第二十一章一元二次方程（5大壓軸考法60題專練）目錄題型一：換元法解一元二次方程 1題型二：根的判別式 4題型三：根與系數(shù)的關(guān)系 9題型四：一元二次方程的應(yīng)用 19題型五：配方法的應(yīng)用 46一．換元法解一元二次方程（共4小題）1．（2023秋?黔南州期末）閱讀材料：解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，則，原方程化為．①解得，當(dāng)時(shí)，．．；當(dāng)時(shí)，，，．原方程的解為，，，．根據(jù)上面的解答，解決下面的問題：（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想．（2）解方程：．2．（2022秋?綏寧縣期中）閱讀下面的材料：解方程這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，則，原方程可化為：，解得，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．原方程有四個(gè)根是：，，，，以上方法叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用上述方法解答下列問題．（1）解方程：；（2）已知實(shí)數(shù)，滿足，試求的值．3．（2023秋?臨澤縣校級(jí)期中）閱讀下面的材料，解決問題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，．?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．請參照例題，解方程．4．（2023秋?高新區(qū)校級(jí)期中）閱讀新知：移項(xiàng)且合并同類項(xiàng)之后，只含有偶次項(xiàng)的四次方程稱作雙二次方程．其一般形式為，一般通過換元法解之，具體解法是設(shè)，則原四次方程化為一元二次方程：，解出之后代入，從而求出的值．例如解：解：設(shè)，則原方程可化為：，，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，小試牛刀：請你解雙二次方程：歸納提高：思考以上解題方法，試判斷雙二次方程的根的情況，下列說法正確的是（選出所有的正確答案）①當(dāng)時(shí)，原方程一定有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，原方程一定沒有實(shí)數(shù)根；③當(dāng)，并且換元之后的一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，原方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，換元之后的一元二次方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，原方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；④原方程無實(shí)數(shù)根時(shí)，一定有．二．根的判別式（共5小題）5．（2022秋?江北區(qū)期末）對(duì)于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則⑤存在實(shí)數(shù)、，使得；其中正確的A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③6．（2024?湖州一模）對(duì)于關(guān)于的一元二次方程的根的情況，有以下四種表述：①當(dāng)，，時(shí)，方程一定沒有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)，，時(shí)，方程一定有實(shí)數(shù)根；③當(dāng)，時(shí)，方程一定沒有實(shí)數(shù)根；④當(dāng)，，時(shí)，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中表述正確的序號(hào)是A．① B．② C．③ D．④7．（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰的一邊長，另兩邊長、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的三邊長？8．（2024?富順縣一模）我們規(guī)定：方程的變形方程為．例如，方程的變形方程為（1）直接寫出方程的變形方程；（2）若方程的變形方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）若方程的變形方程為，直接寫出的值．9．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）已知等腰的底邊，若，恰好是另外兩邊的邊長，求這個(gè)三角形的周長．（3）閱讀材料：若三邊的長分別為，，，那么可以根據(jù)秦九韶海倫公式可得：，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點(diǎn)，根據(jù)以上信息，求的面積．三．根與系數(shù)的關(guān)系（共9小題）10．（2024?雙峰縣模擬）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，我們定義新運(yùn)算“”：，例如．若，是方程的兩根，則的值為．11．（2024春?海門區(qū)校級(jí)期中）已知：平行四邊形的兩邊，的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長；（2）若的長為2，那么平行四邊形的周長是多少？（3）如果這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．12．（2022秋?宿城區(qū)期末）已知關(guān)于的方程．（1）求證：無論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到，求出的值；若不能，請說明理由．（3）當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L，另兩邊的長、恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí)，求的周長．13．（2023秋?魚臺(tái)縣期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．（1）請問一元二次方程是倍根方程嗎？如果是，請說明理由．（2）若一元二次方程是倍根方程，且方程有一個(gè)根為2，求、的值？14．（2023春?環(huán)翠區(qū)期末）已知：關(guān)于的方程．（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值，并求出這時(shí)方程的根．（2）問：是否存在正數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的值；若不存在，請說明理由．15．（2023春?定遠(yuǎn)縣期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有（填序號(hào)）①方程是倍根方程；②若是倍根方程：則；③若，滿足，則關(guān)于的方程是倍根方程；④若方程以是倍根方程，則必有．16．（2023?黃石港區(qū)校級(jí)模擬）如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，那么，，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知、是方程的二根，則（2）已知、、滿足，，求正數(shù)的最小值．（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問題：已知和是關(guān)于，的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．17．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）請閱讀下列材料：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得．化簡，得，故所求方程為，這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．（1）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3，，求一元二次方程的兩根．18．（2023春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）請閱讀下列材料：，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得，化簡，得，故所求方程為，這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）．（1）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3，，求一元二次方程的兩根．（直接寫出結(jié)果）四．一元二次方程的應(yīng)用（共34小題）19．（2023秋?青島期末）實(shí)驗(yàn)與操作：小明是一位動(dòng)手能力很強(qiáng)的同學(xué)，他用橡皮泥做成一個(gè)棱長為的正方體．（1）如圖1所示，在頂面中心位置處從上到下打一個(gè)邊長為的正方形孔，打孔后的橡皮泥塊的表面積為；（2）如果在第（1）題打孔后，再在正面中心位置（如圖2中的虛線所示）從前到后打一個(gè)邊長為的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥塊的表面積為；（3）如果把（1）、（2）中的邊長為的通孔均改為邊長為的通孔，能否使橡皮泥塊的表面積為？如果能，求出，如果不能，請說明理由．20．（2023秋?納溪區(qū)期末）已知：的兩邊，的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長；（2）若的長為2，那么的周長是多少？21．（2023?城廂區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，、、、為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，一直到達(dá)為止，點(diǎn)以的速度向移動(dòng)．（1）、兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形的面積為；（2）、兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)的距離是．22．（2022秋?新化縣期末）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價(jià)下降元．（1）零售單價(jià)下降元后，該店平均每天可賣出只粽子，利潤為元．（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？23．（2023秋?綏棱縣校級(jí)期中）某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)800件恤，第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的恤一次性清倉銷售，清倉時(shí)單價(jià)為40元，設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低元．（1）填表：（不需化簡）時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉時(shí)單價(jià)（元8040銷售量（件200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？24．（2023春?長樂區(qū)校級(jí)期末）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？25．（2023秋?新華區(qū)校級(jí)月考）在寬為，長為的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直，（如圖），把耕地分成大小相等的六塊作試驗(yàn)田，要使實(shí)驗(yàn)地面積為，問道路應(yīng)為多寬？26．（2022秋?湖北月考）某商場禮品柜臺(tái)元旦期間購進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？27．（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開盤銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率．（2）某人準(zhǔn)備以開盤價(jià)均價(jià)購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)惠？28．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級(jí)月考）將一條長為的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形．（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．29．（2024春?懷寧縣期末）某青年旅社有60間客房供游客居住，在旅游旺季，當(dāng)客房的定價(jià)為每天200元時(shí)，所有客房都可以住滿．客房定價(jià)每提高10元，就會(huì)有1個(gè)客房空閑，對(duì)有游客入住的客房，旅社還需要對(duì)每個(gè)房間支出20元每天的維護(hù)費(fèi)用，設(shè)每間客房的定價(jià)提高了元．（1）填表（不需化簡）入住的房間數(shù)量房間價(jià)格總維護(hù)費(fèi)用提價(jià)前60200提價(jià)后（2）若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客，則每間客房的定價(jià)應(yīng)為多少元？（純收入總收入維護(hù)費(fèi)用）30．（2024春?安慶期中）如圖，中，，，，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著方向以的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿著邊以的速度運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）若的面積是面積的，求的值？（2）的面積能否為面積的一半？若能，求出的值；若不能，說明理由．31．（2023秋?頭屯河區(qū)期末）某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長率；（2）從四月份起，商場決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場獲利4250元？32．（2024春?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）鄉(xiāng)情教育是我校一直以來的辦學(xué)特色，本學(xué)期，學(xué)校將舉辦“鄉(xiāng)情攝影”展等系列活動(dòng)．小穎同學(xué)積極參加了這次活動(dòng)，將自己在暑假回老家時(shí)拍攝的一張家鄉(xiāng)的風(fēng)景相片（如圖上交了學(xué)校并被選為優(yōu)秀作品．圖片的長為8分米，寬為6分米，為了展示將在原圖片的四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊，制成一幅掛圖．如果要求整個(gè)掛圖的面積是80平方分米．那么金色紙邊的寬應(yīng)是多少？（1）如果設(shè)金色紙邊的寬度為分米，那么掛畫的長可表示為分米，掛畫的寬可表示為分米，列出的方程為．（2）根據(jù)你所列的方程求出的值．33．（2024春?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，要用籬笆（虛線部分）圍成一個(gè)矩形苗圃，其中兩邊靠的墻足夠長，中間用平行于的籬笆隔開，已知籬笆的總長度為18米．（1）設(shè)矩形苗圃的一邊的長為，矩形苗圃面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時(shí)，所圍矩形苗圃的面積為？34．（2024?瑤海區(qū)校級(jí)三模）某農(nóng)戶種植花生，原來花生的畝產(chǎn)量為200千克，出油率為（即每100千克花生可加工成花生油50千克），現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的．求新品種花生畝產(chǎn)量的增長率．（1）這是一個(gè)增長率問題，可設(shè)所求增長率為，依題意填寫下列表格：畝產(chǎn)量（千克）出油率出油量（千克）原來20050現(xiàn)在132（2）求新品種花生畝產(chǎn)量的增長率．35．（2024?犍為縣模擬）某樓盤2018年2月份準(zhǔn)備以每平方米7500元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國家有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格連續(xù)兩個(gè)月進(jìn)行下調(diào)，4月份下調(diào)到每平方米6075元的均價(jià)開盤銷售．（1）求3、4兩月平均每月下調(diào)的百分率；（2）小穎家現(xiàn)在準(zhǔn)備以每平方米6075元的開盤均價(jià)，購買一套100平方米的房子，因?yàn)樗乙淮涡愿肚遒彿靠睿_發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元，小穎家選擇哪種方案更優(yōu)惠？（3）如果房價(jià)繼續(xù)回落，按此平均下調(diào)的百分率，請你預(yù)測到6月份該樓盤商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破4800元平方米，請說明理由．36．（2024春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．如果、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．①經(jīng)過幾秒后的面積等于；②的面積能否等于，并說明理由．37．（2024?旺蒼縣一模）某農(nóng)戶在山上種臍橙果樹44株，現(xiàn)進(jìn)入第三年收獲．收獲時(shí)，先隨機(jī)采摘5株果樹上的臍橙，稱得每株果樹上臍橙重量如下（單位：，35，34，39，37．（1）試估計(jì)這一年該農(nóng)戶臍橙的總產(chǎn)量約是多少？（2）若市場上每千克臍橙售價(jià)5元，則該農(nóng)戶這一年賣臍橙的收入為多少？（3）已知該農(nóng)戶第一年果樹收入5500元，根據(jù)以上估算求第二年、第三年賣臍橙收入的年平均增長率．38．（2023秋?青白江區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，，，是和邊長，易知，這時(shí)我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個(gè)“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，且四邊形的周長是，求面積．39．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長，寬的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度．40．（2024?無錫校級(jí)二模）某大型水果超市銷售無錫水蜜桃，根據(jù)前段時(shí)間的銷售經(jīng)驗(yàn)，每天的售價(jià)（元箱）與銷售量（箱有如表關(guān)系：每箱售價(jià)（元6867666540每天銷量（箱40455055180已知與之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)．（1）求與的函數(shù)解析式；（2）水蜜桃的進(jìn)價(jià)是40元箱，若該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元，要使顧客獲得實(shí)惠，每箱售價(jià)是多少元？（3）七月份連續(xù)陰雨，銷售量減少，超市決定采取降價(jià)銷售，所以從7月17號(hào)開始水蜜桃銷售價(jià)格在（2）的條件下，下降了，同時(shí)水蜜桃的進(jìn)貨成本下降了，銷售量也因此比原來每天獲得1600元盈利時(shí)上漲了，7月份（按31天計(jì)算）降價(jià)銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價(jià)銷售前的銷售總盈利少7120元，求的值．41．（2024?武威三模）如圖，利用一面足夠長的墻，用鐵柵欄圍成一個(gè)矩形自行車場地，在和邊各有一個(gè)2米寬的小門（不用鐵柵欄），設(shè)矩形的寬為米，矩形的長為（且．（1）若所用鐵柵欄的長為40米，用含的代數(shù)式表示矩形的長；（2）在（1）的條件下，若使矩形場地面積為192平方米，則、的長應(yīng)分別為多少米？42．（2023秋?射陽縣期中）“黃橋燒餅全國聞名”，國慶節(jié)期間，黃橋某燒餅店平均每天可賣出300個(gè)燒餅，賣出1個(gè)燒餅的利潤是1元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，平均每天可多賣出100個(gè)，為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價(jià)下降元（1）零售單價(jià)下降元后，每個(gè)燒餅的利潤為元，該店平均每天可賣出個(gè)燒餅（用含的代數(shù)式表示，需化簡）；（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的燒餅更多？43．（2023秋?新城區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．（1）如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？（2）在（1）中，的面積能否等于？說明理由．44．（2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）果農(nóng)田豐計(jì)劃將種植的草莓以每千克15元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售，由于部分果農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該草莓滯銷．為了加快銷售，減少損失，田豐對(duì)價(jià)格進(jìn)行兩次下調(diào)后，以每千克9.6元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售．（1）如果每次價(jià)格下調(diào)的百分率相同，求田豐每次價(jià)格下調(diào)的百分率；（2）小李準(zhǔn)備到田豐處購買3噸該草莓，因數(shù)量多，田豐準(zhǔn)備再給予兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金400元．試問小李選擇哪種方案最優(yōu)惠？請說明理由．45．（2023秋?蕪湖期中）某商場將進(jìn)貨價(jià)為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，由季節(jié)的變換，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每件降價(jià)1元，則每天可多售5件．如果每天要盈利800元，每件應(yīng)降低多少元？46．（2023秋?大埔縣期中）西瓜經(jīng)營戶以2元千克的價(jià)格購進(jìn)一批小型西瓜，以3元千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克．為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價(jià)0.1元千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．（1）若將這種西瓜每千克的售價(jià)降低元，則每天的銷售量是千克（用含的代數(shù)式表示）；（2）銷售這種水果要想每天盈利200元且使每天的銷售量較大，需將每千克的售價(jià)降低多少元？47．（2023秋?武城縣校級(jí)月考）某單位于“三八”婦女節(jié)期間組織女職工到金寶樂園觀光旅游．下面是領(lǐng)隊(duì)與旅行社導(dǎo)游就收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的一段對(duì)話．領(lǐng)隊(duì)：組團(tuán)去金寶樂園旅游每人收費(fèi)是多少？導(dǎo)游：如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費(fèi)用為100元．領(lǐng)隊(duì)：超過25人怎樣優(yōu)惠呢？導(dǎo)游：如果超過25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低2元，但人均旅游費(fèi)用不得低于70元．該單位按旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)組團(tuán)游覽金寶樂園結(jié)束后，共支付給旅行社2700元．請你根據(jù)上述信息，求該單位這次到金寶樂園觀光旅游的共有多少人．48．（2023?沛縣模擬）某日王老師佩戴運(yùn)動(dòng)手環(huán)進(jìn)行快走鍛煉，兩次鍛煉后數(shù)據(jù)如表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數(shù)增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設(shè)王老師第二次鍛煉時(shí)平均步長減少的百分率為．項(xiàng)目第一次鍛煉第二次鍛煉步數(shù)（步10000①平均步長（米步）0.6②距離（米60007020注：步數(shù)平均步長距離．（1）根據(jù)題意完成表格填空；（2）求；（3）王老師發(fā)現(xiàn)好友中步數(shù)排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結(jié)束后又走了500米，使得總步數(shù)恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長．49．（2023?東明縣一模）畢業(yè)在即，某商店抓住商機(jī)，準(zhǔn)備購進(jìn)一批紀(jì)念品，若商店花440元可以購進(jìn)50本學(xué)生紀(jì)念品和10本教師紀(jì)念品，其中教師紀(jì)念品的成本比學(xué)生紀(jì)念品的成本多8元．（1）請問這兩種不同紀(jì)念品的成本分別是多少？（2）如果商店購進(jìn)1200個(gè)學(xué)生紀(jì)念品，第一周以每個(gè)10元的價(jià)格售出400個(gè)，第二周若按每個(gè)10元的價(jià)格仍可售出400個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價(jià)銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出100個(gè)，但售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)），單價(jià)降低元銷售一周后，商店對(duì)剩余學(xué)生紀(jì)念品清倉處理，以每個(gè)4元的價(jià)格全部售出，如果這批紀(jì)念品共獲利2500元，問第二周每個(gè)紀(jì)念品的銷售價(jià)格為多少元？50．（2023春?臨淄區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別以、的速度從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)．（1）若點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)停止，點(diǎn)隨點(diǎn)的停止而停止移動(dòng)，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過多長時(shí)間、兩點(diǎn)之間的距離是？（2）若點(diǎn)沿著移動(dòng)，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)停止時(shí)，點(diǎn)隨點(diǎn)的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過多長時(shí)間的面積為？51．（2024?金沙縣一模）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天銷售20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利和減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降價(jià)1元，則每天可多銷售2件．（1）商場若想每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（2）問在這次活動(dòng)中，平均每天能否獲利1500元？若能，求出每件襯衫應(yīng)降多少元；若不能，請說明理由．52．（2024?蓬江區(qū)校級(jí)一模）為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，2014年某縣投入教育經(jīng)費(fèi)6000萬元，2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8640萬元，假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率相同．（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率；（2）若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬元．五．配方法的應(yīng)用（共8小題）53．（2023?惠城區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知，為實(shí)數(shù)，且滿足，記的最大值為，最小值為，則A． B． C． D．54．（2024春?相城區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：若，求、的值．解：，，，，，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知，求的值；（2）已知等腰的三邊長、、都是正整數(shù)，且滿足，求的周長；（3）已知，，求的值．55．（2022秋?南海區(qū)校級(jí)月考）閱讀與應(yīng)用：同學(xué)們，你們已經(jīng)知道，即．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．閱讀1：若、為實(shí)數(shù)，且，