課時(shí)2二項(xiàng)式定理二、知識(shí)梳理1．Ceq\o(\s\up1(0),\s\do1(n))eqa\s\up1(n)eqb\s\up1(0)＋Ceq\o(\s\up1(1),\s\do1(n))eqa\s\up1(n－1)eqb\s\up1(1)＋…＋Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))eqa\s\up1(n－k)eqb\s\up1(k)＋…＋Ceq\o(\s\up1(n),\s\do1(n))eqa\s\up1(0)eqb\s\up1(n)Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))eqa\s\up1(n－k)eqb\s\up1(k)k＋1Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))2．（1）n＋1（3）降冪升冪3．Ceq\o(\s\up1(n－m),\s\do1(n))Ceq\o(\s\up1(m－1),\s\do1(n))eq\f(n－1,2)Ceq\o(\s\up1(k＋1),\s\do1(n))eq\f(n,2)eq\f(n＋1,2)eq2\s\up1(n)2eq\s\up1(n－1)2eq\s\up1(n－1)三、基礎(chǔ)回顧1．(1)×【解析】(eqa\s\do1(1)＋eqa\s\do1(2)＋eqa\s\do1(3))(eqb\s\do1(1)＋eqb\s\do1(2)＋eqb\s\do1(3))(eqc\s\do1(1)＋eqc\s\do1(2)＋eqc\s\do1(3)＋eqc\s\do1(4)＋eqc\s\do1(5))展開有多少項(xiàng)，分三步，先在第一個(gè)括中取一項(xiàng)，有3種，然后在第二個(gè)括中取一項(xiàng)，也有3種，最后在第三個(gè)括號(hào)中取一項(xiàng)，有5種，所以共有45項(xiàng)．所以錯(cuò)誤．(2)×【解析】第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o(\s\up1(k－1),\s\do1(n))．所以錯(cuò)誤．(3)√【解析】正確．(4)√【解析】因?yàn)榈?項(xiàng)和第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(n))＝Ceq\o(\s\up1(7),\s\do1(n))．解得n＝10．所以正確．2．B【解析】(x＋1)n的展開式的通項(xiàng)為eqT\s\do1(k＋1)＝Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))xeq\s\up1(n－k)(k＝0，1，…，n)，當(dāng)n－k＝2時(shí)，Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(n))＝15，所以Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(n))＝15．解得n＝6．故選B．3．BCD【解析】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是eqT\s\do1(k＋1)＝Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(9))eqx\s\up1(9－k)＝(－1)eq\s\up1(k)Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(9))eqx\s\up1(9－2k)(k＝0，1，…，9)．不存在整數(shù)r，使得9－2k＝0，所以A錯(cuò)誤．在二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o(\s\up1(0),\s\do1(9))，Ceq\o(\s\up1(1),\s\do1(9))，…，Ceq\o(\s\up1(9),\s\do1(9))中，Ceq\o(\s\up1(4),\s\do1(9))＝Ceq\o(\s\up1(5),\s\do1(9))最大，所以BCD正確．故選BCD.4．5；20【解析】由(1＋x)eq\s\up1(n)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，有2eq\s\up1(n)＝32，所以n＝5．(1＋x)＋(1＋x)eq\s\up1(2)＋(1＋x)eq\s\up1(3)＋…＋(1＋x)eq\s\up1(n)展開式中含xeq\s\up1(2)項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(5))＝Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(5))＝Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(6))＝20．四、考點(diǎn)掃描例1（1）B【解析】，的通項(xiàng)公式為，令，得（舍），令，得.依題意，得，得.故選B.（2）20【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)ABC【解析】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)x2n－2r＝，由于第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶14，則eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(4,n))＝eq\f(3,14)，故＝eq\f(3,14)，得n2－5n－50＝0，解得n＝10(負(fù)值舍去)，故A正確；因?yàn)門r＋1＝，令20－eq\f(5r,2)＝0，解得r＝8，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(－1)8Ceq\o\al(8,10)＝45，故B正確；令20－eq\f(5r,2)＝5，解得r＝6，則含x5的項(xiàng)的系數(shù)為(－1)6Ceq\o\al(6,10)＝210，故C正確；令20－eq\f(5r,2)∈Z，則r為偶數(shù)，此時(shí)r＝0,2,4,6,8,10，故有6項(xiàng)有理項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選ABC.（2）－2【解析】由(1＋x)4的展開式通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)xr，所以含x3的項(xiàng)為Ceq\o\al(3,4)x3＋(－ax2)Ceq\o\al(1,4)x＝(Ceq\o\al(3,4)－aCeq\o\al(1,4))x3，故Ceq\o\al(3,4)－aCeq\o\al(1,4)＝4－4a＝12，可得a＝－2.例2【解】(1)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o(\s\up1(0),\s\do1(7))＋Ceq\o(\s\up1(1),\s\do1(7))＋…＋Ceq\o(\s\up1(7),\s\do1(7))＝eq2\s\up1(7)＝128.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0①；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝(－2)eq\s\up1(7)＝－128②.①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128，所以a1＋a3＋a5＋a7＝64.(3)因?yàn)閑qT\s\do1(k＋1)＝Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(7))(－1)eq\s\up1(7－k)·xeq\s\up1(k)＝(－)eq\s\up1(7－k)·Ceq\o(\s\up1(k),\s\do1(7))·xeq\s\up1(k)(k＝0，1，…，7)，所以a0＜0，a2＜0，a4＜0，a6＜0，a1＞0，a3＞0，a5＞0，eqa\s\do1(7)＞0．所以eq|a0eq|＋eq|a1eq|＋…＋eq|a7eq|＝－a0＋a1－a2＋…－a7＝128．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）D【解析】對(duì)于A，.令，得；令，得.所以，A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?，所以表示的各?xiàng)系數(shù)之和，令，則，B正確.對(duì)于C，，所以，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，因?yàn)?，，令，則，則，D正確.故選BD.C【解析】令，則，解得.所以，所以，.令，則.故選C.（3）BCD【解析】由二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大為Ceq\o\al(1012,2024)，易知應(yīng)為第1013項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；令x＝1，可得(1－2)2024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2023＋a2024＝1，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，故B正確；令x＝0，可得a0＝1，令x＝eq\f(1,2)，可得＝a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)＋eq\f(a2024,22024)＝0，所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)＋eq\f(a2024,22024)＝－1，故C正確；將等式(1－2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023＋a2024x2024兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，2024×(－2)(1－2x)2023＝a1＋2a2x1＋…＋2023a2023x2022＋2024a2024x2023，再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2023a2023＋2024a2024＝4048，故D正確．故選BCD.例3(1)C【解析】因?yàn)檎归_式只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式共9項(xiàng)，所以n＝8，因?yàn)閍1＝Ceq\o\al(7,8)·m＝8，所以m＝1，所以(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝28＝256，令x＝0，得a0＝1，所以a2＋a3＋…＋an＝256－8－1＝247.故選C.（2）5【解析】由題展開式通項(xiàng)公式為，且，設(shè)展開式中第()項(xiàng)系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）D【解析】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，所以2n＝64，則n＝6，所以二項(xiàng)式為，則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－r＝，令x＝1，可得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36，故A錯(cuò)誤；第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)r＝3，則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4＝＝，故B錯(cuò)誤；令6－eq\f(3,2)r＝0，則r＝4，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為＝60，故C錯(cuò)誤；令第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則解得eq\f(4,3)≤r≤eq\f(7,3)，因?yàn)閞∈N，所以r＝2.所以二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,6)24x3＝240x3，故D正確．故選D.（2）BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)x＝0時(shí)，a0＝(－2)2025＝－22025，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，當(dāng)x＝1時(shí)，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2025＝12025＝1，當(dāng)x＝－1時(shí)，a0－a1＋a2－a3＋…＋a2024－a2025＝－52025，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝eq\f(1－52025,2)，a1＋a3＋a5＋…＋a2025＝eq\f(52025＋1,2)，所以B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)x＝eq\f(1,3)時(shí)，＝a0＋eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋…＋eq\f(a2025,32025)，所以eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋eq\f(a3,33)＋…＋eq\f(a2025,32025)＝(－1)2025－a0＝22025－1，D正確．故選BD.例4(1)B【解析】因?yàn)?5＝56－1，所以55eq\s\up1(55)＝Ceq\o(\s\up1(0),\s\do1(55))56eq\s\up1(55)－Ceq\o(\s\up1(1),\s\do1(55))56eq\s\up1(54)＋…＋Ceq\o(\s\up1(54),\s\do1(55))56－1，因?yàn)?5eq\s\up1(55)＋a能被8整除，且56能被8整除，所以只需－1＋a能被8整除．又因?yàn)閍∈eqZ，且0≤a＜8，所以a＝1．故選B．（2）D【解析】1.056＝(1＋0.05)6＝Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)×0.05＋Ceq\o\al(2,6)×0.052＋Ceq\o\al(3,6)×0.053＋…＋Ceq\o\al(6,6)×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.故選D.（3）【解析】的展開式的通項(xiàng)為，.令,則或，或，所以常數(shù)項(xiàng)為.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）B【解析】在已知等式中，取得，，取得，，兩式相減得，，即.因?yàn)?因?yàn)槟鼙?整除，所以被8整除的余數(shù)為5，即被8整除的余數(shù)為5.故選B.(2)B【解析】0.996＝(1－0.01)6＝Ceq\o\al(0,6)×1－Ceq\o\al(1,6)×0.01＋Ceq\o\al(2,6)×0.012－Ceq\o\al(3,6)×0.013＋…＋Ceq\o\al(6,6)×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.故選B.（3）eq\f(63\r(2),2)【解析