專升本數(shù)學(xué)一試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但非等價(jià)無窮小D.等價(jià)無窮小3.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點(diǎn)為（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)4.\(\int\cos2xdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}\sin2x+C\)B.\(\sin2x+C\)C.\(-\frac{1}{2}\sin2x+C\)D.\(-\sin2x+C\)5.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)，\(\vec=(2,1,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=\)（）A.-1B.1C.0D.26.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.47.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2-1}=\)（）A.3B.2C.1D.08.已知函數(shù)\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)為\(e^x\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(e^x\)B.\(-e^x\)C.\(e^{-x}\)D.\(-e^{-x}\)9.方程\(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)表示的圖形是（）A.圓B.點(diǎn)C.橢圓D.雙曲線10.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發(fā)散的B.條件收斂的C.絕對收斂的D.無法判斷答案：1.C2.A3.C4.A5.A6.B7.A8.A9.B10.C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是求導(dǎo)公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.下列積分中，計(jì)算正確的有（）A.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)D.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)4.對于向量\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，以下運(yùn)算正確的有（）A.\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\)B.\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\)C.\(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1,\lambdaz_1)\)（\(\lambda\)為實(shí)數(shù)）D.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)5.下列曲線中，是二次曲線的有（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線6.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的必要條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在D.函數(shù)在\(x_0\)處有定義7.以下哪些是常用的不定積分方法（）A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.湊微分法8.對于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，以下說法正確的有（）A.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，則\(\{a_n\}\)收斂B.若\(\{a_n\}\)有界，則\(\{a_n\}\)收斂C.若\(\{a_n\}\)單調(diào)遞增且有上界，則\(\{a_n\}\)收斂D.若\(\{a_n\}\)單調(diào)遞減且有下界，則\(\{a_n\}\)收斂9.已知平面\(\pi\)的方程為\(Ax+By+Cz+D=0\)，以下說法正確的有（）A.向量\((A,B,C)\)是平面\(\pi\)的法向量B.當(dāng)\(D=0\)時(shí)，平面\(\pi\)過原點(diǎn)C.平面\(\pi\)與\(x\)軸的交點(diǎn)為\((-\frac{D}{A},0,0)\)（\(A\neq0\)）D.平面\(\pi\)與\(y\)軸的交點(diǎn)為\((0,-\frac{D}{B},0)\)（\(B\neq0\)）10.以下關(guān)于函數(shù)極值的說法正確的有（）A.駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C.函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0D.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)答案：1.BCD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ACD9.ABCD10.AD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域是\([1,+\infty)\)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\)。（）4.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)。（）5.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與向量\(\vec=(0,1,0)\)垂直。（）6.曲線\(y=\lnx\)在\((0,+\infty)\)上是單調(diào)遞增的。（）7.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是收斂的。（）8.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的一個(gè)原函數(shù)是\(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin2x+C\)。（）9.方程\(x^2+y^2=-1\)表示的圖形是一個(gè)圓。（）10.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)的模。答案：向量\(\vec{a}\)的模\(|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\)。4.求曲線\(y=\frac{1}{x}\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程。答案：先求導(dǎo)，\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}\)，在點(diǎn)\((1,1)\)處切線斜率\(k=-1\)。由點(diǎn)斜式得切線方程\(y-1=-(x-1)\)，即\(x+y-2=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x^2,&x\geq0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}(x+1)=1\)，\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}x^2=0\)，左右極限不相等，所以\(f(x)\)在\(x=0\)處不連續(xù)，不連續(xù)則不可導(dǎo)。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)（\(p>0\)）的斂散性。答案：當(dāng)\(p>1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，原級數(shù)絕對收斂；當(dāng)\(0<p\leq1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)滿足萊布尼茨定理?xiàng)l件，條件收斂。3.討論直線\(L:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{3}\)與平面\(\pi:x+2y-z+1=0\)的位置關(guān)系。答案：直線\(L\)的方向向量\(\vec{s}=(1,2,3)\)，平面\(\pi\)的法向量\(\vec{n}=(1,2,-1)\)。\(\vec{s}\cdot\vec{n}=1+4-3=