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A.3 B.7 C.10 D.15【答案】D【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，，所以公比，所以，所以，所以所以故選：D6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由函數(shù)單調(diào)遞減可得恒成立，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7.記定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的都有，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)，因?yàn)椋O(shè)，則,所以在單調(diào)遞增，所以，即，從而．故選：A．8.已知函數(shù)，記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C.2025 D.4045【答案】A【解析】令，則的定義域?yàn)椋郑允瞧婧瘮?shù)，因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，?所以，.故選：A.二．多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，為其前項(xiàng)和，若滿足且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.當(dāng)且僅當(dāng)n=7或8時(shí)，取得最大值.【答案】ABC【解析】依題意，，所以，所以A正確，B正確.，所以C正確.由于，所以數(shù)列的前項(xiàng)都為正數(shù)，從第8項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)或7時(shí)，取得最大值故D錯(cuò)誤．故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.的極小值為B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.存在使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根D.的解集為【答案】AC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得或；由得，有極大值，極小值，A正確；由極大值和極小值均小于0知最多一個(gè)零點(diǎn)，B不正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的實(shí)根，C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，D不正確．故選：AC．11.已知函數(shù).若曲線恰有三條過點(diǎn)的切線，其中實(shí)數(shù)的所有取值組成集合的所有取值組成集合，則下列說法正確的有（）A. B.若，則C.直線上存在滿足要求的點(diǎn) D.直線上存在滿足要求的點(diǎn)【答案】BD【解析】A.，則，設(shè)切點(diǎn)，，所以切線方程為，切線過點(diǎn)，所以，則，則，此時(shí)只有唯一切點(diǎn)，所以過點(diǎn)的切線只有1條，不滿足條件，故A錯(cuò)誤；B.若點(diǎn)，在由A可知，，整理為，設(shè)，，得或，當(dāng)，得或，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的極大值是，極小值是，所以與軸有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即有個(gè)切點(diǎn)，所以過點(diǎn)的切線有3條，滿足條件，故B正確；C.設(shè)，則，整理為，得，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，則與只有1個(gè)交點(diǎn)，即方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，即只有1個(gè)切點(diǎn)，1條切線，所以直線上不存在滿足要求的點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D.設(shè)，則，整理為，得，，設(shè)，，得或，，得或，，得，或或，所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是和和如圖畫出函數(shù)圖象，由圖象可知，與存在3個(gè)交點(diǎn)，即方程存在3個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，且，則的值等于_____________．【答案】【解析】因?yàn)?，可設(shè)，則．故答案為：13.已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則=________【答案】【解析】數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，因此，而滿足上式，于是，顯然，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的最小值是______.【答案】【解析】定義域?yàn)?，，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，，，，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，即，的最小值為.故答案為：四．解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且.（1）求、的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，即，，即，則，所以，整理可得即，解得或（舍去）.所以，則，解得或（舍去），故.所以，.（2）由（1）知，，則..16.已知函數(shù)在和處取得極值．（1）求、的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，則，函數(shù)在和處取得極值．，，聯(lián)立解得：，．且當(dāng)，，，則，由可得，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，合乎題意.因此，，．（2）由（1）知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，要使得對任意，不等式恒成立，則需，故，即，解得或，的取值范圍是．17.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，因?yàn)椋傻茫傻?，即，整理得，解得或，?dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則.又由，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，可得，即，解得，所以故數(shù)列通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知：，，可得，因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，可得，則，兩式相減，可得，所以．18.已知函數(shù)．（1）求曲線的對稱中心；（2）證明：有三個(gè)零點(diǎn)；（3）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)從左到右依次為，過作直線與曲線相切，切點(diǎn)為（異于），證明：．解：（1）設(shè)，則.，所以是奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即曲線對稱中心是.的對稱中心為.（2）已知.當(dāng)時(shí)，，，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以.所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn).由，，，.根據(jù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)單調(diào)性可得在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).綜上，有三個(gè)零點(diǎn).（3）已知函數(shù)與軸交于，，，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，可設(shè).因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為.切點(diǎn)的坐標(biāo)是直線：與曲線的公共點(diǎn)，所以聯(lián)立方程組，消去可得.當(dāng)（因?yàn)槭侵本€與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這里考慮的是除點(diǎn)外的切點(diǎn)情況），兩邊同時(shí)除以，得到.所以（記為）.因?yàn)橹本€與曲線相切，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)根在方程中，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)閮筛嗟榷紴?，所以，?點(diǎn)，，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.因?yàn)樵谳S上的射影的橫坐標(biāo)就是點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以在軸上的射影為的中點(diǎn)，即在的垂直平分線上.所以.19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若方程有兩個(gè)不同的解，且，①求實(shí)數(shù)的范圍，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由；②證明：解：（1），曲線在處的切線斜率為，所以曲線在處的切線方程為．由于切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，得有且只有一解，所以，解得．（2）①令，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的解，所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以，所以．一方面因?yàn)椋硪环矫嬉驗(yàn)?，令，所以．綜上：．判斷：下證：等價(jià)于．因?yàn)?，所以，所以，要證：即證，即證：，因?yàn)?，即證：，令，設(shè)，則，所以，所以．②由①可知：當(dāng)時(shí)，，令，所以．所以，將以上個(gè)不等式進(jìn)行累加，所以．四川省眉山市眉山縣級學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一．單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.設(shè)函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選：B．2.《九章算術(shù)》是我國秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共出百錢，欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裊、上造、公士（爵位依次降低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問題中，若上造出27錢，則公士出錢數(shù)為（

）A.31錢 B.32錢 C.33錢 D.34錢【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，為5人出錢數(shù)依次為，依題意，，解得，所以公士出錢數(shù)為34錢.故選：D3.已知數(shù)列滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋士傻?，又，故?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，解得，則.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，，…，，累加可得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，故選：B．5.若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A.3 B.7 C.10 D.15【答案】D【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，，所以公比，所以，所以，所以所以故選：D6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由函數(shù)單調(diào)遞減可得恒成立，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7.記定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的都有，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，則,所以在單調(diào)遞增，所以，即，從而．故選：A．8.已知函數(shù)，記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C.2025 D.4045【答案】A【解析】令，則的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，?所以，.故選：A.二．多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，為其前項(xiàng)和，若滿足且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.當(dāng)且僅當(dāng)n=7或8時(shí)，取得最大值.【答案】ABC【解析】依題意，，所以，所以A正確，B正確.，所以C正確.由于，所以數(shù)列的前項(xiàng)都為正數(shù)，從第8項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)或7時(shí)，取得最大值故D錯(cuò)誤．故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.的極小值為B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.存在使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根D.的解集為【答案】AC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得或；由得，有極大值，極小值，A正確；由極大值和極小值均小于0知最多一個(gè)零點(diǎn)，B不正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的實(shí)根，C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，D不正確．故選：AC．11.已知函數(shù).若曲線恰有三條過點(diǎn)的切線，其中實(shí)數(shù)的所有取值組成集合的所有取值組成集合，則下列說法正確的有（）A. B.若，則C.直線上存在滿足要求的點(diǎn) D.直線上存在滿足要求的點(diǎn)【答案】BD【解析】A.，則，設(shè)切點(diǎn)，，所以切線方程為，切線過點(diǎn)，所以，則，則，此時(shí)只有唯一切點(diǎn)，所以過點(diǎn)的切線只有1條，不滿足條件，故A錯(cuò)誤；B.若點(diǎn)，在由A可知，，整理為，設(shè)，，得或，當(dāng)，得或，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的極大值是，極小值是，所以與軸有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即有個(gè)切點(diǎn)，所以過點(diǎn)的切線有3條，滿足條件，故B正確；C.設(shè)，則，整理為，得，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，則與只有1個(gè)交點(diǎn)，即方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，即只有1個(gè)切點(diǎn)，1條切線，所以直線上不存在滿足要求的點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D.設(shè)，則，整理為，得，，設(shè)，，得或，，得或，，得，或或，所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是和和如圖畫出函數(shù)圖象，由圖象可知，與存在3個(gè)交點(diǎn)，即方程存在3個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，且，則的值等于_____________．【答案】【解析】因?yàn)?，可設(shè)，則．故答案為：13.已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則=________【答案】【解析】數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，因此，而滿足上式，于是，顯然，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的最小值是______.【答案】【解析】定義域?yàn)?，，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，，，，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，即，的最小值為.故答案為：四．解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且.（1）求、的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，即，，即，則，所以，整理可得即，解得或（舍去）.所以，則，解得或（舍去），故.所以，.（2）由（1）知，，則..16.已知函數(shù)在和處取得極值．（1）求、的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，則，函數(shù)在和處取得極值．，，聯(lián)立解得：，．且當(dāng)，，，則，由可得，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，合乎題意.因此，，．（2）由（1）知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，要使得對任意，不等式恒成立，則需，故，即，解得或，的取值范圍是．17.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，因?yàn)?，可得，可得，即，整理得，解得或，?dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則.又由，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，可得，即，解得，所以故數(shù)列通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知：，，可得，因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，可得，則，兩式相減，可得，所以．18.已知函數(shù)．（1）求曲線的對稱中心；（2）證明：有三個(gè)零點(diǎn)；（3）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)從左到右依次為，過作直線與曲線相切，切點(diǎn)為（異于），證明：．解：（1）設(shè)，則.，所以是奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即曲線對稱中心是