古代算術(shù)方程教學(xué)課件與教案引言：古今算學(xué)的對(duì)話數(shù)學(xué)的發(fā)展是一條綿延千年的長(zhǎng)河，古代算術(shù)方程作為其中璀璨的支流，既承載著先人的數(shù)理智慧，又為現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維提供了源頭活水。從《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”到宋元時(shí)期的“天元術(shù)”“四元術(shù)”，中國(guó)古代方程理論在籌算的方寸之間構(gòu)建起邏輯縝密的算法體系，其消元思想、符號(hào)化嘗試與現(xiàn)代線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論一脈相承。設(shè)計(jì)本教學(xué)課件與教案，旨在引導(dǎo)學(xué)生跨越時(shí)空，理解古代方程的本質(zhì)內(nèi)涵，體會(huì)數(shù)學(xué)文化的厚重底蘊(yùn)，在古今算法的對(duì)比中深化對(duì)數(shù)學(xué)思維的認(rèn)知。一、教學(xué)課件設(shè)計(jì)：多維解構(gòu)古代方程（一）知識(shí)解析：從“方程術(shù)”到算法本質(zhì)古代“方程”的概念與現(xiàn)代方程有所不同，《九章算術(shù)》中“方程”特指線性方程組的籌算表示與解法。以“上禾下禾”問(wèn)題為例（今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗……），課件通過(guò)動(dòng)態(tài)演示還原籌算排列：把未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按行排列（如“上禾、中禾、下禾、實(shí)”為列，“三秉組、二秉組、一秉組”為行），形成類(lèi)似矩陣的“方程籌式”。核心算法“方程術(shù)”的本質(zhì)是籌式的初等變換：通過(guò)“遍乘”（某行同乘一數(shù)）、“直除”（兩行相減消元）實(shí)現(xiàn)逐步消去未知數(shù)，最終得到“一秉之實(shí)”。課件對(duì)比現(xiàn)代線性方程組的“高斯消元法”，揭示二者在“消元—回代”邏輯上的一致性，同時(shí)展現(xiàn)籌算的直觀性（如用不同顏色的籌棍區(qū)分正負(fù)數(shù)，體現(xiàn)“正負(fù)術(shù)”的創(chuàng)見(jiàn)）。（二）歷史脈絡(luò)：從《九章》到宋元的方程演進(jìn)課件以時(shí)間軸串聯(lián)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)：兩漢奠基：《九章算術(shù)》“方程章”確立線性方程組解法，劉徽注以“率”的概念深化理論，提出“舉率以相減，不害余數(shù)之課”的消元原理。宋元高峰：李冶《測(cè)圓海鏡》創(chuàng)立“天元術(shù)”（用“天元”表示未知數(shù)，建立一元高次方程）；朱世杰《四元玉鑒》發(fā)展“四元術(shù)”，以“天、地、人、物”四元表示多元高次方程組，其“消去法”已具備近代代數(shù)的雛形。輔以楊輝、秦九韶等數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)（如秦九韶“大衍求一術(shù)”對(duì)同余方程的突破），讓學(xué)生感知古代方程理論從線性到高次、從多元到符號(hào)化的演進(jìn)邏輯。（三）例題選講：經(jīng)典古題的古今解法碰撞精選三類(lèi)例題，通過(guò)“古法還原+現(xiàn)代轉(zhuǎn)化”雙路徑解析：1.線性方程組：如“五家共井”問(wèn)題（今有五家共井……），展示籌算“五綆連立”的復(fù)雜排列，再轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代五元一次方程組，對(duì)比消元難度，體會(huì)古人“設(shè)而不求”的智慧（通過(guò)比例關(guān)系簡(jiǎn)化計(jì)算）。2.一元高次方程：以李冶“圓城圖式”為例（求圓城半徑），解析“天元術(shù)”的步驟：“立天元一為半徑”→列等式→消去分母→得到“開(kāi)方式”（高次方程），再用“增乘開(kāi)方法”（類(lèi)現(xiàn)代霍納法）求解。3.實(shí)際應(yīng)用：如《九章》“均輸章”的“程耕”問(wèn)題（按勞力分配耕地），引導(dǎo)學(xué)生用古代“衰分術(shù)”（比例分配）與現(xiàn)代方程法解決，理解數(shù)學(xué)模型的古今通用性。（四）互動(dòng)環(huán)節(jié)：沉浸式體驗(yàn)古代算學(xué)1.籌算模擬：提供竹制籌棍（或替代品），讓學(xué)生分組擺出“上禾下禾”問(wèn)題的籌式，嘗試用“遍乘直除”法消元，體驗(yàn)籌算的操作邏輯（如正負(fù)數(shù)用“紅黑籌”區(qū)分，空位表零）。2.歷史情境角色扮演：分組扮演“兩漢算師”“宋元數(shù)學(xué)家”，分別用“方程術(shù)”“天元術(shù)”解決同一問(wèn)題（如“雞兔同籠”的古代解法與現(xiàn)代方程法），匯報(bào)時(shí)對(duì)比思維差異。二、教案設(shè)計(jì)：基于核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)施（一）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：理解古代“方程”的定義與解法（方程術(shù)、天元術(shù)），能將古題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代方程模型，掌握籌算消元的基本邏輯。過(guò)程與方法：通過(guò)古今算法對(duì)比，提升邏輯推理與數(shù)學(xué)建模能力；通過(guò)籌算操作，培養(yǎng)動(dòng)手實(shí)踐與空間想象能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)古代數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性與創(chuàng)造性，增強(qiáng)文化自信；感悟“經(jīng)世致用”的算學(xué)傳統(tǒng)，激發(fā)數(shù)學(xué)探究興趣。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：古代方程的籌算表示（方程術(shù)）、天元術(shù)的符號(hào)化思想、古今解法的邏輯關(guān)聯(lián)。難點(diǎn)：籌算操作的直觀理解（如“遍乘直除”的步驟轉(zhuǎn)化）、天元術(shù)“設(shè)元—列式”的抽象思維。（三）教學(xué)過(guò)程1.情境導(dǎo)入：古題激趣，引發(fā)認(rèn)知沖突展示《孫子算經(jīng)》“雞兔同籠”：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”先讓學(xué)生用現(xiàn)代方程法解決，再引出《九章算術(shù)》的“抬腿法”（“上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得”），提問(wèn)：“古人為何能想到如此巧妙的解法？古代方程與現(xiàn)代方程有何異同？”2.新知探究：分層解構(gòu)，古今對(duì)話環(huán)節(jié)1：方程術(shù)的本質(zhì)（15分鐘）呈現(xiàn)“上禾下禾”問(wèn)題，結(jié)合課件動(dòng)態(tài)演示籌式排列（三行四列：上禾、中禾、下禾、實(shí)），講解“遍乘直除”的操作：“以右行上禾遍乘中行而以直除”（右行上禾系數(shù)乘中行，再減去右行消去上禾）。學(xué)生分組用籌棍模擬，教師巡視指導(dǎo)，重點(diǎn)突破“正負(fù)數(shù)運(yùn)算”（劉徽“正算赤，負(fù)算黑”的記載）。環(huán)節(jié)2：天元術(shù)的突破（20分鐘）以“圓城求徑”為例，解析“天元術(shù)”步驟：①設(shè)元：“立天元一為半徑”（用“元”表示未知數(shù)）；②列式：根據(jù)幾何關(guān)系列出含“天元”的等式（如“天元2+地元=弦長(zhǎng)”，地元為輔助未知數(shù)）；③消元：通過(guò)“相消”“相減”得到一元高次方程（開(kāi)方式）；④求解：用“增乘開(kāi)方法”（類(lèi)現(xiàn)代迭代法）求根。學(xué)生嘗試用現(xiàn)代代數(shù)符號(hào)翻譯“天元式”，體會(huì)符號(hào)化思想的萌芽。3.鞏固練習(xí)：古題新解，能力遷移布置分層練習(xí)：基礎(chǔ)層：用方程術(shù)解《九章》“五家共井”的簡(jiǎn)化版（三元一次方程組），對(duì)比現(xiàn)代消元法。提高層：用天元術(shù)思路解決“勾股容圓”問(wèn)題（已知勾股，求圓徑），并轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代方程。4.課堂小結(jié)：文化賦能，思維升華引導(dǎo)學(xué)生從三方面總結(jié)：知識(shí)：古代方程的兩種形態(tài)（線性方程組、高次方程）及解法；方法：籌算操作的邏輯、符號(hào)化的數(shù)學(xué)思想；文化：古代數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神（如劉徽的“析理以辭，解體用圖”）。（四）教學(xué)評(píng)價(jià)過(guò)程性評(píng)價(jià)：觀察學(xué)生籌算操作的規(guī)范性、小組討論的參與度，記錄“古今解法對(duì)比”匯報(bào)的思維深度。作業(yè)評(píng)價(jià)：①書(shū)面作業(yè)：用方程術(shù)和現(xiàn)代法解“九章均輸”中的“程傳委輸”問(wèn)題（行程分配），分析解法異同；②拓展作業(yè)：撰寫(xiě)小論文《從“方程術(shù)”到“線性代數(shù)”——古代數(shù)學(xué)的現(xiàn)代啟示》，要求結(jié)合實(shí)例闡述。三、教學(xué)延伸：搭建古今數(shù)學(xué)的橋梁閱讀推薦：《九章算術(shù)譯注》（郭書(shū)春）、《數(shù)學(xué)史概論》（李文林），引導(dǎo)學(xué)生深入研讀經(jīng)典算經(jīng)。實(shí)踐活動(dòng)：組織“數(shù)學(xué)史講座”，邀請(qǐng)專(zhuān)家解析宋元方程理論；開(kāi)展“古今方程解法擂臺(tái)賽”，用古代算法與現(xiàn)代算法解決同一問(wèn)題，評(píng)選“最具創(chuàng)意解法”?？鐚W(xué)科聯(lián)結(jié)：結(jié)合歷史課“宋元科技發(fā)展”，探討方程理論與當(dāng)時(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)（如田畝測(cè)量、商業(yè)核算）的關(guān)聯(lián)，體會(huì)數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值。結(jié)語(yǔ)：讓古代算學(xué)智慧照亮