第二十四章圓（14大壓軸考法50題專練）目錄題型一：垂徑定理 1題型二：垂徑定理的應(yīng)用 4題型三：圓心角、弧、弦的關(guān)系 7題型四：圓周角定理 9題型五：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 14題型六：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 17題型七：三角形的外接圓與外心 21題型八：直線與圓的位置關(guān)系 31題型九：切線的性質(zhì) 35題型十：切線的判定 40題型十一：切線的判定與性質(zhì) 45題型十二：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 52題型十三：正多邊形和圓 59題型十四：扇形面積的計(jì)算 62一．垂徑定理1．（2023秋?六安期中）如圖，在中，已知是直徑，為上一點(diǎn)不與、兩點(diǎn)重合），弦過點(diǎn)，．（1）若，，則的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（保持不變），則．2．（2023秋?薩爾圖區(qū)校級(jí)期中）如圖，是弦的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，已知，．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．3．（2023秋?湖北期中）如圖，在中，直徑于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且（1）求證：；（2）求的度數(shù)．二．垂徑定理的應(yīng)用4．（2023秋?西平縣期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度米，拱高米．（1）求圓弧所在的圓的半徑的長(zhǎng)；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即米時(shí)，是否要采取緊急措施？5．（2023秋?江都區(qū)期中）如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦的垂直平分線交弧于點(diǎn)，交弦于點(diǎn)．已知：，．（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）求殘片所在圓的面積．6．（2023秋?大豐區(qū)期中）一座橋，橋拱是圓弧形（水面以上部分），測(cè)量時(shí)只測(cè)到橋下水面寬為（如圖），橋拱最高處離水面．（1）求橋拱半徑；（2）若大雨過后，橋下面河面寬度為，問水面漲高了多少？三．圓心角、弧、弦的關(guān)系7．（2023秋?海曙區(qū)期中）如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的半徑及的長(zhǎng)．8．（2023秋?紹興期中）如圖，在中，弦、相交于點(diǎn)，連接，已知．（1）求證：；（2）如果的半徑為5，，，求的長(zhǎng)．四．圓周角定理9．（2023秋?源匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)在半圓上，半徑，，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，是上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)在移動(dòng)的過程中，的最小值是A．5 B．6 C．7 D．810．（2023秋?大豐區(qū)期中）如圖，在中，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在劣弧上，且，于，當(dāng)，則．11．（2023秋?路南區(qū)期中）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作于，連接，則的最小值是．12．（2023秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于的方程，如果、、滿足且，那么我們把這樣的方程稱為“勾股方程”．請(qǐng)解決下列問題：（1）請(qǐng)寫出一個(gè)“勾股方程”：；（2）求證：關(guān)于的“勾股方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）如圖，已知、是半徑為1的的兩條平行弦，，，且關(guān)于的方程是“勾股方程”，求的度數(shù)．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)13．（2023秋?源匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、，若，求證：平分．14．（2023秋?東湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且平分，于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．15．（2023秋?旌陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，、、、是上四點(diǎn)，．（1）判斷的形狀并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)位于什么位置時(shí)，四邊形是菱形？并說明理由．（3）求證：．六．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系16．（2023秋?宿城區(qū)期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，垂足為，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)為的中點(diǎn)，若在運(yùn)動(dòng)過程中的最大值為4，則的值為A． B． C． D．17．（2023秋?東臺(tái)市期中）在矩形中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，為的中點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中線段長(zhǎng)度的取值范圍是．18．（2023秋?仙居縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是以，為圓心，1為半徑的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，，連接，，則的最小值是．七．三角形的外接圓與外心19．（2023秋?江陰市校級(jí)期中）如圖，為等邊的外心，四邊形為正方形．現(xiàn)有以下結(jié)論：①是外心；②是的外心；③；④設(shè)，則；⑤若點(diǎn)，分別在線段，上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定位置時(shí)，的周長(zhǎng)都有最小值，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤20．（2023秋?湖里區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)是外接圓上的一點(diǎn)，于，連接，過點(diǎn)作直線交于，交于，若點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，連接，，（1）求證：；（2）若，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．（2023秋?六安期中）如圖，等腰內(nèi)接于，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，交于，垂足為，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．22．（2023秋?竹山縣期中）如圖，等腰內(nèi)接于，，點(diǎn)為劣弧上一點(diǎn)，．（1）求證：為等邊三角形；（2）若，求四邊形的面積．23．（2023秋?集美區(qū)校級(jí)期中）如圖1，中，，是的外接圓，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，垂足為，連接．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點(diǎn)在線段上，且，是的中點(diǎn)，連接，若，，求的半徑．八．直線與圓的位置關(guān)系24．（2023秋?旌陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，半徑為2的的圓心從點(diǎn)（點(diǎn)在直線上）出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則當(dāng)時(shí)，與坐標(biāo)軸相切．25．（2023秋?旌陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，半圓的半徑1，直線的解析式為．若直線與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是．26．（2023秋?新吳區(qū)期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，平分．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，的半徑為4，請(qǐng)求出圖中陰影部分的面積．九．切線的性質(zhì)27．（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，過點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)分別是，，連接．過上一點(diǎn)作的切線，交，于點(diǎn)，．若，△的周長(zhǎng)為4，則的長(zhǎng)為A．2 B． C．4 D．28．（2023秋?房縣期中）如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若的半徑為4，，求陰影部分的面積．29．（2023秋?青縣校級(jí)期中）已知：如圖是的直徑，是弦，直線是過點(diǎn)的的切線，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．30．（2023秋?東昌府區(qū)校級(jí)期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)和點(diǎn)是上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求半徑的長(zhǎng)．31．（2023秋?海門市校級(jí)期中）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)，的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，的半徑為10，求的長(zhǎng)度．十．切線的判定32．（2023秋?新會(huì)區(qū)校級(jí)期中）如圖，是的直徑，是半圓上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，交于，連接．（1）判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，，求的長(zhǎng)；（3）若是弧的中點(diǎn)，的半徑為5，求圖中陰影部分的面積．33．（2023秋?陜州區(qū)期中）如圖，為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的與相切于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為10，求的半徑．34．（2023秋?新會(huì)區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知是外一點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，，弦，劣弧的度數(shù)為，連接．（1）求的長(zhǎng)；（2）求證：是的切線．十一．切線的判定與性質(zhì)35．（2023秋?鐵山區(qū)期中）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，平分，且于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．36．（2023秋?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)期中）如圖，，是的弦，平分．過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長(zhǎng)．37．（2023秋?玉環(huán)市校級(jí)期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)度．38．（2023秋?惠陽區(qū)校級(jí)期中）如圖是的外接圓，，延長(zhǎng)于，連接，使得，交于．（1）求證：與相切；（2）若，．求的半徑和的長(zhǎng)度．39．（2023秋?中山市期中）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，．（1）求證：是的切線．（2）若的半徑為2，求的長(zhǎng)．40．（2023秋?廣陽區(qū)校級(jí)期中）在等腰中，，以為直徑的分別與，相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）分別延長(zhǎng)，，相交于點(diǎn)，，的半徑為6，求陰影部分的面積．十二．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心41．（2023秋?懷仁市校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，也是的外心．若，則的度數(shù)是A． B． C． D．43．（2023秋?五蓮縣期中）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則；④．其中一定正確的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．443．（2023秋?東港區(qū)校級(jí)期中）在中，，，，直線經(jīng)過的內(nèi)心，過點(diǎn)作，垂足為，連接，則的最小值是．44．（2023秋?玄武區(qū)期中）如圖，在中，，，是的內(nèi)切圓，與邊，分別相切于點(diǎn)，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則．45．（2023秋?旌陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，為的直徑，、為的切線，、為切點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)，交于，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②點(diǎn)為△的內(nèi)心；③；④；⑤．其中正確的有．十三．正多邊形和圓46．（2023秋?東臺(tái)市期中）如圖，在邊長(zhǎng)為的正八邊形中，已知，，，分別是邊，，，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則四邊形面積的最大值為A． B． C． D．47．（2022秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形內(nèi)接于圓，，點(diǎn)在圓上且滿足，，則點(diǎn)到的距離為．十四．扇形面積的計(jì)算48．（2023秋?大豐區(qū)期中）如圖