立體幾何基礎知識講義立體幾何是研究空間幾何體的形狀、大小、位置關系的數學分支，廣泛應用于工程設計、建筑測繪等領域。本講義系統梳理核心概念、定理及解題方法，助力建立空間思維，掌握解題技能。第一章空間幾何體的結構特征1.1多面體與旋轉體的分類空間幾何體分為多面體（平面多邊形圍成）和旋轉體（平面圖形繞定直線旋轉而成）：多面體：如棱柱（長方體）、棱錐（三棱錐）、棱臺（正四棱臺），相鄰面的公共邊為棱，公共頂點為頂點。旋轉體：如圓柱（易拉罐）、圓錐（漏斗）、圓臺（圓桶）、球（籃球），旋轉軸為定直線，旋轉形成的線段為母線。1.2多面體的結構特征（1）棱柱定義：兩個面（底面）平行，其余面（側面）為四邊形，且側棱互相平行。分類：按底面邊數分三棱柱、四棱柱（長方體、正方體）；按側棱與底面位置分直棱柱（側棱垂直底面，側面為矩形）、斜棱柱（側棱不垂直底面，側面為平行四邊形）。性質：直棱柱側面積=底面周長×側棱長；體積=底面積×高（兩底面間距）。（2）棱錐定義：一個面（底面）為多邊形，其余面（側面）為有公共頂點的三角形。分類：按底面邊數分三棱錐（四面體）、四棱錐；底面為正多邊形且頂點射影為中心時，為正棱錐（側面為全等等腰三角形）。性質：正棱錐側面積=\(\frac{1}{2}\)×底面周長×斜高（側面三角形的高）；體積=\(\frac{1}{3}\)×底面積×高（頂點到底面的距離）。（3）棱臺定義：平行于棱錐底面的平面截棱錐，底面與截面間的部分。性質：上下底面平行且相似，側棱延長交于原頂點；體積=\(\frac{1}{3}\)×高×(上底面積+下底面積+\(\sqrt{\text{上底面積×下底面積}}\))。1.3旋轉體的結構特征（1）圓柱定義：矩形一邊為軸旋轉一周，垂直于軸的邊形成底面（圓），平行于軸的邊形成側面（曲面），側面上線段為母線。性質：表面積=\(2\pir^2+2\pirl\)（\(r\)為底面半徑，\(l\)為母線長）；體積=\(\pir^2h\)（\(h\)為高，即母線長）。（2）圓錐定義：直角三角形一條直角邊為軸旋轉一周，斜邊形成側面，另一條直角邊形成底面。性質：表面積=\(\pir^2+\pirl\)（\(l=\sqrt{r^2+h^2}\)，\(h\)為高）；體積=\(\frac{1}{3}\pir^2h\)。（3）圓臺定義：平行于圓錐底面的平面截圓錐，底面與截面間的部分（或直角梯形繞垂直腰旋轉而成）。性質：表面積=\(\pi(r^2+R^2+rl+Rl)\)（\(r\)、\(R\)為上下底半徑）；體積=\(\frac{1}{3}\pih(r^2+Rr+R^2)\)。（4）球定義：半圓直徑為軸旋轉一周形成的幾何體，球心到球面距離（半徑\(R\)）相等。性質：表面積=\(4\piR^2\)；體積=\(\frac{4}{3}\piR^3\)；球的截面為圓，若球心到截面距離為\(d\)，則截面半徑\(r=\sqrt{R^2-d^2}\)（過球心的截面為大圓，\(d=0\)，\(r=R\)）。第二章空間點、線、面的位置關系2.1平面的基本性質（公理與推論）平面無限延展，基本性質由以下公理確定：公理1：直線上兩點在平面內，則直線在此平面內（證“線在面內”）。公理2：過不在同一直線的三點，有且只有一個平面（確定平面的依據）。推論：①過直線與線外一點；②過兩條相交直線；③過兩條平行直線，均有且只有一個平面。公理3：兩不重合平面有一個公共點，則有且只有一條過該點的公共直線（證“點共線”“線共點”）。公理4（平行公理）：平行于同一直線的兩條直線互相平行（空間平行線的傳遞性）。2.2直線與直線的位置關系空間兩直線的位置關系：相交（一個公共點）、平行（無公共點，共面）、異面（無公共點，不共面）。（1）異面直線的判定與夾角判定：反證法（假設共面，推出矛盾）或定義法（無公共點且不平行）。夾角：過空間任一點作兩異面直線的平行線，平行線的銳角（或直角）為異面直線所成角（范圍：\((0^\circ,90^\circ]\)）。例：正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB\)與\(A_1C_1\)的夾角：因\(A_1C_1\parallelAC\)，故夾角為\(\angleBAC=45^\circ\)。2.3直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系：直線在平面內（無數公共點）、直線與平面相交（一個公共點）、直線與平面平行（無公共點）。（1）線面平行的判定與性質判定定理：平面外一條直線與平面內一條直線平行，則直線與平面平行（\(\boldsymbol{\text{線線平行}\Rightarrow\text{線面平行}}\)）。性質定理：若直線與平面平行，過直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行（\(\boldsymbol{\text{線面平行}\Rightarrow\text{線線平行}}\)）。2.4平面與平面的位置關系平面與平面的位置關系：平行（無公共點）、相交（有一條公共直線，即交線）。（1）面面平行的判定與性質判定定理：一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，則兩平面平行（\(\boldsymbol{\text{線面平行}\Rightarrow\text{面面平行}}\)）。性質定理：若兩平行平面與第三個平面相交，則交線平行（\(\boldsymbol{\text{面面平行}\Rightarrow\text{線線平行}}\)）。第三章空間中的垂直關系垂直是空間位置關系的核心，包括線面垂直和面面垂直。3.1直線與平面垂直（1）定義與判定定義：若直線與平面內任意一條直線垂直，則直線與平面垂直。判定定理：若直線與平面內兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直（\(\boldsymbol{\text{線線垂直}\Rightarrow\text{線面垂直}}\)）。（2）性質垂直于同一平面的兩條直線互相平行（\(\boldsymbol{\text{線面垂直}\Rightarrow\text{線線平行}}\)）。3.2平面與平面垂直（1）定義與判定定義：若兩平面相交成直二面角（平面角為\(90^\circ\)），則兩平面垂直。判定定理：若一個平面經過另一個平面的一條垂線，則兩平面垂直（\(\boldsymbol{\text{線面垂直}\Rightarrow\text{面面垂直}}\)）。（2）性質若兩平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面（\(\boldsymbol{\text{面面垂直}\Rightarrow\text{線面垂直}}\)）。第四章空間角與距離的計算空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）和距離（點面距、線面距、面面距）是定量描述空間位置的關鍵。4.1異面直線所成角（1）求法平移法：作輔助線（中位線、平行線）將異面直線轉化為相交直線，解三角形求夾角。向量法：設異面直線的方向向量為\(\vec{a}\)、\(\vec\)，則夾角\(\theta\)滿足：\[\cos\theta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec|}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}\quad(\theta\in(0^\circ,90^\circ])\]4.2直線與平面所成角（1）定義與范圍平面的一條斜線與它在平面內的射影（過斜線上一點作平面的垂線，垂足與斜足的連線）所成的銳角，稱為線面角（范圍：\([0^\circ,90^\circ]\)，垂直時為\(90^\circ\)，平行/在面內時為\(0^\circ\)）。（2）求法幾何法：找到斜線在平面內的射影，計算斜線與射影的夾角。向量法：設直線的方向向量為\(\vec{a}\)，平面的法向量為\(\vec{n}\)，則線面角\(\theta\)滿足：\[\sin\theta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}\]4.3二面角（1）定義與平面角從一條直線（棱）出發(fā)的兩個半平面組成的圖形，其大小用平面角度量：在棱上取一點，分別在兩個面內作棱的垂線，兩垂線的夾角為平面角（范圍：\([0^\circ,180^\circ]\)）。（2）求法定義法：直接找平面角（如正方體中相鄰面的二面角為\(90^\circ\)）。向量法：設兩平面的法向量為\(\vec{n_1}\)、\(\vec{n_2}\)，則二面角\(\theta\)滿足：\[\cos\theta=\pm\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\]符號由二面角的銳鈍決定（觀察或計算判斷）。4.4空間距離的計算（1）點到平面的距離等積法：利用三棱錐體積\(V=\frac{1}{3}Sh\)，已知體積和底面積\(S\)，則高\(h\)（點到平面的距離）為\(h=\frac{3V}{S}\)。向量法：設點\(P\)到平面\(\alpha\)的距離為\(d\)，平面\(\alpha\)的法向量為\(\vec{n}\)，平面內一點\(A\)，則：\[d=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\]（2）直線與平面的距離（直線與平面平行時）直線上任意一點到平面的距離即為線面距離，求法同點到平面的距離。（3）平面與平面的距離（平面與平面平行時）一個平面內任意一點到另一個平面的距離即為面面距離，求法同點到平面的距離。例題應用：等積法求距離例：在棱長為\(a\)的正方體中，求點\(A_1\)到平面\(AB_1D_1\)的距離。解：設距離為\(h\)，三棱錐\(A_1-AB_1D_1\)的體積可表示為：\[V=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleAB_1D_1}\timesh\]又\(V\)也可看作三棱錐\(A-A_1B_1D_1\)的體積（等積轉換），其底面積\(S_{\triangleA_1B_1D_1}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\)，高為\(AA_1=a\)，故：\[V=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\timesa=\frac{\sqrt{3}}{6}a^3\]而\(S_{\triangleAB_1D_1}\)是正三角形，邊長為\(\sqrt{2}a\)，面積為\(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\)，代入體積公式得：\[\frac{\sqrt{3}}{6}a^3=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\timesh\impliesh=\frac{a}{3}\]第五章空間幾何體的表面積與體積5.1多面體的表面積棱柱：側面積+2×底面積（直棱柱側面積=底面周長×側棱長）。棱錐：側面積+底面積（正棱錐側面積=\(\frac{1}{2}\)×底面周長×斜高）。棱臺：側面積+上底面積+下底面積（正棱臺側面積=\(\frac{1}{2}\)×(上底周長+下底周長)×斜高）。5.2旋轉體的表面積圓柱：\(2\pir^2+2\pirl\)（\(r\)為底面半徑，\(l\)為母線長）。圓錐：\(\pir^2+\pirl\)（\(l=\sqrt{r^2+h^2}\)，\(h\)為高）。圓臺：\(\pi(r^2+R^2+rl+Rl)\)（\(r\)、\(R\)為上下底半徑）。球：\(4\piR^2\)。5.3空間幾何體的體積棱柱/圓柱：\(V=Sh\)（\(S\)為底面積，\(h\)為高）。棱錐/圓錐：\(V=\frac{1}{3}Sh\)。棱臺/圓臺：\(V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS'}+S')\)（\(S\)、\(