21/21第1章空間向量與立體幾何章末重難點歸納總結(jié)重點一空間向量的坐標運算【例1-1】，若三向量共面，則實數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【解析】∵，∴與不共線，又∵三向量共面，則存在實數(shù)m，n使即，解得．故選：D．【例1-2】若向量，且與的夾角余弦值為，則實數(shù)等于（

）A．0 B．－ C．0或－ D．0或【答案】C【解析】由題知，即，解得或.故選：C【一隅三反】1.已知向量，若共面，則________．【答案】±1【解析】因為向量共面,所以存在實數(shù)m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案為：±1.2．若向量，，，且、、共面，則______．【答案】【解析】因為、、共面，設(shè)，其中、，所以，，解得.故答案為：.3．已知空間向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不對【答案】C【解析】由題，因為，故，又，故故選：C重點二空間向量的線性運算【例2-1】如圖，設(shè)，，，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得=.故選：A【例2-2】下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A選項，，，所以點與、、三點不共面；對于B選項，，，所以點與、、三點不共面；對于C選項，，，所以點與、、三點不共面；對于D選項，，,所以點與、、三點共面.故選：D.【例2-3】如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，因為,所以，所以，故選：C【例2-4】已知，，，為空間中四點，任意三點不共線，且，若，，，四點共面，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】若，，，四點共面，則，則故選：D．【一隅三反】1．如圖，設(shè)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得,由，得,所以，故選：A.2．已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】即故選：D．3．如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，故選；A4．如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】連接AG并延長交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：D考點三空間向量在幾何中的運算【例3-1】如圖，在直四棱柱中，，，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)因為平面，平面．所以，．又，所以，，兩兩垂直，以點D為坐標原點，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．所以，．所以，所以．(2)，設(shè)向量為平面的一個法向量，則，即令，得，設(shè)向量為平面的一個法向量，則，即令，得．所以．設(shè)二面角的大小為，由圖可知，所以．所以二面角的余弦值為．【例3-2】如圖，四棱錐中，，，，，，，為中點.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)連接交于點，連接，因為，延長交于，由，則，可得，四邊形為正方形，則，且為中點，由，則，且，面，所以面，平面，則；(2)以為原點，為軸，為軸建立如下圖示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，由面，面，所以面面，由，則，由且BC⊥CD，則，又，故△為等邊三角形，且面面，所以，則，綜上，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以.【一隅三反】1．如圖，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中點.(1)求證：∥平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】(1)因為：連接D1C交DC1于點O，則O為D1C中點,點E為CD中點∴OE∥D1B.∵OE?平面C1DE，D1B?平面C1DE.直線BD1∥平面C1DE.(2)∵BC＝DC＝DB＝AA1＝2，E是BC的中點.∴DE⊥BC,∵CC1⊥平面ABCD且DE?平面ABCD,∴CC1⊥DE,∵CC1?平面B1BCC1,CB?平面B1BCC1且CC1∩BC＝C∴DE⊥平面B1BCC1,∵DE?平面DEC1，∴平面DEC1⊥B1BCC1(3)平面DEC1⊥B1BCC1且交線為C1E，CP?平面B1BCC1在平面B1BCC1內(nèi)做CP⊥C1E,∴CP⊥平面DEC1,∴∠CC1P是直線CC1與平面DEC1所成角-在Rt△C1EC中，CC1＝AA1＝2，CE＝1∴C1E＝，∴sin∠PC1C-2．如圖，在四棱錐中，已知平面平面，，，，是等邊的中線．(1)證明：平面．(2)若，求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：如圖1，取的中點F，連接．因為E是棱的中點，所以，且．因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以平面．(2)解：取的中點O，連接，因為為等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面,平面，所以平面．所以，以O(shè)為坐標原點，的方向分別為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為等邊的邊長為，所以，．設(shè)平面的一個法向量為由得令，則，所以．又平面的一個法向量為，因為，所以二面角的大小為．3．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，，，點為棱的中點.（1）在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；（2）若，二面角的余弦值為時，求點到平面的距離.【答案】（1）存在，理由見解析；（2）．【解析】（1）在棱上存在點，使得平面，點為棱的中點.證明：取的中點，連結(jié)、，由題意，且，且，故且.四邊形為平行四邊形.，又平面，平面，平面；（2）取中點，因為底面為菱形，所以，又，且，所以平面，即.又，即，而所以平面.又，所以為正三角形，即，也即所以，，兩兩互相垂直（需寫出證明過程）.以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系.設(shè)，則，，，，.所以，.設(shè)平面的一個法向量為.由，取，得；取平面的一個法向量為.由題意，，解得..設(shè)點到平面的距離為，則.即點到平面的距離為4．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．(1)證明：平面；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．因為是圓柱的母線，所以且，所以四邊形是平行四邊形．所以，所以．因為是圓柱的母線，所以平面，又因為平面，所以．又因為，平面，所以平面．(2)由（1）知是三棱錐底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．設(shè)，則在中有：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即點E，F(xiàn)分別是，的中點時，三棱錐的體積最大，（另解：等積轉(zhuǎn)化法：易得當(dāng)F與距離最遠時取到最大值，此時E、F分別為、中點）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因為平面，所以．又因為，所以平面．因為平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知為直角三角形，則．故，所以二面角的正弦值為．法二：由（1）知兩兩相互垂直，如圖，以點E為原點，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則．由（1）知平面，故平面的法向量可取為．設(shè)平面的法向量為，由，得，即，即，取，得．設(shè)二面角的平面角為，，所以二面角的正弦值為5．如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，，，為棱上異于，的點．(1)若為棱的中點，求證：直線平面；(2)若存在點為棱上異于，的點，使得直線與所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：取的中點，連接，，如圖，為的中點，，且，又，且，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面．平面．直線平面；(2)解：由題意知，，，，，即，又，，平面，平面，平面，，又，，，兩兩相互垂直，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，設(shè)，則，，在棱上，設(shè)，即，，易知平面的法向量為，，設(shè)與平面所成角為，則，解得，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，則，，由題知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.6．如圖，在四棱錐中，∥,，,為邊的中點，異面直線與所成的角為90°．(1)在直線上找一點，使得直線平面PBE，并求的值；(2)若直線CD到平面PBE的距離為，求平面PBE與平面PBC夾角的余弦值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)解：∥,，,為邊的中點，所以四邊形是正方形，因為,異面直線與所成的角為90°,所以,又因為在平面內(nèi)